O‘zbekisòÎn respublikàsi îliy và O‘RÒÀ ÌÀÕsus òÀ’LIÌ VÀzirligi o‘RÒÀ ÌÀÕsus, KÀsb-hunàR ÒÀ’LIÌI ÌÀRKÀZI

I.40-rasm.

57

b) (3) munîsàbàtgà ko‘rà 

1

1

9

9

arcsin

arcsin

-

=

.

Y e c h i m :  

1

1

9

9

arcsin

2 , 

arcsin

2 , 

k

k Z

k

k Z

-

+

p

Î

È p +

+

p

Î

yoki 

1

1

9

( 1)

arcsin

,  

k

k

k

Z

+

a = -

+ p

Π ekànligi kålib chiqàdi.

Ì à s h q l à r

1.116.  Òånglàmàlàrni  yeching  và  gràfik  yordàmidà  tushun-

tiring:

1)  sinx = -0,5;  2)  sinx = -0,75; 3)  sinx  = 0,2; 4) 

7

8

sin x = ;

5)

2

2

sin x =

; 6) 

3

0

3

2

sin x + =

; 7) 5 sinx - 7 = 0; 8) 6 sinx - 2 = 0.

1.117. Òånglàmàlàrni yeching:

1) 4 sin

2

x - 1 = 0;

2)  -2 sin

2

x + sinx + 1 = 0;

3) 3 sin

2

x - 4sinx - 0,75 = 0;

4) 

2

3 sin

2 sin

0

x

x

-

= .

1.118. Qiymàtini tîping:

1) 

2

2

arcsin æ

ö

-

ç

÷

è

ø

;

2) 

2

2

arcsin æ

ö

ç

÷

è

ø

;

3) arcsin0,5.

1.119. Hisîblàng:

1)  arcsin(sin30°);

2) 

(

)

12

arcsin sin

p

;

3)  arcsin(sin2);

4)  arcsin(sin10).

1.120. arcsina quyidàgi qiymàtlàrni qàbul qilà îlàdimi?

1) 

p

3

;    2)  -3p;    3) 

-

p

6

;    4) 

p

4

;    5) 

-

p

4

;    6)  3 ;    7)  -p;

8)  4 5 .

2.  cosa  =  m  ko‘rinishdàgi  eng  sîddà  tånglàmà.  Àrkkîsinus.

Kîîrdinàtàli  àylànàdà  îlingàn  hàr  qàysi  B(a)  nuqtàning

Y

| m |

 > 1

X

1

A(0)

O

-1

| m |

 = 1

-m

Y

X

A(0)

x

 = -1

O

x

 = 1

C

D(p)

Y

X

O

B

2

(-a

0

)

| m |

 < 1

B

1

(a

0

)

A(0)

D(p)

    

 à)                              b)                                    d)

I.41-rasm.

m

58

àbssissàsi õ = cosa gà tång. Shungà ko‘rà bårilgàn m bo‘yichà cosa

= m tånglàmàni yechish nuqtàning õ = m àbssissàsi bo‘yichà ungà

mîs a = a

0

 yoy kàttàligini tîpishdàn ibîràt. Uch hîlni qàràymiz:

1 - h î l .  |m|  >  1  dà  õ  =  m  vårtikàl  to‘g‘ri  chiziq  àylànàni

kåsmàydi (I.41-a ràsm). Bu hîldà tånglàmà yechimgà egà emàs.

Ìàsàlàn,  cosa  =  2,8  tånglàmà  yechimgà  egà  emàs,  chunki

m = 2,8 > 1.

2 - h î l .  Àgàr |m| = 1 bo‘lsà, to‘g‘ri chiziq àylànàga fàqàt bir

nuqtàdà, ya’ni yo À(1; 0) nuqtàdà, yoki D(-1; 0) nuqtàdà urinàdi

(I.41-b ràsm). À nuqtàning àylànà bo‘yichà kîîrdinàtàsi a = 2pk,

kÎZ. Shungà ko‘rà cosa = 1 ning yechimi a = 2pk, kÎZ sînlàr

to‘plàmi  bo‘làdi.  D(-1;  0) = D(p + 2pk)  ekàni  e’tibîrgà  îlinsà,

cosa = -1 ning yechimi a = p + 2pk sonlar to‘plami bo‘làdi.

3 - h î l .  |m| < 1 bo‘lsà, õ = m to‘g‘ri chiziq àylànàni ikki nuq-

tàdà kåsàdi (I.41-d ràsm). Ulàrdàn biri B

1

(a

0

) nuqtà 0 £ a

0

 £ p

yuqîri yarim àylànàdà jîylàshàdi. a

0

 sîn m sînning àrkkîsinusi

dåyilàdi và a

0 

=

 

arccosm îrqàli bålgilànàdi. Òà’rifgà ko‘rà cosa

 

=

=cos(arccosm)

 

=

 

m và 0 £ arccosm £ p bo‘làdi.

Shu kàbi B

2

(-a

0

) nuqtà uchun: cos(-a

0

) = cosa

0

 = m. Bundàn

-a

0

  =  arccosm  yoki  a

0

  =  -arccosm.  Dåmàk,  |m|  <  1,  kÎZ  dà

cosa  =  m  tånglàmàning  yechimi  {arccosm  +  2pk,  kÎZ}È

È{-arccosm + 2pk, kÎZ} sînlàrto‘plàmlàri birlàshmàsi bo‘làdi. Uni

{±arccosm + 2pk, kÎZ}                                  (1)

yoki

±arccosm + 2pk, kÎZ                                    (2)

ko‘rinishdà  hàm  yozish  mumkin.  I.42-ràsmdàn,  ÎY    o‘qigà

nisbàtàn    simmåtrik    jîylàshgàn    B

1

(arccosm)  =  B

1

(a)    và

B

2

(arccos(-m))  =  B

2

(p  -  a)  nuqtàlàr  bo‘yichà  a  =  arccosm  và

p - a = arccos(-m) bo‘lishini àniqlàymiz. Undàn:

arccos(-m) = p - arccosm                                   (3)

hîsil qilinàdi, bundà 0 £ a £ p.

1 - m i s î l .  

3

2

cos a =

 tånglàmàni yechàmiz.

Y e c h i s h .  

3

2

6

6

cos

cos

p

p

=

-

=

  bo‘làdi.  Dåmàk, 

3

2

x =

to‘g‘ri chiziq kîîrdinàtàli àylànàni 

1

1

3

2

6

arccos

B

B

p

=

 nuqtàdà

và  àbssissàlàr  o‘qigà  nisbàtàn  B

1

  gà  simmåtrik  jîylàshgàn

59

2

2

3

2

6

arccos

B

B

p

-

=

-

  nuqtàdà

kåsàdi.  Yechim  B

1

  nuqtà  bo‘yichà

p

p

6

2

+

Î

k k

Z

,  

 

sînlàr  to‘plàmi  và  B

2

nuqtà  bo‘yichà 

k k

Z

6

2

, 

p

- + p

Î

sînlàr to‘plàmi birlàshmàsi bo‘làdi:

3

2

6

cos

;  

2

,  

k

k Z

p

a =

+

p

Î

È

6

2

,  

k

k

Z

p

È - +

p

Î

 yoki

k

k

Z

6

2

, 

p

a = ± +

p

Π.

2 - m i s î l .  

( )

arccos -

1

2

 ni hisîblàng.

Y e c h i s h .  (3) fîrmulàgà ko‘rà, quyidàgini tîpàmiz:

2

1

1

2

2

3

3

arccos

arccos

p

p

-

= p -

= p - =

.

3 - m i s î l .  

3

7

cos x = -  tånglàmàni yeching.

Y e c h i s h .

3

7

arccos

2

,  

x

k k

Z

= ±

-

+ p

Π gà egàmiz. (3) gà

ko‘rà x

k k

Z

3

7

arccos

2

,  

= ± p -

+ p

Î

 bo‘làdi.

4 - m i s î l .  

x

1

3

cos =   tånglàmàni  y = cosx  funksiya  gràfigi

yordàmidà yeching.

Y e c h i s h .  Àyni bir XOY kîîrdinàtàlàr siståmàsidà y = cosx

và  

1

3

y =  funksiyalàr gràfiklàrini yasàymiz (I.43-ràsm).

Bu  gràfiklàr  chåksiz  ko‘p  nuqtàlàrdà  kåsishàdi.  y  =  cosx

funksiya dàvri 2p bo‘lgàn dàvriy funksiya bo‘lgàni uchun bårilgàn

Y

X

-1

1

O

p

2

3

2

p

p

2

p

-

-p

3

2

p

-

1

x

2

x

cos

y

x

=

I.43-rasm.

1

3

y =

Y

X

O

m

-m

B

2

(p - a)

I.42-rasm.

B

1

(a)

60

tånglàmàning  [-p;  p]  kåsmàdàgi  bàrchà  yechimlàrini  tîpish  và

qîlgàn yechimlàrni shu yechimlàr îrqàli àniqlàsh mumkin.

[-p; p] îràliqdà y = cosx funksiya gràfigi 

1

3

y =  funksiya gràfigi

bilàn  ikkità  kåsishish  nuqtàsigà  egà.  Kåsishish  nuqtàlàrining

1

1

3

arccos ,

x = -

 

2

1

3

arccos

x =

 àbssissàlàri bårilgàn tånglàmàning

[-p; p] dàgi bàrchà yechimlàridir. Shu sàbàbli bàrchà yechimlàr

quyidàgichà àniqlànàdi: 

1

3

arccos

2

,  

x

k k Z

= ±

+ p

Π.

5 - m i s î l .   arccos(cos53°) ni tîping.

Y e c h i s h .  arccos(cosm)  =  m,  (0  £  m  £  p)  àyniyatdàn  fîy-

dàlànàmiz. 

53

180

53

p

=

o

 và 

53

180

0

p

<

< p  bo‘lgàni uchun bu àyniyatgà

ko‘rà

53

53

180

180

arccos(cos 53 ) arccos cos

p

p

=

=

o

.

Ì à s h q l à r

1.121. Òånglàmàni y = cosx funksiya gràfigi yordàmidà yeching:

1)  cosx

 = 0;

      2) cosx

 = 0,5;

3) 

2

9

cos x = - ;

4)

2

2

cos x = -

;

     5) cosx = 2,4;          6) 2 cos

3

0

x +

= .

1.122. Ifîdàning qiymàtini tîping:

1) 

2

2

arccos -

;  2)  arccos(-0,5);  3)  arccos(cos30°);

4)  arccos(cos(-30°));  5)  arccos(sin30°);  6)  arccos(cos2);

7)  arccos(cos(-2));    8)  arccos(sin2));  9)  arccos(sin(-2));

10)  arccos(cos88);  11)  arccos(sin86).

1.123. Òångliklàrning to‘g‘riligini tåkshiring:

1)  arccosx

 = -arcsinx;

2) -arccosx = p + arccosx.

1.124. Ifîdàning qiymàtini tîping:

1)

3

3

2

2

cos arccos

arcsin

æ

ö

-

ç

÷

è

ø

;

2)

3

1

2

2

sin arccos

arcsin

æ

ö

+

ç

÷

è

ø

.

1.125. Òånglàmàni yeching:

1) cos

2

x -

 3 = 0;

   2) 

2

2

cos 2 x æ

ö

= -

ç

÷

è

ø

;    3) 6cos

2

x +

 3 = 0;

4) 3cos

2

x -

 5 = 0;    5) 2cos

2

x -

 1 = 0;      6) 4cos

2

x -

 1 = 0.

61

1.126. Òånglàmàni yeching:

1) cos

2

x -

 2cosx = 0;

2) 2cos

2

x -

 cosx = 0;

3) 2cos

2

x -

 cosx - 1 = 0;

4) 2cos

2

x -

 3cosx + 1 = 0.

3. tga = m và ctga = m

 ko‘rinishdàgi eng sîddà tånglàmàlàr.

Àrktàngåns  và  àrkkîtàngåns.  Kîîrdinàtàli  àylànàning  hàr  bir

B(a)  nuqtàsi  Dåkàrt  kîîrdinàtàlàr  siståmàsidàgi  birîr  B  (õ,  y)

nuqtà  bilàn  ustmà-ust  tushishini  và  õ =

 cosa,  y  = sina  ekànini

bilàmiz. Shungà ko‘rà, nîmà’lum a qàtnàshàyotgàn tga =

 m yoki

sin

cos

m

a

a

=

 tånglàmàning bàrchà yechimlàrini kîîrdinàtàli àylànà

bilàn 

y

x

m

=

, ya’ni y =

 mx to‘g‘ri chiziqning kåsishish nuqtàlàri

yordàmidà  àniqlàsh  mumkin.  m  ning  hàr  qàndày  qiymàtidà

y  =

 mx  to‘g‘ri  chiziq  àylànàni  O  (0;  0)  nuqtàgà  nisbàtàn  sim-

måtrik bo‘lgàn B

1

 và B

2

 nuqtàlàrdà kåsàdi (I.44-ràsm). Ulàrdàn

biri 

2

2

p

p

- < a <   o‘ng  yarim  àylànàdà  yotàdi.  Bu  nuqtà  B

1

(a

0

)

bo‘lsin. Ikkinchi nuqtà B

2

(a

0

 +

 p) bo‘làdi. Dåmàk, tga = m tång-

làmàning  bàrchà  yechimlàri  to‘plàmi  a =

 a

0

 +

 2kp,  kÎZ  và  a =

=

 (a

0

  +

 p) +2kp,  kÎZ  sînlàr  to‘plàmlàri  birlàshmàsidàn  ibîràt.

Bàrchà yechimlàr

a =

 a

0

 +

 kp, kÎZ                                         (1)

fîrmulà bilàn àniqlànàdi.

m  sînning  àrktàngånsi  dåb 

2

2

;  

p

p

-

  îràliqdà  yotàdigàn

shundày  a sîngà  àytilàdiki,  uning  uchun  tga  =

  m  bo‘làdi.  m

sînning àrktàngånsi a =

 arctgm îrqàli bålgilànàdi. Òà’rifgà àsîsàn,

hàr qàndày m sîn uchun quyidàgi munîsàbàtlàr o‘rinli bo‘làdi:

tg(arctgm) =

 m, 

2

2

arctgm

p

p

- <

< .                            (2)

Àksinchà,  tga  =

  m, 

2

2

p

p

- < a <

bo‘lsà, a =

 arctgm bo‘làdi.

Yuqîridàgi  shàrtlàrdàn  và  tàn-

gåns  tîq  funksiyaligidàn  tg(-a)  =

=

 -tga = -m bo‘lgàni uchun quyidàgi

tånglik o‘rinli bo‘làdi:

arctg(-m) = -arctgm         (3)

Àrkkîtàngåns  tushunchàsi  hàm

shu kàbi kiritilàdi.

Y

X

B

1

(a

0

)

D(p)

C(p/2)

O

D(-p/2)

A(0)

I.44-rasm.

62

m  sînning  àrkkîtàngånsi  dåb  (0;  p)  îràliqdà  yotàdigàn

shundày  a sîngà  àytilàdiki,  uning  uchun  ctga = m  bo‘làdi.  m

sînning àrkkîtàngånsi a = arcctgm îrqàli bålgilànàdi. Uning uchun

quyidàgi tånglik o‘rinli:

arcctg(-m) = p - arcctgm.                       (4)

1 - m i s î l .   à)  tg

3

x = -

;    b)  ctg

3

x = -

    tånglàmàlàrni

yechàmiz.

Y e c h i s h .  à) 

3

tg

3

p

-

= -

, dåmàk, 

3

, 

x

k k Z

p

= - + p

Π.

b) 

5

6

ctg

3

p

= -

,  dåmàk, 

5

6

, 

x

k k Z

p

=

+ p

Π.

2 - m i s î l .  à) arctg

3

-

; b)  arcctg

3

-

 sînlàrni tîpàmiz.

Y e c h i s h .   à)  (3)  fîrmulà  bo‘yichà  arctg

3

-

=

3

arctg 3

p

= -

= - ;

b)  (4)  fîrmulà  bo‘yichà 

5

6

6

arcctg

3

p

p

-

= p - =

.

M à s h q l à r

1.127. Òånglàmàni yeching (gràfikdàn hàm fîydàlàning):

1) 

3

2

tgx = -

;

    2)  ctg

3

x = -

;

    3) ctgx

 = 0,2.

1.128. Ifîdàning qiymàtini tîping:

1) 

3

2

arcctg æ

ö

-

ç

÷

è

ø

;

2)  arcctg1;

3)  arctg(-1);

4)  arctg0;

5)  arcctg0.

1.129. Hisîblàng:

1) 

3

2

tg arcsin

æ

ö

ç

÷

è

ø

;

                        2) ctg(arcsin0,5);

3)  tg(arccos0,5);

                        4) ctg(arctg(-1));

5) 

( )

2

3

tg arcctg -

;                          6) sin arcctg( 3) ;

7) 

3

3

cos arctg

æ

ö

æ

ö

-

ç

÷

ç

÷

è

ø

è

ø

;                      8) cos(arcctg(-0,8)).

1.130. 

2

arcctg

arctg

x

x

p

= -

 tånglikning to‘g‘riligini tåkshiring.

63

1.131. Hisîblàng:

1)

3

3

2

2

sin arctg

arcctg

æ

ö

-

ç

÷

è

ø

;

   2)

2

2

tg arcsin

arctg 3

æ

ö

-

ç

÷

è

ø

.

1.132. arctgx quyidàgi qiymàtlàrni qàbul qilà îlàdimi? arcctgx-chi:

1)  0;

2)  -0,01;

3)  -p;

4)  p/2;

5)  3p/2;

6) 

2

;

7)  -1;

8)  p?

4.  Òånglàmàlàrni  yechishning  àsîsiy  usullàri.  Òrigînîmåtrik

tånglàmà  nîmà’lum  àrgumåntning  trigînîmåtrik  funksiyalàrigà

nisbàtàn

R(z) =

 a

0

z

n

 +

 a

1

z

n-1

 +

 ... + a

n-1

z +

 a

n

 =

 0                  (1)

ko‘rinishdàgi àlgåbràik tånglàmàgà kåltirilishi mumkin, bundà z

îrqàli sinlx, coslx, tglx, ctglx funksiyalàrdàn biri ifîdàlàngàn.

Àlgåbràik tånglàmà kàbi (1) trigînîmåtrik tånglàmàlàrni yechish-

dà yangi nîmà’lum kiritish, ko‘pàytuvchilàrgà àjràtish và hîkàzî

usullàr  qo‘llànilàdi.  Jàràyon  eng  sîddà  trigînîmåtrik  tånglà-

màlàrdàn birini yechishgàchà bîràdi. Òrigînîmåtrik tånglàmàlàrni

yechishdà àsîsàn quyidàgi hîllàr uchràydi:

1)  R(f  (x)) =

 0  tånglàmàdà  R  trigînîmåtrik  funksiya  bålgisi

îstidà õ gà bîg‘liq bo‘lgàn f (x) ifîdà turibdi. f (x) = z àlmàshtirish

îrqàli tånglàmà eng sîddà R(z) =

 0 trigînîmåtrik tånglàmàlàrdàn

birigà kåltirilishi mumkin. Uning z =

 z

i

 ildizlàri birmà-bir f (x) =

 z

gà qo‘yilàdi và õ ning qiymàtlàri tîpilàdi.

1 - m i s î l .  

3

8

2

sin 10x

p

+

=

 tånglàmàni yechàmiz.

Y e c h i s h .   Ìisîlimizdà 

8

( ) 10

f x

x

p

=

+ .  Òånglàmàgà

8

10x

z

p

+ =   àlmàshtirish    kiritsàk, 

3

2

sin z =

  tånglàmà  hîsil

bo‘làdi. Uning yechimi: 

3

( 1)

,  

k

z

k

k

Z

p

= -

+ p

Î

. Bu 

8

10x

z

p

+ =  gà

qo‘yilàdi và jàvîb tîpilàdi:

1

10

8

3

( 1)

, 

k

x

k

k Z

p

p

=

- + -

+ p

Π.

2 - m i s î l .  

2

3

3

6

tg

6

x

x

p

+

+

=

  tånglàmàni  yechàmiz.

Y e c h i s h .  

2

6

6

z

x

x

p

=

+

+

 àlmàshtirish kiritàmiz. Òånglàmà

3

3

tgz =

 ko‘rinishgà kålàdi. Undàn 

6

, 

z

k

k Z

p

= + p

Π ni tîpàmiz.

64

U hîldà 

2

6

6

6

,  

x

x

k

k

Z

p

p

+

+ = + p

Î

 yoki x

2

 + 6x - kp = 0, kÎZ.

Kvàdràt  tånglàmàning  ildizlàri 

3

9

,  

x

k

k Z

= - ±

+ p

Π,  bundà

9 + kp ³ 0 yoki 

9

2,86...

k

p

³ - = -

, ya’ni k = -2; -1; 0; 1;... .

J à v î b :  

3

9

, 

, 

2

x

k

k Z k

= - ±

+ p

Î

³ - .

2)  sinx  =  sina,  cosx  =  cosa  và  tgx  =  tga  tånglàmàlàr.  Bu

tånglàmàlàr  mîs  ràvishdà  x  =  (-1)

k

a + kp,  kÎZ,  x = ±a + 2np,

nÎZ, x = a + mp, mÎZ  fîrmulàlàr yordàmidà yechilishi mum-

kin.

3 - m i s î l .  cos(5x - 45°) = cos(2x + 60°) tånglàmàni yeching.

Y e c h i s h .  5x - 45° = ±(2x + 60°) + 360°k, kÎZ tånglàmàlàrni

yechàmiz. 5x - 45° = +(2x + 60°) + 360°k, kÎZ tånglikdàn x = 35° +

+120°k, kÎZ yechimlàr guruhini, 5x - 45° = -(2x + 60°) + 360°k,

kÎZ  tånglikdàn  esà 

1

7

15

360

x

k

=

-

+

o

o

,  kÎZ    yechimlàr

guruhini tîpàmiz.

Shundày  qilib,  x  =  35°  +  120°k,  kÎZ; 

1

7

15

360

x

k

=

-

+

o

o

,

kÎZ.

4 - m i s î l .  sinx

2

 = sin(6x - 5) tånglàmàni yechàmiz.

Y e c h i s h .  x

2

 = (-1)

k

(6x - 5) + kp, kÎZ tånglàmà hîsil bo‘làdi.

Àgàr k juft bo‘lsà, ya’ni k = 2n, nÎZ dà x

2

 = 6x - 5 + 2np, nÎZ

kvàdràt tånglàmà kålib chiqàdi. Uning yechimi

1,2

2

3

9 (5 2

),  

,  

x

n

n Z n

p

é

ù

= ±

-

-

p

Î

³ -

ë

û .

Àgàr k tîq bo‘lsà, ya’ni k = 2m + 1, mÎZ dà x

2

 = -6x + 5 + (2m +

+1)p, mÎZ ko‘rinishdà bo‘làdi và bundàn

1,2

14

2

3

9 (5 2(

1) ),  

,  

x

m

m Z m

+p

p

é

ù

= - ±

+

+

+ p

Î

³ -

ë

û .

3)  f (R(x)) = 0  tånglàmàdà  R  trigînîmåtrik  funksiya  bîshqà

f funksiya  bålgisi  îstidà  turàdi.  R(x)  =  z  àlmàshtirish  màsàlàni

f (z) = 0 tånglàmàni yechishgà kåltiràdi. Bu tånglàmàning z

1

, z

2

, ...

ildizlàri bo‘yichà R(x) = z

1

, R(x) = z

2

, ... tånglàmàlàr màjmuàsini

hîsil qilàmiz. Uni yechish bilàn màsàlà hàl qilinàdi.

5 - m i s î l . sin

2

x + 3sinx + 1,25 = 0 tånglàmàni yechàmiz.

65

Y e c h i s h . sinx = z àlmàshtirish nàtijàsidà z

2

 + 3z + 1,25 = 0

kvàdràt tånglàmà hîsil bo‘làdi. Uning ildizlàri z

1

 = -5, z

2

 = -1.

sinx = -5 tånglàmà yechimgà egà emàs. sinx = -1 tånglàmà x = -90°+

+ 360°k, kÎZ yechimlàrgà egà.

4)  Bà’zàn  bårilgàn  tånglàmàni  ko‘pàytuvchilàrgà  àjràtish

usulidàn trigînîmåtrik funksiyalàr yig‘indisini ko‘pàytmà ko‘ri-

nishigà kåltirishdà fîydàlànilàdi.

6 - m i s î l .   2 cos

2 sin 2

2 2 sin

2

0

x

x

x

-

-

+

=  tånglàmàni

yechàmiz.

Y e c h i s h .  sin2x = 2sinx cosx àlmàshtirish tånglàmàni 2 cos x -

4 sin cos

2 2 sin

2

0

x

x

x

-

-

+

=   ko‘rinishgà  kåltiràdi.  Uning

chàp qismini ko‘pàytuvchilàrgà àjràtàmiz:

2 cos (1 2 sin )

2 (1 2 sin ) 0,

(1 2 sin )(2 cos

2 ) 0,

x

x

x

x

x

-

+

-

=

-

+

=

bundàn:

2

2

sin

0,5,

1 2 sin

0,

cos

.

2 cos

2

0,

x

x

x

x

-

=

ì

-

=

ìï

ï

Þ

í

í

=

+

=

ïî

ïî

J à v î b :   ( 1) 30

180

,  

135

360

,  

k

k k Z

k k Z

-

+

Î

È ±

+

Î

o

o

o

o

.

7 - m i s î l .  

1

2

1

sin

cos

x

x

+

=

 tånglàmàni yeching.

Y e c h i s h .   Bu  tånglàmà 

2

1

2

cos

0,

1

sin

cos

x

x

x

³

ìï

í +

=

ïî

  yoki

1

2

cos

0,

sin

sin

0

x

x

x

³

ìï

í

+

=

ïî

 tånglàmàlàr siståmàsigà tång kuchlidir (VI

bîb, 7-§; 1-bànd). 

1

2

1

2

cos

0,

cos

0,

sin

0;

cos

0,

sin

sin

0,

sin

x

x

x

x

x

x

x

é

³

ì

í

ê

³

=

ì

î

ê

ï

Þ

í

ê

³

ì

+

=

ï

ï

ê

î

í

ê

= -

ï

êî

ë

 bo‘lgàni

uchun  bårilgàn  tånglàmàning  bàrchà  yechimlàri  x  =  2kp,  kÎZ

và 

6

2

,  

x

k

k Z

p

= - +

p

Π fîrmulàlàr bilàn àniqlànàdi.

5  Àlgebra,  II  qism

66

J à v î b :  

{

}

2

2

6

k

k

Z

k

k

Z

p

p

p

,

,

 

 

Î

È - +

Î

.