O`zbekiston Oliy va O`rta maxsus ta`lim vazirligi Namangan Davlat universiteti

1.12. Elementlari  
∑
∞
=
≥
∞
<
1
1
,
k
p
k
p
x
 
shartni  qanoatlantiruvchi  barcha 
(
)
K
K
,
,
,
,
2
1
n
x
x
x
x
=
  haqiqiy  sonlar  ketma  - 
ketliklaridan iborat va ikki nuqtasi orasidagi masofa 
( )
p
k
p
k
k
y
x
y
x
1
1
,




−
=
∑
∞
=
ρ
  
 
 
 
(1.20) 
formula  bilan  aniqlangan  to‘plamni  qaraymiz.  Bu  to‘plamni 
p
l
  deb  belgilaymiz. 
Ixtiyoriy  
p
y
x
l
∈
,
  lar uchun har bir  n  da 
p
n
k
p
k
p
n
k
p
k
p
n
k
p
k
k
y
x
y
x
1
1
1
1
1
1




+




≤




−
∑
∑
∑
=
=
=
   
(1.21) 
Minkovskiy tengsizligi o‘rinli bo‘lgani va 
∞
<
∞
<
∑
∑
∞
=
∞
=
1
1
,
k
p
k
k
p
k
y
x
  
shartlar bajarilgani uchun (1.21) da 
∞
→
n
 da limitga o‘tsak, 
p
k
p
k
p
k
p
k
p
k
p
k
k
y
x
y
x
1
1
1
1
1
1




+




≤




−
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
 
ga ega bo‘lamiz. Bundan ixtiyoriy 
p
y
x
l
∈
,
 lar uchun (1.20) qator yaqinlashishiga 
ega  bo‘lamiz.  (1.20)  tenglik  bilan  aniqlangan 
ρ   funksiya  metrikaning  1  va  2-
aksiomalarini  qanoatlantirishi  ko‘rinib  turibdi.  Uchburchak  aksiomasi  (1.14) 
Minkovskiy tengsizligidan foydlanib isbotlanadi. 
Endi  biz  Minkovskiy  va  Gyolder  tengsizliklarining  integral  formasini 
beramiz. 
( ) ( )
( )
( )
1
,
1
1
1
≥






+






≤






+
∫
∫
∫
p
dt
t
y
dt
t
x
dt
t
y
t
x
p
b
a
p
p
b
a
p
p
b
a
p
.     (1.22) 
Bu  Minkovskiy  tengsizligi  deb  ataladi.  Minkovskiy  tengsizligi,  ya’ni  (1.22) 
tengsizlik 
]
,
[ b
a
  kesmada 
(
)
1
>
p
p
  -  chi  darajasi  bilan  Lebeg  ma’nosida 
integrallanuvchi ixtiyoriy  x  va 
y
 funksiyalar uchun o‘rinli. Quyidagi tengsizlik  
( ) ( )
( )
( )
1
1
1
,
1
,
1
,
1
1
=
+
>
>






⋅






≤
∫
∫
∫
q
p
q
p
dt
t
y
dt
t
x
dt
t
y
t
x
q
b
a
q
p
b
a
p
b
a
   (1.23) 
Gyolder  tengsizligi  deb  ataladi.  Gyolder  tengsizligi 
]
,
[ b
a
  kesmada 
(
)
1
>
p
p
-chi 
darajasi  bilan  Lebeg  ma’nosida  integrallanuvchi  x   va 
q
(
)
1
>
q
-chi  darajasi  bilan 

 
 
15 
integrallanuvchi  ixtiyoriy 
y
  funksiyalar  uchun  o‘rinli.  (1.10)  tengsizlik  Koshi-
Bunyakovskiy tengsizligining integral formasidir. 
Endi  haqiqiy  o‘zgaruvchining  funksiyalari  nazariyasi  fanida  xossalari 
o‘rganilgan  o‘zgarishi  chegaralangan  va  absolyut  uzluksiz  funksiyalar  to‘plamini 
qaraymiz. 
1.13.  Berilgan 
]
,
[ b
a
  kesmada  aniqlangan  va  o‘zgarishi  chegaralangan 
funksiyalar to‘plamida ikki nuqta orasidagi masofani  
( )
( ) ( )
[
]
y
x
a
y
a
x
y
,
x
V
b
a
−
+
−
=
ρ
 
 
 
(1.24) 
formula  bilan  aniqlaymiz.  Bu  yerda 
]
[ f
V
b
a
  -  o‘zgarishi  chegaralangan  f  
funksiyaning 
]
,
[ b
a
  kesmadagi  to‘la  o‘zgarishi  (variatsiyasi).  (1.24)  tenglik  bilan 
aniqlangan 
ρ   akslantirishning  metrika  aksiomalarini  qanoatlantirishi  funksiya 
to‘la o‘zgarishi xossalaridan kelib chiqadi. 
Masalan, uchburchak tengsizligi  
( ) ( ) ( )
z
,
y
y
,
x
z
,
x
ρ
ρ
ρ
+
≤
  da 
( ) ( ) ( )
t
t
y
t
x
ϕ
=
−
  va  
( ) ( ) ( )
t
t
z
t
y
ψ
=
−
 
belgilashlar olsak u quyidagi ko‘rinishni oladi 
( ) ( )
[
]
( )
( )
[ ]
[ ]
ψ
ϕ
ψ
ϕ
ψ
ϕ
ψ
ϕ
V
V
V
b
a
b
a
b
a
a
a
a
a
+
+
+
≤
+
+
+
. 
Bu esa 
b
a
b
a
+
≤
+
 tengsizlikdan va o‘zgarishi chegaralangan funksiyalarning  
]
[
]
[
]
[
ψ
ϕ
ψ
ϕ
V
V
V
b
a
b
a
b
a
+
≤
+
 
xossasidan  kelib  chiqadi.  Hosil  qilingan  metrik  fazo  o‘zgarishi  chegaralangan 
funksiyalar fazosi deyiladi va 
]
,
[ b
a
V
 orqali belgilanadi. 
1.14.  Berilgan 
]
,
[ b
a
  kesmada  aniqlangan  va  absolyut  uzluksiz    funksiyalar 
to‘plamini  qaraymiz.  Bu  to‘plamda  ham  ikki  x   va 
y
  nuqtalar  orasidagi  masofa 
( )
y
x,
ρ
,  (1.24)  tenglik  bilan  aniqlanadi.  Hosil  qilingan  metrik    fazo  absolyut 
uzluksiz funksiyalar fazosi deb ataladi va 
]
,
[ b
a
AC
 orqali belgilanadi. 
1.1-eslatma. 
(
)
ρ
,
X
  -  metrik  fazo  va  M   uning  ixtiyoriy  qism  to‘plami 
bo‘lsin.  U  holda    X   da  aniqlangan 
ρ   masofa,  uning qismi  bo‘lgan  M  da  ham 
masofa aniqlaydi. Shuning  uchun 
(
)
ρ
,
M
  metrik  fazo bo‘ladi. 
(
)
ρ
,
M
  metrik  fazo 
(
)
ρ
,
X
 metrik fazoning qism fazosi deb ataladi.  
 
1.1. Metrik fazolarni uzluksiz akslantirishlar. Izometriya 
 
(
)
ρ
,
X
X
=
 va 
( )
d
Y
Y
,
=
 –  metrik  fazolar,  f  – esa  X  ni  Y  ga akslantirish 
bo‘lsin. Shunday qilib, har bir 
X
x
∈
 elementga yagona 
( )
Y
x
f
y
∈
=
 element mos 
qo‘yilgan bo‘lsin. 
1.2-ta’rif.  Agar  ixtiyoriy 
ε >0  uchun  shunday 
δ
>0  mavjud  bo‘lib, 
(
)
δ
ρ
<
0
, x
x
  shartni  qanoatlantiruvchi    barcha 
X
x
∈
  nuqtalar  uchun 

 
 
16 
ε
<
))
(
),
(
(
0
x
f
x
f
d
  tengsizlik  o‘rinli  bo‘lsa,  u  holda  f   akslantirish 
X
x
∈
0
 
nuqtada  uzluksiz  deyiladi.  Agar  f   akslantirish  X   ning  hamma  nuqtalarida 
uzluksiz bo‘lsa, u holda  f  ni  X  da uzluksiz deb ataymiz. 
Agar  X  va  Y  lar sonli to‘plamlar bo‘lsa, ya’ni  x  - son,  f  - sonli funksiya 
bo‘lsa,  u  holda  akslantirishning  uzluksizlik  ta’rifi  matematik  analizdan  ma’lum 
bo‘lgan  funksiyaning uzluksizligi ta’rifiga aylanadi. 
Ta’kidlash  lozimki,  agar  X   metrik  fazodagi 
ρ   masofani 
X
X
×
  metrik 
fazoni 
)
,
0
[
:
∞
=
+
R
  metrik  fazoga  akslantirish  deb  qarasak, 
ρ   -  uzluksiz 
akslantirish  bo‘ladi.  Bu  yerda 
( )
{
}
X
y
x
y
x
X
X
∈
=
×
,
:
,
  to‘plamda 
(
)
2
1
, x
x
  va 
(
)
2
1
, y
y
  juftliklar  orasidagi  masofa 
(
) (
)
(
)
2
1
2
1
,
,
,
y
y
x
x
d
=
ρ
(
)
1
1
, y
x
+
ρ
(
)
2
2
, y
x
 
formula yordamida aniqlanadi. Endi 
ρ  akslantirishning uzluksizligini ko‘rsatamiz. 
Ixtiyoriy 
(
)
X
X
y
x
×
∈
0
0
,
nuqtani  olamiz  va  mahkamlaymiz.  Keyin  ixtiyoriy 
( )
X
X
y
x
×
∈
,
 nuqta olib, metrikaning  uchburchak aksiomasidan  foydalanamiz: 
( ) (
) (
) (
) (
) (
)
,
,
,
,
,
,
,
0
0
0
0
0
0
y
y
y
x
x
x
y
x
x
x
y
x
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
+
+
≤
+
≤
 
(
) (
) ( ) (
)
.
,
,
,
,
0
0
0
0
y
y
y
x
x
x
y
x
ρ
ρ
ρ
ρ
+
+
≤
 
Bu ikki tengsizlikdan  
( ) (
)
(
) (
)
y
y
x
x
y
x
y
x
,
,
,
,
0
0
0
0
ρ
ρ
ρ
ρ
+
≤
−
 
ga kelamiz. Agar  
( ) (
)
(
)
0
0
,
,
,
y
x
y
x
d
=
ρ
(
)
0
, x
x
+
(
)
ε
ρ
<
0
, y
y
 
desak,  u  holda   
( ) (
)
ε
ρ
ρ
≤
−
0
0
,
,
y
x
y
x
  bo‘ladi,  ya’ni 
ρ   uzluksiz  akslantirish  
ekan. 
Agar 
Y
X
f
→
:
  akslantirish  X   va  Y   metrik  fazolar  o‘rtasida  o‘zaro  bir 
qiymatli  moslik  o‘rnatsa,  u  holda  Y     ni  X     ga  akslantiruvchi 
( )
y
f
x
1
−
=
  teskari 
akslantirish  mavjud bo‘ladi. Agar  f  o‘zaro bir qiymatli moslik bo‘lib,  f  va 
1
−
f
 
akslantirishlar  uzluksiz  bo‘lsa,  u  holda 
f   gomeomorf  akslantirish  yoki 
gomeomorfizm  deb  ataladi,  X   va  Y   fazolar  esa  gomeomorf  fazolar  deb  ataladi. 
Gomeomorf  metrik  fazolarga 
(
)
∞
∞
−
=
;
R
  sonlar  o‘qi  va 
(
)
1
,
1
−
    intervallarni 
misol  sifatida  qarash  mumkin.  Bu  holda  gomeomorfizm 
arctgx
y
π
2
=
  formula 
yordamida o‘rnatiladi. 
Agar 
(
)
ρ
,
X
X
=
  va 
( )
d
Y
Y
,
=
  metrik  fazolar  o‘rtasida  o‘zaro  bir  qiymatli 
moslik 
o‘rnatuvchi 
f  
akslantirish 
ixtiyoriy 
X
x
x
∈
2
1
,
 
lar 
uchun 
(
)
( ) ( )
(
)
2
1
2
1
,
,
x
f
x
f
d
x
x
=
ρ
  shartni  qanoatlantirsa, 
f   akslantirish  izometriya 
deyiladi,  X  va Y  fazolar esa izometrik fazolar deb ataladi. 
X   va  Y   metrik  fazolarning  izometrikligi,  ular  elementlari  orasidagi  metrik 
bog‘lanishlar  bir  xil  bo‘lib,  faqatgina  ular  elementlarining  tabiatiga  ko‘ra  bir  - 
biridan  farq  qilinishini  bildiradi.  Ular  orasidagi  bu  farq  metrik  fazolar  nazariyasi 
nuqtai  -  nazaridan  muhim  emas.  Bundan  keyin  o‘zaro  izometrik  fazolarni  aynan 
bitta fazo deb qaraymiz.  

 
 
17 
 
Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar 
1.  Gyolder va Minkovskiy tengsizliklarini integral formada yozing. 
2.   (1.5) tenglik bilan aniqlangan 
+
→
×
R
R
R
n
n
:
1
ρ
 akslantirish metrikaning 1-3 
shartlarini qanoatlantirishini ko‘rsating.  
3.   (1.7) 
tenglik 
bilan 
aniqlangan 
+
→
×
R
b
a
C
b
a
C
]
,
[
]
,
[
:
ρ
 
akslantirish 
metrikaning 1-3 shartlarini qanoatlantirishini isbotlang. 
4.   (1.11)  tenglik  bilan  aniqlangan 
+
→
×
R
b
a
C
b
a
C
]
,
[
]
,
[
:
1
ρ
  akslantirish 
metrikaning 1-3 shartlarini qanoatlantirishini isbotlang. 
5.   (1.12)  tenglik  bilan  aniqlangan 
+
→
×
R
m
m
:
ρ
  akslantirsh  metrikaning  1-3 
shartlarini qanoatlantirishini isbotlang. 
6.  (1.19) tenglikni isbotlang. 
7.   (1.24)  tenglik  bilan  aniqlangan 
+
→
×
R
b
a
V
b
a
V
]
,
[
]
,
[
:
ρ
  akslantirish 
metrikaning 1-3 shartlarini qanoatlantirishini isbotlang. 
8.  Quyidagi tasdiqlarni isbotlang: 
   1). Agar 
q
p
<
<
1
 bo‘lsa, 
p
l
 to‘plam 
q
l
 to‘plamning qismi bo‘ladi.  
    2 ).  Absolyut  uzluksiz  funksiyalar  fazosi 
]
,
[ b
a
AC
  o‘zgarishi  chegaralangan 
funksiyalar fazosi 
]
,
[ b
a
V
 ning qism fazosi bo‘ladi.  
 
2-§.  Metrik fazolarda yaqinlashish. Ochiq va yopiq to‘plamlar 
 
Biz  bu  paragrafda  metrik  fazoning  asosiy  tushunchalarini  keltiramiz  va 
ochiq va yopiq to‘plamlarning xossalarini o‘rganamiz. 
2.1-ta’rif.  X   metrik  fazoda 
X
x
∈
0
  va 
0
>
r
  son  berilgan  bo‘lsin. 
(
)
r
x
x
<
0
,
ρ
  shartni  qanoatlantiruvchi  barcha 
X
x
∈
  elementlar  to‘plami  markazi 
0
x   nuqtada,    radiusi 
r
  bo‘lgan    ochiq  shar  deb  ataladi  va  u 
( )
r
,
x
B
0
  orqali 
belgilanadi.  Berilgan 
X
x
∈
0
  va 
0
>
r
  da 
(
)
r
x
x
≤
0
,
ρ
  shartni  qanoatlantiruvchi 
barcha 
X
x
∈
  elementlar  to‘plami 
]
,
[
0
r
x
B
  orqali  belgilanadi  va  u  markazi 
0
x  
nuqtada,  radiusi 
r
 bo‘lgan yopiq shar deb ataladi. 
Metrik  fazolar  nazariyasida  markazi 
0
x   nuqtada  va  radiusi 
0
>
ε
  bo‘lgan 
(
)
ε
,
0
x
B
  ochiq  shar 
0
x   nuqtaning 
ε   -  atrofi  deyiladi  va  u 
( )
0
x
O
ε
  ko‘rinishda 
belgilanadi. 
Misollar.  2.1.  Shunday  metrik  fazoga  va  undagi  ikkita 
(
)
1
1
, r
x
B
, 
(
)
2
2
, r
x
B
 
sharlarga misol keltiringki, 
2
1
r
r
<
 va 
( )
1
1
r
,
x
B
⊃
(
)
2
2
r
,
x
B
 bo‘lsin. 
      Yechish. 
( )
y
x
y
x
X
−
=
∞
=
,
),
;
0
[
ρ
 
bo‘lsin. 
Agar 
{
}
5
1
:
)
;
0
[
)
5
,
1
(
<
−
∞
∈
=
x
x
B
  deb  markazi  1  nuqtada  va  radiusi  5  ga  teng  sharni, 
hamda 
{
}
4
3
:
)
;
0
[
)
4
,
3
(
<
−
∞
∈
=
x
x
B
  deb  markazi  3  nuqtada  va  radiusi  4  ga  teng 
bo‘lgan ochiq sharlarni olsak, u holda 
4
5
1
2
=
>
=
r
r
, ammo 
( )
( )
4
,
3
5
,
1
B
B
⊂
.  
2.2-ta’rif.  Agar  X   metrik  fazoning  M   qism  to‘plami  uchun  uni  o‘zida 
saqlovchi shar mavjud bo‘lsa,  M  chegaralangan to‘plam deb ataladi. 

 
 
18 
2.3-ta’rif.  X   metrik  fazo,  M   uning  qism  to‘plami  va  x   nuqtasi  berilgan 
bo‘lsin. Agar ixtiyoriy 
0
>
ε
 uchun 
( )
∅
≠
M
x
O
I
ε
 munosabat bajarilsa,  x  nuqta 
M   ning  urinish  nuqtasi  deyiladi.  M   to‘plamning  barcha  urinish  nuqtalaridan 
iborat 
]
[M  to‘plam  M  ning yopig‘i deyiladi. 
Shunday  qilib,  biz  metrik  fazo  qism  to‘plamlari  uchun  ulardan  ularning 
yopig‘iga o‘tish amalini aniqladik. To‘plam yopig‘i amali quyidagi xossalarga ega. 
2.1-teorema. Quyidagi tasdiqlar o‘rinli:  
1)  M
⊂
]
[M ;  
2) 
]
[
]]
[[
M
M
=
;  
3) agar 
2
1
M
M
⊂
 bo‘lsa, u holda 
[ ] [ ]
2
1
M
M
⊂
;  
4) 
[
] [ ] [ ]
2
1
2
1
M
M
M
M
U
U
=
.