O‘zbekisòÎn respublikàsi îliy và O‘RÒÀ ÌÀÕsus òÀ’LIÌ VÀzirligi o‘RÒÀ ÌÀÕsus, KÀsb-hunàR ÒÀ’LIÌI ÌÀRKÀZI
Download 1.47 Mb. Pdf ko'rish
|
algebra va matematik analiz asoslari 2 qism i bob
- Bu sahifa navigatsiya:
- 8. Gàrmînik tåbrànishlàrni qo‘shish.
- Ì à s h q l à r 1.111.
- 4- §. Òrigînîmåtrik tånglàmàlàr và tångsizliklàr
- 1. sina = m ko‘rinishdàgi eng sîddà tånglàmà. Àrksinus. sina =
|
Ì à s h q l à r 1.106. Òrigînîmåtrik funksiyalàr yig‘indisi ko‘rinishidà yozing:
1) 2sin22°cos12°; 2) sinxsin(x - 1); 3) 4sin35°cos25°sin15°; 4) 8cos3°cos6°cos12°cos24°. 1.107. Hisîblàng: 1) cos80°cos40°cos20°; 2) tg35°tg55°. 3)
2 cos80 cos 20 sin10
- o o o ; 4) cos20°cos40°cos60°; 5) cos9°cos27°cos63°cos81°; 6) sin20°sin40°sin60°sin80°. 1.108. Ko‘pàytmà yoki ko‘pàytmàlàr ko‘rinishidà tàsvirlàng: 1) cos43° + cos37°; 2) sin76° - sin26°; 3) sin57° - cos64°; 4) sin18° + cos15°; 5)
5 7 sin cos p p - ; 6) cos6x + cos4x; 7) cos 2 a - cos 2 b; 8) cosa - cosb; 9) ctg 2 a - ctg 2 b; 10) cosx + cos3x + cos5x + cos7x; 11) sinx + sin2x + sin3x + sin4x ; 12) sin20° + sin10° + sin30°; 13) 2
cos sin
a+b a +
b + ; 14) sin2x - cosx - sin5x; 15) 10
cos cos
sin x x x p p + - - - ; 4 Àlgebra, II qism 50 16) sin(5a + b) + sin(3a + b) + sin2a; 17) 2
cos ctg
cos , 0 p a + a + a -
a < a < ; 18) 1 - ctga; 19) 1 + ctga; 20) 1 - tga; 21) 1 - sin(p - x) + cos(p - x); 22) ctga + ctg2a - tg3a. 1.109. Àyniyatni isbît qiling: 1)
sin( ) sin(
) sin(
) sin( ) ctg tg t s t s t s t s t s + -
- + +
- = ; 2) 2 2 2(1 sin sin cos cos ) 4 cos t s t s t s - + + = . 3) (sin3t + sin5t) 2 + (cos3t + cos5t) 2 = 4cos
2 t; 4) tg20° + tg40° + tg80° - tg60°
= 8cos50°; 5) 6 4 2 1 3 ctg 20 9ctg 20
11ctg 20 - + = o o o ; 6) cos 9°cos 27°cos 63°cos 81° + cos 12°cos 24°cos 48°cos 96° = 0; 7) ( 1) sin sin
2 2 sin 2 sin
sin 2 sin 3
... sin n n n + a
a a a + a + a + +
a = ; 8) ( 1) sin cos 2 2 sin 2 cos cos 2 cos 3
... cos n n n + a
a a a + a + a + +
a = ; 9) Àgàr sina + sinb = 2sin(a + b) và a b p + ¹ 2
bo‘lsà, 1 2 2 3 tg tg b a + = bo‘làdi; 10) Àgàr
2 0 p £ £ bo‘lsà, 2 1 sin
1 sin 2 sin
x x x + - - = bo‘làdi. 1.110. Yig‘indini hisîblàng: 1) cosa + 2cos2a + 3cos3a + ... + n cosna; 2) 1
1 cos cos 2 cos 2 cos 3 cos 9 cos10 ... a
a a a a + + + ; 3) sina - sin2a + sin3a - ... + (-1) n sin n a. 8. Gàrmînik tåbrànishlàrni qo‘shish. 1) y = A sin(wt + a) 51 gàrmînik tåbrànishni ikki gàrmînik tåbrànish yig‘indisi ko‘ri- nishidà yozishdà sin(x + z) = sinxcosz + cosõsinz fîrmulàdàn fîydàlànàmiz: y = A sin(wt + a) = A cosasinwt + A sinacoswt, bungà C 1
2
y = Asin(wt + a) = C 1 sinwt + C 2 coswt, 2 2
2 A C C = + ; (1) 2) ikkità gàrmînik tåbrànishning 1 2
cos C t C t w +
w yig‘in- disini
1 2 sin cos C C A A A t t w +
w ko‘rinishdà yozib îlàylik. 2 1 C A + 2 2 1
A + = bo‘lgàni uchun 1 2 cos , sin C C A A = a = a tångliklàr o‘rinli bo‘làdigàn aÎ[0; 2p] sîn màvjuddir. Bu yerdàn ikkità gàrmînik tåbrànishning 1 2
cos C t C t w +
w yig‘indisini 1 2
cos sin(
) C t C t A t w +
w = w + a ko‘rinishdà yozish mumkinligi và gàrmînik tåbrànishlàrning yig‘indisi hàm gàrmînik tåbrànish bo‘lishini ko‘ràmiz; 3) bir õil w chàstîtàli ikki C 1 sinwt + C 2 coswt và a sinwt + +b coswt gàrmînik tåbrànish yig‘indisi (C 1 + a)sinwt + (C 2 +
+b)coswt bo‘làdi, bundà w - yig‘indining chàstîtàsi, À - àmplitudàsi, 2 2
2 ( ) ( )
C a C b = + + + . Yig‘indining àmplitudàsi và bîshlàng‘ich fàzàsini qo‘shiluvchi tåbrànishlàr àmplitudàlàri và bîshlàng‘ich fàzàlàri îrqàli ifîdà- làylik:
1 = A 1 cosa 1 , C 2 =
2 cosa
2 , a = A 2 cosa 2 , b = A 2 sina 2 bo‘lsin. U hîldà: 2
2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2
1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( cos cos
) ( sin sin ) cos 2 cos
cos cos
sin 2 sin sin sin
2 cos(
)
(2)
= + + + = a + a + + a +
a = a + a a +
+ a +
a + a a + a = = + a - a + Yig‘indi tåbrànishning a bîshlàng‘ich fàzàsi quyidàgi tånglik- làrdàn biri bo‘yichà tîpilàdi: ( ) 1 1 1 2 2 1 cos cos
cos C a A A A A + a = = a +
a , (3) 52 ( ) sin sin
sin a a a = = + +
b A A A A 2 1 1 2 2 1 , (4) 1 1
2 1 1 2 2 sin sin cos
cos tg
A A A a +
a a +
a a =
. (5) Hàr õil chàstîtàli gàrmînik tåbrànishlàrni qo‘shish màsàlàlàri îliy màtåmàtikà kurslàridà qàràlàdi. Ì i s î l . 5 sin 9 75 cos 9
y x x = + funksiyaning eng kàttà và eng kichik qiymàtlàrini tîping. Y e c h i s h . Funksiyani sin(
) y A t = w + a ko‘rinishdà tàsvir- làymiz: 2 2 2 2 2 2 5 75 5 ( 75 )
5 ( 75 )
3 1 2 2 3 5 ( 75 ) sin 9
cos 9 10 sin 9 cos 9 10 sin 9
. y x x x x x + + p æ ö ç ÷ = + × + = ç ÷ è ø æ ö = × + = + ç ÷ è ø Bu yerdàn, 3 10 10 sin 9 10 x p - £ + £ tångsizlikkà egà bo‘làmiz. 7 27 10 y p = - , 54 10 y p = tångliklàr o‘rinli và bàrchà xÎR làrdà 10 ( ) 10 y x - £ £ bo‘lgàni uchun y(x) funksiyaning eng kichik qiymàti -10 gà, eng kàttà qiymàti esà 10 gà tång bo‘làdi.
1) 3sin5t + 4cos5t; 2) 6 6
23 cos 3 t t p p - + - ; 3)
3 3 12 sin 2 5 cos 2 t t p p + + + . 1.112. Quyidà bårilgàn funksiyalàrning eng kàttà và eng ki- chik qiymàtlàrini tîping: 1) 60sin3x - 11cos3x; 2) -12sin4x + 5cos4x; 3) 2 sin 5 cos
x x + ; 4) 4 4 4 sin 3 3 cos 3
x x p p - - - . 1.113. Gàrmînik tåbrànishlàr yig‘indisini tîping: 1) y = 4sin3t và 3 5 sin 3
y t p = - ; 2) 4 6 sin 2
y t p = + và
4 sin 2
y t p = - ;
53 3)
3 2 sin 5
y t p = - và
3 5 sin 5
y t p = + ; 4) y = 3sin 6t và 6 2 sin 6
y t p = - .
g‘idà I tîk kuchi và t vàqt îràsidàgi bîg‘lànish I = I m sin(wt + j) îrqàli bårilàdi, bundà I m – tîk kuchining àmplitudàviy qiymàti, w – tåb- rànishning dîimiy chàstîtàsi, j – tîk kuchi bilàn kuchlànishning fàzàviy fàrqi. Àgàr I
j
qiymàtini và såkundigà dàvrlàr sînini tîping.
0 vàqt mîmåntidà R = |OM | ràdiusli àylànàdàgi Ì nuqtà o‘zi turgàn qism àylànà bo‘ylàb w burchàk tåzlik bilàn hàràkàt qilmîqdà (I.38-ràsm). U t vàqtdà j
1 burchàkkà burilgàn, j = wt và Ì 1 (x; y) nuqtàgà yetgàn. Hàràkàt dàvîmidà OX o‘qidàgi x nuqtà MN diàmåtr bo‘yichà, OY o‘qidàgi y nuqtà KL diàmåtr bo‘yichà bîrib- qàytàdi và bu hàràkàt gàrmînik tåbrànish qînuniyati bo‘yichà o‘tàdi.
1) Kîîrdinàtàlàri shàkli o‘zgàruvchàn to‘g‘ri burchàkli uch- burchàk OxM 1 ning kàtåtlàri ekànidàn fîydàlànib, x và y nuqtàlàrning gàrmînik tåbrànishlàri tånglàmàlàrini tuzing; 2) bundày tånglàmàlàrni j 0 ¹ 0 và burilish burchàgi j + j 0 gà
tång bo‘lgàn hîl uchun hàm tuzing; 3) R = 10 sm, j 0 = 0, j = 30°; 60°; 90°; 180°; 270°; 450° dà jism qànchàgà siljiydi? 4) w = 2p/T và t = 10 s bo‘lsà, bir to‘liq tåbrànish uchun kåtà- digàn Ò vàqtni hisîblàng, j ning qiymàtlàrini 3- sàvîldàn îling.
Nîmà’lum sîn fàqàt trigînîmåtrik funksiyalàrning àrgumånti sifàtidà qàtnàshgàn tånglàmà (tångsizlik) trigînîmåtrik tånglàmà (trigînîmåtrik tångsizlik) dåyilàdi. Ì X N Y K L O j
I.38-rasm. Ì 1
54 sina = m, cosa = m, tga = m, ctga = m ko‘rinishdàgi tånglàmàlàr eng sîddà trigînîmåtrik tånglàmàlàrdir. Bu tånglàmàlàrdà tånglik bålgisi tångsizlik bålgisi bilàn àlmàshtirilsà, eng soddà trigînîmåtrik tångsizliklàr hîsil bo‘làdi. Îdàtdà trigînîmåtrik tånglàmàlàrni (tångsizliklàrni) yechish bittà yoki bir nåchtà eng sîddà trigînîmåtrik tånglàmàlàrni (tångsizliklàrni) yechishgà kåltirilàdi. 1. sina = m ko‘rinishdàgi eng sîddà tånglàmà. Àrksinus. sina = m tånglàmàni yechish birlik àylànàdàgi shundày B(a) nuqtàni tîpishdàn ibîràtki, uning y = sina îrdinàtàsi m gà tång bo‘lishi kåràk. Buning uchun gîrizîntàl diàmåtrgà pàràllål bo‘lgàn y = m to‘g‘ri chiziq bilàn birlik àylànàning kåsishish nuqtàlàrini tîpish kåràk. Uch hîl bo‘lishi mumkin: à) àgàr |m| > 1 bo‘lsà, y = m to‘g‘ri chiziq àylànàni kåsmày, undàn yuqîri yoki quyidàn o‘tàdi (I.39-à ràsm). Dåmàk, bu hîldà tånglàmà yechimgà egà emàs; b) àgàr |m| = 1 bo‘lsà, to‘g‘ri chiziq àylànàgà yo yuqîridàgi 1 2
p nuqtàdà yoki quyidàgi 2 2
p - nuqtàdà urinib o‘tàdi (I.39-b ràsm). Bu hîldà tånglàmà yagînà ildizgà egà: 2 p a = yoki 2 p a = - . Àgàr funksiyaning Ò = 2p àsîsiy dàvri hàm e’tibîrgà îlinsà, yechimni 2 2
k k Z p a = + p Î 2 2 , k k Z p a = - + p Î ko‘rinishdà yozish mumkin; d) |m| < 1 bo‘lsà, y = m to‘g‘ri chiziq àylànàni B 1 (a 0 ) và
B 2 (p - a 0 ) nuqtàlàrdà kåsàdi(1.39-d ràsm). Dåmàk, tånglà- màning yechimi shu nuqtàlàrning kîîrdinàtàlàri bo‘lgàn bàrchà sînlàr to‘plàmlàrining birlàshmàsi bo‘làdi: Y O A X |
m |
Y O A X B 1
2 |
m |
Y O A X B 1
2 |
m |
a 0
0 à) b) d) I.39-rasm. D 55 {a 0 + 2kp, kÎZ}È{p - a 0 + 2kp, kÎZ}. Yechimni x = a 0 + 2kp, kÎZ; x = p - a 0 + 2kp, kÎZ ko‘rinishdà hàm yozish mumkin. Yechimning gåîmåtrik tàhlilidà y = m to‘g‘ri chiziq bilàn sinusîidàning kåsishish nuqtàsi hàqidà hàm gàpirilishi mumkin. 1 - m i s î l . 3 2
tånglàmàni yechàmiz. Y e c h i s h . 3 2
(y < 1) to‘g‘ri chiziq kîîrdinàtàli àylànàni 1 3 B p và 2 2 3 B p nuqtàlàrdà kåsàdi (I.39-d ràsm). B 1 nuqtà
bàrchà 3 2 , k p + p k Z Î sînlàr to‘plàmigà, B 2 nuqtà esà bàrchà 2 3
, k k Z p + p Î ko‘rinishdàgi sînlàr to‘plàmigà mîs. Bàrchà yechimlàr to‘plàmini 3 2 , ;
k Z p a = + p Î
2 3 2 , k k Z p a = + p Î yoki 3 2 , k k Z p + p Î È 2 3 2 , k k Z p + p Î ko‘rinishdà yozish mumkin. 2 - m i s î l . à) sina = 1; b) sina = -1; d) sina = 0 tånglàmàlàrni yechàmiz. Y e c h i s h . à) Kîîrdinàtàli àylànàdà fàqàt bittà 1 2
p nuqtàning îrdinàtàsi 1 gà tång (I.39-b ràsm). Y e c h i m : a p
= + Î 2 2 k k Z ,
; b)
2 2 2 (0; 1) B B p - = - nuqtà bo‘yichà 2 2
k k Z p a = - + p Î ; d) îrdinàtàsi 0 bo‘lgàn nuqtà ikkità: A(0) và D(p) (I.39-d ràsm). À nuqtàgà 2kp, kÎZ, D nuqtàgà esà p + 2kp, kÎZ sînlàr mîs kålàdi. J à v î b : a = 2kp, kÎZ; a = p + 2kp, kÎZ. |m| £ 1 dà y = m to‘g‘ri chiziq và o‘ng yarim birlik àylànà yagînà umumiy nuqtàgà egà bo‘làdi. Shu sàbàbli sina = m (| m | £ 1) tånglàmà - p
2 2 ; îràliqqà tågishli bo‘lgàn yagînà x 0 yechimgà egà. sina = m tånglàmàni qànîàtlàntiruvchi 0 2 2 ;
p p é ù a Î -
ë û sîni m sînning àrksinusi dåyilàdi và arcsinm îrqàli bålgilànàdi. Òà’rifgà ko‘rà
56 sin(arcsinm) = m (1) và 2 2 arcsin m p p
£ (2) bo‘làdi. Àksinchà, sina = m và 2 p
2 p £ a £ bo‘lsà, a = arcsinm bo‘làdi. 3-misîl. à) arcsin 3 2 ; b) arcsin 1 2 - ; d)
3 2 arcsin æ ö - ç ÷ è ø ifîdàlàrni hisîblày- miz.
Y e c h i s h . à) 3 2 sin x = bo‘yichà 1 3
x p = 2 2 3 x p = . Àrksinus- ning tà’rifi bo‘yichà 2 2
p p - £ £ bo‘lishi kåràk. Bu shàrtgà 1 3
p =
3 2 3 arcsin p = . b) 1 2 6 sin
, p - = -
2 2 6 p p p - £ - £ bo‘lgàni uchun arcsin 1 2 - = 6 p = - bo‘làdi. d)
3 3 2 2 3 2 sin ,
p p p p - = - - £ - £ . Dåmàk, 3 2 3 arcsin
p æ ö - = -
ç ÷ è ø . I.40-ràsmdàn y = m và a = arcsinm sînlàri îràsidàgi bîg‘lànish àyon bo‘làdi. Chizmàdà a = arcsinm và -a = arcsin(-m). Dåmàk, arcsin(-m) = -arcsinm. (3) Shundày qilib, |m| £ 1 bo‘lgàn hîldà sina = m tånglàmàning a yechimi {arcsinm + 2kp, kÎZ}È{p - arcsinm + 2kp, kÎZ} to‘plàmlàr birlàshmàsi ko‘rinishidà yoki a = arcsinm + 2kp, kÎZ; a = p - arcsinm + 2kp, kÎZ ko‘rinishdà yoki bu kåyingi ikki fîrmulàni birlàshtirib, a = (-1)
k arcsinm + kp, kÎZ (4) ko‘rinishdà yozish mumkin. 4 - m i s î l . à) 1 7
1 9 sin a = - tånglàmàlàrni yechàmiz. Y e c h i s h . à) 1 7
bo‘yichà 1 7 ( 1) arcsin ,
k k k Z a = -
+ p Î ko‘rinishdà yozàmiz; Y X O m -m -a a
1 (arcsinm) B 2 (arcsin( -m)) Download 1.47 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|