O‘zbekisòÎn respublikàsi îliy và O‘RÒÀ ÌÀÕsus òÀ’LIÌ VÀzirligi o‘RÒÀ ÌÀÕsus, KÀsb-hunàR ÒÀ’LIÌI ÌÀRKÀZI


  Ikkilàngàn  và  uchlàngàn  àrgumåntning  trigînîmåtrik


Download 1.47 Mb.
Pdf ko'rish
bet6/13
Sana23.11.2020
Hajmi1.47 Mb.
#150444
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13
Bog'liq
algebra va matematik analiz asoslari 2 qism i bob


4.  Ikkilàngàn  và  uchlàngàn  àrgumåntning  trigînîmåtrik

funksiyalàri.  Àgàr  a  +  b  burchàk  trigînîmåtrik  funksiyalàri

fîrmulàlàridà a = b dåyilsà, 2a burchàk trigînîmåtrik funksiyalàri

fîrmulàlàri  hîsil  qilinàdi.  Ulàr  2a  àrgumånt  funksiyasini  a

àrgumånt funksiyasi îrqàli ifîdàlàshgà imkîn båràdi:

sin2a = 2sinacosa;      (1)                cos2a = cos

2

a - sin



2

a;      (2)

2

2tg


1 tg

tg2


a

-

a



a =

;                 (3)                            

2

ctg


1

2ctg


ctg2

a-

a



a =

.          (4)

Àksinchà, a àrgumånt funksiyasini 2a funksiyasi îrqàli hàm

bårish  mumkin.  Chunînchi,  1  =  sin

2

a  +  cos



2

a  àyniyat  và  (2)

fîrmulà bo‘yichà 1 + cos2a = 2cos

2

a và 1 - cos2a = 2sin



2

a yoki


42

cos2a = 2cos

2

a - 1                                       (5)



cos2a = 1 - 2sin

2

a                                         (6)



hosil qilinàdi. (5) và (6) fîrmulàlàrni quyidàgi ko‘rinishdà hàm

yozish  mumkin:

2

1 cos 2


2

cos


+

a

a =



;                                            (7)

2

1 cos 2



2

sin


-

a

a =



.                                              (8)

Àgàr  cosa  ¹  0  bo‘lsà,  (1)  tånglikning  o‘ng  qismini  sin

2

a  +


+cos

2

a gà, ya’ni 1 gà, so‘ng suràt và màõràjni cos



2

a gà bo‘lsàk,

quyidàgini hîsil qilàmiz:

2

2



2

2

2



2

sin cos


2

2 sin cos

cos

sin


cos

sin


cos

cos


sin2

a

a

a

a



×

a

a



a+

a

a+



a

a =


=

,

bundàn:



2

2tg


1+tg

sin2


a

a

a =



.                                                 (9)

Shu kàbi:

2

2

1 tg



1+tg

cos


0 äà  cos 2

-

a



a

a ¹


a =

.                       (10)

Shuningdåk, 

1

tg2



ctg2

a

a =



 và (3) fîrmulà bo‘yichà:

2

1 tg



2tg

2

ctg2





k



a

k

Z

-

a



p

a

a =



¹

Π.                   (11)

Uchlàngàn  àrgumånt  3a  ning  trigînîmåtrik  funksiyalàrini

yuqîridà  tîpilgàn  fîrmulàlàrdàn  fîydàlànib  tîpish  mumkin.

Ìàsàlàn,

sin3a = sin(2a + a) = sin2acosa + cos2asina =

 = 2sinacos

2

a + (1 - 2sin



2

a)sina = sina(2(cos

2

a - sin


2

a) + 1) =

 = sina(2(1 - 2sin

2

a) + 1) = sina(3 - 4sin



2

a),


sin3a = sina(3 - 4sin

2

a).                           (12)



Shu kàbi: cos3a = cosa(4cos

2

a - 3).



43

Ì à s h q l à r

1.90. sina = -0,83, 

p a


p

<

<

3

2



 bo‘yichà sin2a, cos2a, tg2a ni

tîping.


1.91.  cosa  =  -0,4,  sina  <  0  bo‘yichà  sin2a,  cos2a,  tg2a  ni

tîping.


1.92. tga = -3 bo‘yichà ctg2a ni tîping.

1.93. Àgàr 

0 <


<

a

p



2

 bo‘lsà, sin2a < 2sina bo‘lishini isbît qiling.



1.94. ctga = -1,2, 

p

a



p

2

<



<

 bo‘yichà sin3a, cos3a, cos4a, tg4a

ni tîping.

1.95. Àgàr tga = 0,3, tgb = 0,4 bo‘lsà, tg(2a - b) ni tîping.

1.96. Àyniyatlàrni isbît qiling:

1)

2



cos 2 1 cos

1

2



5

cos


2

2

ctg



t

t

t

t

p

+ -


+

= -


;

2)

2



2

4

2



2

sin


sin

sin


t

t

t

t

t

-

+



=

sin4


tg

2

;



3)

sin


cos

2

2



2

2

t



t

t

t

+

=



tg

tg2


;

4)

2



1 2 cos 2

1 sin4


2

tg2


ctg2

t

t

t

t

-

=



-

;

5) 



cos

ctg


ctg

1 sin


t

t

t

t

+

= +



;

6) 


2

1

4



4

2

2



1

cos


sin

t

t

t

-

-



-

=

2ctg p



p

;

7) 



sin

tg

tg



1 cos

t

t

t

t

+

+



=

;

8) 



2

4 1


2

2

2



2

8

sin (



)

sin


t

t

t

t

-

+



=

tg

1+ctg



2

p

;



9) 

cos 2


5 cos 3

cos 4


sin 2

5 sin 3


sin 4

ctg 3


t

t

t

t

t

t

t

+

+



+

+

=



;      10) tg55°tg65°tg75° = tg85°.

1.97. Ifîdàlàrni sîddàlàshtiring:

1) 


2

3

4



5

6

7



15

15

15



15

15

15



15

cos


cos

cos


cos

cos


cos

cos


p

p

p



p

p

p



p

;

2) 



2

2

2



2

5

11



2

2

sin



cos

sin (5


)sin

cos (5


)cos

p

p



a -

a -


p-a

a -


p-a

+ a ;


3) 

2 sin(17


)

13

2



15

sin


tg sin(

)

2



2ctg

2

p-a



p

p +a + a


-a

- a +


;

4) 


2

2

2 cos



sin 2

sin 3


sin

cos 3


a-

a

a-



a+

a

;



5) 

4

4



2

sin 2


2 cos 2 sin 2

cos 2


2 cos 2 1

t

t

t

t

t

+

-



-

;


44

6) 1 + 2cos2a + 2cos4a + 2cos6a;

7) 

7

17



2

2

2



2

cos


tg(5

) sin


p

p

- a



+ a

p - a +


;    8) 

(1 tg2 ) cos

2

4

1 tg2



p

+

a



+ a

-

a



.

5. Yarim àrgumåntning trigînîmåtrik funksiyalàri. Bu fîrmu-

làlàr îldingi bànddà bårilgàn (4)–(11) fîrmulàlàrdàgi a o‘rnigà 

a

2

ni qo‘yish îrqàli hîsil qilinàdi. Jumlàdàn,(7),(8) fîrmulàlàr bo‘-



yichà 

2

1 cos



2

2

cos



,

a

+



a

=

 



2

1 cos


2

2

sin



a

-

a



=

  yoki


1 cos

2

2



cos

a

+



a

=

;                                             (1)



1 cos

2

2



sin

a

-



a

=

.                                               (2)



Àgàr (2) tånglik (1) gà hàdmà-hàd bo‘linsà:

1 cos


2

1 cos


tg

a

-



a

+

a



=

                                               (3)

tånglik hîsil bo‘làdi. 

1

tg



ctg

a

a =



 bo‘lgàni uchun

ctg


a

a

a



2

1

1



=

+

-



cos

cos


.                                               (4)

tånglik hàm o‘rinlidir.

(1)–(4)  fîrmulàlàr  trigînîmåtrik  funksiyalàr  qiymàtlàrining

mîdulini  tîpishgà  imkîn  båràdi.  Ulàrning  ishîràlàri  esà 

a

2

àrgumåntning qàysi chîràkkà tågishli ekànigà bîg‘liq.



Ì i s î l .  

5

3



2

sin


,  

p

a =



£ a £ p  ekàni  mà’lum. 

2

2



sin ,  cos ,

a

a



2

tg

a



 ni tîpàmiz.

Y e c h i s h .   Shàrtdàn  fîydàlànib 

p

a

p



4

2

2



£

£

  bo‘lishini  àniq-



làymiz.  Bu  îràliqdà  bàrchà  trigînîmåtrik  funksiyalàr  musbàt.

Yuqîridà  tîpilgàn  fîrmulàlàrdàn  fîydàlànàmiz.  Îldin  cosa  ni

tîpàylik:

2

5



2

9

3



cos

1 sin


1

a =


-

a = -


- = - .

U hîldà:


2

2

1



1

3

3



1

5

2



2

2

2



2

6

6



cos

,   sin


,  tg

5

+ -



- -

a

a



a

=

=



=

=

=



.

45

Yarim  àrgumåntning  tàngånsi  uchun  yanà  bir  fîrmulà  hîsil

qilish  màqsàdidà 

tg

a



a

a

2



2

2

=



sin

cos


  tånglikning  o‘ng  qismidàgi  kàsr

suràt và màõràjini 

2sin

a

2



 gà ko‘pàytiràmiz:

tg

a



a

a

a



a

a

a



a

2

2



2

2

2



2

2 1


2

2

2



1

2

=



=

=

× -



×

-

sin



cos sin

cos


sin

cos


sin

,

tg



a

a

a



2

1

=



-cos

sin


.                                                  (5)

Àgàr suràt và màõràj 

2cos

a

2



 gà ko‘pàytirilsà,

tg

a



a

a

2



1

=

+



sin

cos


.                                    (6)

(5)  và  (6)  fîrmulàlàr  bo‘yichà:

ctg

a

a



a

a

a



2

1

1



=

=

-



+

sin


cos

cos


sin

.                                         (7)



M à s h q l à r

1.98. Bårilgàn: 1) 

a

p



=

6

; 2) 



4

p

a = ; 3) cosa = -0,4, 



2

p

< a < p ;

4) ctga = 4, 

3

2



p < a < p ;    5) sina = 0,8; 450° < a < 540°.

Òîping:  

2

2

2



sin ;   cos ;   tg

a

a



a

.

1.99.  sin15°,  cos15°,  sin18°,  cos18°,  sin12°,  cos12°  làr

hisîblànsin.

1.100. Ifîdàlàrni sîddàlàshtiring:

1) 


1

6

2



-cos a

;

2) 



1

10

+ cos x



;

3) 


2

2

2



cos

cos


a

a

-



;

4) 


1

4

4



+cos

sin


a

a

;



5) 

sin


sin

7

2



1

5

2



1

p a


p a

- +


+ +

.

1.101. Àyniyatlàrni isbît qiling:

1) 

2

2



4

2

1 cos



2 cos

p

p



a

-

+ a =



-

;


46

2) 


2

5

2



4

2

1 cos



2 sin

p

p



a

+

+ a =



-

;  3) 


tg

ctg


1

2

2



cos

tg

ctg



2

2

a



a

p-

-



a

a

-



a

+

p-



=

;

4) 



tg

ctg


ctg

p

a



a

a

-



+

=

2



2

2

;    5) 



4

4

3 cos 4



4

sin


cos

+

a



a +

a =


;

6) cos


4

a - sin


4

a = cos2a.



6. Òrigînîmåtrik funksiyalàrni yarim àrgumånt tàngånsi îrqàli

ifîdàlàsh.  sina  và  cosa  ni 

2

tg



a

  îrqàli  ifîdàlàshdà  sin a =

2

2

2 sin



cos

a

a



=

×



2

2

2



2

cos


cos

sin


a

a

a =



-

  và 


2

2

2



2

sin


cos

1

a



a

+

=



fîrmulàlàrdàn fîydàlànàmiz. 

2

2



2 sin

cos


2

2

cos



sin

2

2



sin

a

a



×

a

a



+

a =


 tånglikkà egà-

miz.  Bu  tånglikdàgi  kàsrning  suràt  và  màõràjini 

2

2

cos



0

a

¹   gà



bo‘lib,

2

2 tg



2

1 tg


2

sin


a

a

+



a =

                                                 (1)

tånglikni hîsil qilàmiz. Õuddi shu kàbi, 

2

2



2

2

cos



sin

2

2



cos

sin


2

2

cos



a

a

-



a

a

+



a =

 tång-


lik yordàmidà quyidàgi tånglik hîsil qilinàdi:

2

2



1 tg

2

1 tg



2

cos


a

-

a



+

a =


.                                                (2)

tga  và  ctga  ni 

tg

a

2



  îrqàli  ifîdàlàsh  uchun  (1)  ni  (2)  gà  và

àksinchà,  (2)  ni  (1)  gà  hàdmà-hàd  bo‘lish  yetàrli.  Nàtijàdà

quyidàgi tångliklàrgà egà bo‘làmiz:

2

2 tg



2

1 tg


2

tg

a



a

-

a =



,                                             (3)

2

1 tg



2

2 tg


2

ctg


a

-

a



a =

.                                                (4)

Ì i s î l .  Àgàr 

2

2



3

tg

a



= -  bo‘lsà, 

2 3


+

-

cos a



a

4 5sin


 ni hisîblàng.

47

Y e c h i s h .  (1) và (2) fîrmulàlàrgà ko‘rà,

2

2

4



2

1

3



9

12

5



13

4

13



2

1

1



9

3

sin



,    cos

× -


-

+

+ -



a =

= -


a =

=

.



Bundàn  

15

2



2 3 cos

13

41



4 5 sin

112


60

4

13



+

+

a



-

a

+



=

=

.



Ì à s h q l à r

1.102. Ifîdàni sîddàlàshtiring:

1) 


tg

tg

2



a

a

a



×

+

cos 2



1

;

2) 



cos2

tg

tg



2

2

a



a

a

a



-

×

+



cos 2

1

.



1.103. 

1

2



2

tg

x

=  bo‘lsà, sinx, cosx, tgx, ctgx ni tîping.

1.104. 

1

5



sin

cos


x

x

+

=  bo‘lsà, 



2

tg

x

 ni tîping.

1.105. Àyniyatni isbîtlàng:

1) 


1 tg

cos


2

1-sin


1 tg

2

a



+

a

a



a

-

=



;

  2) 


ctg

1

cos



2

1 sin


ctg

1

2



a -

a

+



a

a +


=

;

3) 



2

tg

1



1 sin

2

1 sin



tg

1

2



a +

+

a



a

-

a



-

æ

ö



ç

÷ =


ç

÷

è



ø

;

  4) 



1 sin

cos


1 sin

cos


2

ctg


+

a+

a



a

+

a-



a

=

;



  5)

2

2



2

2

cos



1 tg

1 sin


a

a

+



= +

a;          6) 

2

2

2



2

sin


ctg

1

1 sin



a

a

-



= -

a.

7.  Òrigînîmåtrik  funksiyalàr  yig‘indisini  ko‘pàytmàgà  và



ko‘pàytmàsini  yig‘indigà  àylàntirish.  Ikki  burchàk  yig‘indisi  và

àyirmàsi sinusi munîsàbàtlàrini hàdmà-hàd qo‘shàylik:

sin(  +  ) = sin cos  + cos sin

sin(  –  ) = sin cos  – cos sin  

a

b

a



b

a

b



a

b

a



b

a

b



 

sin(  +  ) + sin(  -  ) = 2sin cos , 

a

b

a b



a

b

bundàn:



48

(

)



1

2

sin cos



sin(

) sin(


)

a

b =



a + b +

a - b .                        (1)

Shu kàbi ikki burchàk kîsinusi yig‘indisi và àyirmàsi munîsà-

bàtlàrini  hàdmà-hàd  qo‘shsàk  và  àyirsàk,  quyidàgi  fîrmulàlàr

hîsil bo‘làdi:

(

)



1

2

cos cos



cos(

) cos(


)

a

b =



a + b +

a - b ,                   (2)

(

)

1



2

sin sin


cos(

) cos(


)

a

b =



a - b -

a + b .                       (3)

Òrigînîmåtrik funksiyalàr ko‘pàytmàsini yig‘indi yoki àyirmà

ko‘rinishigà kåltirish màqsàdidà a + b =



 u, a - b = v dåb îlàmiz.

Bulàrdàn 

2

2

,  



u

u

+

-



a =

b =


v

v

  làrni  tîpib,  (1)  fîrmulàgà  qo‘ysàk,

nàtijàdà:

2

2



sin

sin


2 sin

cos


u

u

u

+

-



+

=

v



v

v

.                               (4)

(4)  fîrmulàdà  v  ni  -v  gà  àlmàshtirsàk,

2

2



sin

sin


2 sin

cos


u

u

u

-

+



-

=

v



v

v

.                                (5)

(2)  và  (3)  fîrmulàlàr  bo‘yichà  quyidàgi  tångliklàr  hîsil

bo‘làdi:


2

2

cos



cos

2 cos


cos

u

u

u

+

-



+

=

v



v

v

,                                (6)

2

2

cos



cos

2 sin


sin

u

u

u

+

-



-

= -


v

v

v

.                                    (7)

1 - m i s î l .  cos45° + cos15° ni hisîblàymiz.

Y e c h i s h .  (6) fîrmulà bo‘yichà:

45 15

45 15


2

2

3



3

1

2



2

2

cos 45



cos15

2 cos


cos

2 cos 60 cos 30

2

.

+



-

+

=



=

=

= × ×



=

o

o



o

o

o



o

o

o



Òàngåns và kîtàngånsgà tààlluqli fîrmulàlàrni chiqàràylik:

sin(


)

sin


sin

sin cos


cos sin

cos


cos

cos cos


cos cos

tg

tg



u

u

u

u

u

u

u

u

+

+



+

=

+



=

=

v



v

v

v

v

v

v

v

,

bundàn



sin(

)

cos cos



2

tg

tg



,   ,  

,  


u

u

u

u

k k

Z

+

p



+

=

¹ + p



Î

v

v

v

v

.             (8)

Quyidàgi fîrmulàlàr hàm shu tàrtibdà kåltirib chiqàrilàdi:

sin(


)

cos cos


2

tg

tg



,   ,  

,  


u

u

u

u

k k

Z

-

p



-

=

¹ + p



Î

v

v

v

v

,             (9)



49

ctg


ctg

   


 

u

u

k k

Z

u

u

+

=



¹

Î

+



v

v

v

v

sin(


)

sin sin


, ,

,

p



,              (10)

ctg


ctg

   


 

u

u

k k

Z

u

u

-

=



¹

Î

-



v

v

v

v

sin(


)

sin sin


, ,

,

p



.               (11)

2 - m i s î l .   Àgàr  u  +  v  +  w  =  p  bo‘lsà,  ctgu  +  ctgv  -  tgw  =

= -ctgctgtgw bo‘lishini isbît qilàmiz.

Y e c h i s h .

ctgu + ctg v - tg= ctg+ ctg- tg(p - (v)) = ctgu + ctg+ tg(u + v) =

sin(


)

sin(


)

sin(


)(cos(

) sin sin )

sin(

)cos cos


sin sin

cos(


)

sin sin cos(

)

sin sin cos(



)

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

+

+



+

+ +


+

+

+



+

=

+



=

=

=



v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

ctg ctg tg(

) ctg ctg tg(

)

ctg ctg tg



u

u

u

w

u

w

=

+



=

p -


= -

v

v

v

v

Download 1.47 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling