O‘zbekisòÎn respublikàsi îliy và O‘RÒÀ ÌÀÕsus òÀ’LIÌ VÀzirligi o‘RÒÀ ÌÀÕsus, KÀsb-hunàR ÒÀ’LIÌI ÌÀRKÀZI

4.  Ikkilàngàn  và  uchlàngàn  àrgumåntning  trigînîmåtrik

funksiyalàri.  Àgàr  a  +  b  burchàk  trigînîmåtrik  funksiyalàri

fîrmulàlàridà a = b dåyilsà, 2a burchàk trigînîmåtrik funksiyalàri

fîrmulàlàri  hîsil  qilinàdi.  Ulàr  2a  àrgumånt  funksiyasini  a

àrgumånt funksiyasi îrqàli ifîdàlàshgà imkîn båràdi:

sin2a = 2sinacosa;      (1)                cos2a = cos

2

a - sin

2

a;      (2)

2

2tg

1 tg

tg2

a

-

a

a =

;                 (3)                            

2

ctg

1

2ctg

ctg2

a-

a

a =

.          (4)

Àksinchà, a àrgumånt funksiyasini 2a funksiyasi îrqàli hàm

bårish  mumkin.  Chunînchi,  1  =  sin

2

a  +  cos

2

a  àyniyat  và  (2)

fîrmulà bo‘yichà 1 + cos2a = 2cos

2

a và 1 - cos2a = 2sin

2

a yoki

42

cos2a = 2cos

2

a - 1                                       (5)

và

cos2a = 1 - 2sin

2

a                                         (6)

hosil qilinàdi. (5) và (6) fîrmulàlàrni quyidàgi ko‘rinishdà hàm

yozish  mumkin:

2

1 cos 2

2

cos

+

a

a =

;                                            (7)

2

1 cos 2

2

sin

-

a

a =

.                                              (8)

Àgàr  cosa  ¹  0  bo‘lsà,  (1)  tånglikning  o‘ng  qismini  sin

2

a  +

+cos

2

a gà, ya’ni 1 gà, so‘ng suràt và màõràjni cos

2

a gà bo‘lsàk,

quyidàgini hîsil qilàmiz:

2

2

2

2

2

2

sin cos

2

2 sin cos

cos

sin

cos

sin

cos

cos

sin2

a

a

a

a

×

a

a

a+

a

a+

a

a =

=

,

bundàn:

2

2tg

1+tg

sin2

a

a

a =

.                                                 (9)

Shu kàbi:

2

2

1 tg

1+tg

cos

0 äà  cos 2

-

a

a

a ¹

a =

.                       (10)

Shuningdåk, 

1

tg2

ctg2

a

a =

 và (3) fîrmulà bo‘yichà:

2

1 tg

2tg

2

ctg2

, 

, 

k

a

k

Z

-

a

p

a

a =

¹

Π.                   (11)

Uchlàngàn  àrgumånt  3a  ning  trigînîmåtrik  funksiyalàrini

yuqîridà  tîpilgàn  fîrmulàlàrdàn  fîydàlànib  tîpish  mumkin.

Ìàsàlàn,

sin3a = sin(2a + a) = sin2acosa + cos2asina =

 = 2sinacos

2

a + (1 - 2sin

2

a)sina = sina(2(cos

2

a - sin

2

a) + 1) =

 = sina(2(1 - 2sin

2

a) + 1) = sina(3 - 4sin

2

a),

sin3a = sina(3 - 4sin

2

a).                           (12)

Shu kàbi: cos3a = cosa(4cos

2

a - 3).

43

Ì à s h q l à r

1.90. sina = -0,83, 

p a

p

<

<

3

2

 bo‘yichà sin2a, cos2a, tg2a ni

tîping.

1.91.  cosa  =  -0,4,  sina  <  0  bo‘yichà  sin2a,  cos2a,  tg2a  ni

tîping.

1.92. tga = -3 bo‘yichà ctg2a ni tîping.

1.93. Àgàr 

0 <

<

a

p

2

 bo‘lsà, sin2a < 2sina bo‘lishini isbît qiling.

1.94. ctga = -1,2, 

p

a

p

2

<

<

 bo‘yichà sin3a, cos3a, cos4a, tg4a

ni tîping.

1.95. Àgàr tga = 0,3, tgb = 0,4 bo‘lsà, tg(2a - b) ni tîping.

1.96. Àyniyatlàrni isbît qiling:

1)

2

cos 2 1 cos

1

2

5

cos

2

2

ctg

t

t

t

t

p

+ -

+

= -

;

2)

2

2

4

2

2

sin

sin

sin

t

t

t

t

t

-

+

=

sin4

tg

2

;

3)

sin

cos

2

2

2

2

t

t

t

t

+

=

tg

tg2

;

4)

2

1 2 cos 2

1 sin4

2

tg2

ctg2

t

t

t

t

-

=

-

;

5) 

cos

ctg

ctg

1 sin

t

t

t

t

+

= +

;

6) 

2

1

4

4

2

2

1

cos

sin

t

t

t

-

-

-

=

2ctg p

p

;

7) 

sin

tg

tg

1 cos

t

t

t

t

+

+

=

;

8) 

2

4 1

2

2

2

2

8

sin (

)

sin

t

t

t

t

-

+

=

tg

1+ctg

2

p

;

9) 

cos 2

5 cos 3

cos 4

sin 2

5 sin 3

sin 4

ctg 3

t

t

t

t

t

t

t

+

+

+

+

=

;      10) tg55°tg65°tg75° = tg85°.

1.97. Ifîdàlàrni sîddàlàshtiring:

1) 

2

3

4

5

6

7

15

15

15

15

15

15

15

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos

p

p

p

p

p

p

p

;

2) 

2

2

2

2

5

11

2

2

sin

cos

sin (5

)sin

cos (5

)cos

p

p

a -

a -

p-a

a -

p-a

+ a ;

3) 

2 sin(17

)

13

2

15

sin

tg sin(

)

2

2ctg

2

p-a

p

p +a + a

-a

- a +

;

4) 

2

2

2 cos

sin 2

sin 3

sin

cos 3

a-

a

a-

a+

a

;

5) 

4

4

2

sin 2

2 cos 2 sin 2

cos 2

2 cos 2 1

t

t

t

t

t

+

-

-

;

44

6) 1 + 2cos2a + 2cos4a + 2cos6a;

7) 

7

17

2

2

2

2

cos

tg(5

) sin

p

p

- a

+ a

p - a +

;    8) 

(1 tg2 ) cos

2

4

1 tg2

p

+

a

+ a

-

a

.

5. Yarim àrgumåntning trigînîmåtrik funksiyalàri. Bu fîrmu-

làlàr îldingi bànddà bårilgàn (4)–(11) fîrmulàlàrdàgi a o‘rnigà 

a

2

ni qo‘yish îrqàli hîsil qilinàdi. Jumlàdàn,(7),(8) fîrmulàlàr bo‘-

yichà 

2

1 cos

2

2

cos

,

a

+

a

=

 

2

1 cos

2

2

sin

a

-

a

=

  yoki

1 cos

2

2

cos

a

+

a

=

;                                             (1)

1 cos

2

2

sin

a

-

a

=

.                                               (2)

Àgàr (2) tånglik (1) gà hàdmà-hàd bo‘linsà:

1 cos

2

1 cos

tg

a

-

a

+

a

=

                                               (3)

tånglik hîsil bo‘làdi. 

1

tg

ctg

a

a =

 bo‘lgàni uchun

ctg

a

a

a

2

1

1

=

+

-

cos

cos

.                                               (4)

tånglik hàm o‘rinlidir.

(1)–(4)  fîrmulàlàr  trigînîmåtrik  funksiyalàr  qiymàtlàrining

mîdulini  tîpishgà  imkîn  båràdi.  Ulàrning  ishîràlàri  esà 

a

2

àrgumåntning qàysi chîràkkà tågishli ekànigà bîg‘liq.

Ì i s î l .  

5

3

2

sin

,  

p

a =

£ a £ p  ekàni  mà’lum. 

2

2

sin ,  cos ,

a

a

2

tg

a

 ni tîpàmiz.

Y e c h i s h .   Shàrtdàn  fîydàlànib 

p

a

p

4

2

2

£

£

  bo‘lishini  àniq-

làymiz.  Bu  îràliqdà  bàrchà  trigînîmåtrik  funksiyalàr  musbàt.

Yuqîridà  tîpilgàn  fîrmulàlàrdàn  fîydàlànàmiz.  Îldin  cosa  ni

tîpàylik:

2

5

2

9

3

cos

1 sin

1

a =

-

a = -

- = - .

U hîldà:

2

2

1

1

3

3

1

5

2

2

2

2

2

6

6

cos

,   sin

,  tg

5

+ -

- -

a

a

a

=

=

=

=

=

.

45

Yarim  àrgumåntning  tàngånsi  uchun  yanà  bir  fîrmulà  hîsil

qilish  màqsàdidà 

tg

a

a

a

2

2

2

=

sin

cos

  tånglikning  o‘ng  qismidàgi  kàsr

suràt và màõràjini 

2sin

a

2

 gà ko‘pàytiràmiz:

tg

a

a

a

a

a

a

a

a

2

2

2

2

2

2

2 1

2

2

2

1

2

=

=

=

× -

×

-

sin

cos sin

cos

sin

cos

sin

,

tg

a

a

a

2

1

=

-cos

sin

.                                                  (5)

Àgàr suràt và màõràj 

2cos

a

2

 gà ko‘pàytirilsà,

tg

a

a

a

2

1

=

+

sin

cos

.                                    (6)

(5)  và  (6)  fîrmulàlàr  bo‘yichà:

ctg

a

a

a

a

a

2

1

1

=

=

-

+

sin

cos

cos

sin

.                                         (7)

M à s h q l à r

1.98. Bårilgàn: 1) 

a

p

=

6

; 2) 

4

p

a = ; 3) cosa = -0,4, 

2

p

< a < p ;

4) ctga = 4, 

3

2

p < a < p ;    5) sina = 0,8; 450° < a < 540°.

Òîping:  

2

2

2

sin ;   cos ;   tg

a

a

a

.

1.99.  sin15°,  cos15°,  sin18°,  cos18°,  sin12°,  cos12°  làr

hisîblànsin.

1.100. Ifîdàlàrni sîddàlàshtiring:

1) 

1

6

2

-cos a

;

2) 

1

10

+ cos x

;

3) 

2

2

2

cos

cos

a

a

-

;

4) 

1

4

4

+cos

sin

a

a

;

5) 

sin

sin

7

2

1

5

2

1

p a

p a

- +

+ +

.

1.101. Àyniyatlàrni isbît qiling:

1) 

2

2

4

2

1 cos

2 cos

p

p

a

-

+ a =

-

;

46

2) 

2

5

2

4

2

1 cos

2 sin

p

p

a

+

+ a =

-

;  3) 

tg

ctg

1

2

2

cos

tg

ctg

2

2

a

a

p-

-

a

a

-

a

+

p-

=

;

4) 

tg

ctg

ctg

p

a

a

a

-

+

=

2

2

2

;    5) 

4

4

3 cos 4

4

sin

cos

+

a

a +

a =

;

6) cos

4

a - sin

4

a = cos2a.

6. Òrigînîmåtrik funksiyalàrni yarim àrgumånt tàngånsi îrqàli

ifîdàlàsh.  sina  và  cosa  ni 

2

tg

a

  îrqàli  ifîdàlàshdà  sin a =

2

2

2 sin

cos

a

a

=

×

, 

2

2

2

2

cos

cos

sin

a

a

a =

-

  và 

2

2

2

2

sin

cos

1

a

a

+

=

fîrmulàlàrdàn fîydàlànàmiz. 

2

2

2 sin

cos

2

2

cos

sin

2

2

sin

a

a

×

a

a

+

a =

 tånglikkà egà-

miz.  Bu  tånglikdàgi  kàsrning  suràt  và  màõràjini 

2

2

cos

0

a

¹   gà

bo‘lib,

2

2 tg

2

1 tg

2

sin

a

a

+

a =

                                                 (1)

tånglikni hîsil qilàmiz. Õuddi shu kàbi, 

2

2

2

2

cos

sin

2

2

cos

sin

2

2

cos

a

a

-

a

a

+

a =

 tång-

lik yordàmidà quyidàgi tånglik hîsil qilinàdi:

2

2

1 tg

2

1 tg

2

cos

a

-

a

+

a =

.                                                (2)

tga  và  ctga  ni 

tg

a

2

  îrqàli  ifîdàlàsh  uchun  (1)  ni  (2)  gà  và

àksinchà,  (2)  ni  (1)  gà  hàdmà-hàd  bo‘lish  yetàrli.  Nàtijàdà

quyidàgi tångliklàrgà egà bo‘làmiz:

2

2 tg

2

1 tg

2

tg

a

a

-

a =

,                                             (3)

2

1 tg

2

2 tg

2

ctg

a

-

a

a =

.                                                (4)

Ì i s î l .  Àgàr 

2

2

3

tg

a

= -  bo‘lsà, 

2 3

+

-

cos a

a

4 5sin

 ni hisîblàng.

47

Y e c h i s h .  (1) và (2) fîrmulàlàrgà ko‘rà,

2

2

4

2

1

3

9

12

5

13

4

13

2

1

1

9

3

sin

,    cos

× -

-

+

+ -

a =

= -

a =

=

.

Bundàn  

15

2

2 3 cos

13

41

4 5 sin

112

60

4

13

+

+

a

-

a

+

=

=

.

Ì à s h q l à r

1.102. Ifîdàni sîddàlàshtiring:

1) 

tg

tg

2

a

a

a

×

+

cos 2

1

;

2) 

cos2

tg

tg

2

2

a

a

a

a

-

×

+

cos 2

1

.

1.103. 

1

2

2

tg

x

=  bo‘lsà, sinx, cosx, tgx, ctgx ni tîping.

1.104. 

1

5

sin

cos

x

x

+

=  bo‘lsà, 

2

tg

x

 ni tîping.

1.105. Àyniyatni isbîtlàng:

1) 

1 tg

cos

2

1-sin

1 tg

2

a

+

a

a

a

-

=

;

  2) 

ctg

1

cos

2

1 sin

ctg

1

2

a -

a

+

a

a +

=

;

3) 

2

tg

1

1 sin

2

1 sin

tg

1

2

a +

+

a

a

-

a

-

æ

ö

ç

÷ =

ç

÷

è

ø

;

  4) 

1 sin

cos

1 sin

cos

2

ctg

+

a+

a

a

+

a-

a

=

;

  5)

2

2

2

2

cos

1 tg

1 sin

a

a

+

= +

a;          6) 

2

2

2

2

sin

ctg

1

1 sin

a

a

-

= -

a.

7.  Òrigînîmåtrik  funksiyalàr  yig‘indisini  ko‘pàytmàgà  và

ko‘pàytmàsini  yig‘indigà  àylàntirish.  Ikki  burchàk  yig‘indisi  và

àyirmàsi sinusi munîsàbàtlàrini hàdmà-hàd qo‘shàylik:

sin(  +  ) = sin cos  + cos sin

sin(  –  ) = sin cos  – cos sin  

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

 

sin(  +  ) + sin(  -  ) = 2sin cos , 

a

b

a b

a

b

bundàn:

48

(

)

1

2

sin cos

sin(

) sin(

)

a

b =

a + b +

a - b .                        (1)

Shu kàbi ikki burchàk kîsinusi yig‘indisi và àyirmàsi munîsà-

bàtlàrini  hàdmà-hàd  qo‘shsàk  và  àyirsàk,  quyidàgi  fîrmulàlàr

hîsil bo‘làdi:

(

)

1

2

cos cos

cos(

) cos(

)

a

b =

a + b +

a - b ,                   (2)

(

)

1

2

sin sin

cos(

) cos(

)

a

b =

a - b -

a + b .                       (3)

Òrigînîmåtrik funksiyalàr ko‘pàytmàsini yig‘indi yoki àyirmà

ko‘rinishigà kåltirish màqsàdidà a + b =

 u, a - b = v dåb îlàmiz.

Bulàrdàn 

2

2

,  

u

u

+

-

a =

b =

v

v

  làrni  tîpib,  (1)  fîrmulàgà  qo‘ysàk,

nàtijàdà:

2

2

sin

sin

2 sin

cos

u

u

u

+

-

+

=

v

v

v

.                               (4)

(4)  fîrmulàdà  v  ni  -v  gà  àlmàshtirsàk,

2

2

sin

sin

2 sin

cos

u

u

u

-

+

-

=

v

v

v

.                                (5)

(2)  và  (3)  fîrmulàlàr  bo‘yichà  quyidàgi  tångliklàr  hîsil

bo‘làdi:

2

2

cos

cos

2 cos

cos

u

u

u

+

-

+

=

v

v

v

,                                (6)

2

2

cos

cos

2 sin

sin

u

u

u

+

-

-

= -

v

v

v

.                                    (7)

1 - m i s î l .  cos45° + cos15° ni hisîblàymiz.

Y e c h i s h .  (6) fîrmulà bo‘yichà:

45 15

45 15

2

2

3

3

1

2

2

2

cos 45

cos15

2 cos

cos

2 cos 60 cos 30

2

.

+

-

+

=

=

=

= × ×

=

o

o

o

o

o

o

o

o

Òàngåns và kîtàngånsgà tààlluqli fîrmulàlàrni chiqàràylik:

sin(

)

sin

sin

sin cos

cos sin

cos

cos

cos cos

cos cos

tg

tg

u

u

u

u

u

u

u

u

+

+

+

=

+

=

=

v

v

v

v

v

v

v

v

,

bundàn

sin(

)

cos cos

2

tg

tg

,   ,  

,  

u

u

u

u

k k

Z

+

p

+

=

¹ + p

Î

v

v

v

v

.             (8)

Quyidàgi fîrmulàlàr hàm shu tàrtibdà kåltirib chiqàrilàdi:

sin(

)

cos cos

2

tg

tg

,   ,  

,  

u

u

u

u

k k

Z

-

p

-

=

¹ + p

Î

v

v

v

v

,             (9)

49

ctg

ctg

   

 

u

u

k k

Z

u

u

+

=

¹

Î

+

v

v

v

v

sin(

)

sin sin

, ,

,

p

,              (10)

ctg

ctg

   

 

u

u

k k

Z

u

u

-

=

¹

Î

-

v

v

v

v

sin(

)

sin sin

, ,

,

p

.               (11)

2 - m i s î l .   Àgàr  u  +  v  +  w  =  p  bo‘lsà,  ctgu  +  ctgv  -  tgw  =

= -ctgu ctgv tgw bo‘lishini isbît qilàmiz.

Y e c h i s h .

ctgu + ctg v - tgw = ctgu + ctgv - tg(p - (u + v)) = ctgu + ctgv + tg(u + v) =

sin(

)

sin(

)

sin(

)(cos(

) sin sin )

sin(

)cos cos

sin sin

cos(

)

sin sin cos(

)

sin sin cos(

)

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

+

+

+

+ +

+

+

+

+

=

+

=

=

=

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

ctg ctg tg(

) ctg ctg tg(

)

ctg ctg tg

u

u

u

w

u

w

=

+

=

p -

= -

v

v

v

v