O`zbekiston Oliy va O`rta maxsus ta`lim vazirligi Namangan Davlat universiteti

§
6
−
  da  amalga 
oshirilgan  mulohazalarni  qo‘llab,  qandaydir 
)
(
⋅
F
µ
  o‘lchovni  qurishimiz  mumkin. 
Sonlar  o‘qidagi 
F
µ   o‘lchovga  nisbatan  o‘lchovli  bo‘lgan  to‘plamlarning 
F
ℜ
 
sistemasi  sanoqli  yig‘indi  va  sanoqli  keshishmaga  nisbatan  yopiq  bo‘ladi, 
F
µ  
o‘lchov  esa 
−
σ   additiv  bo‘ladi.  Umuman  olganda, 
F
µ   o‘lchovga  nisbatan 
o‘lchovli  to‘plamlar  sinfi  F   funksiyaning  tanlanishiga  bog‘liq.  Ammo  R   da 
o‘ngdan uzluksis kamaymaydigan  F  funksiya qanday tanlanmasin ochiq va yopiq 
to‘plamlar, shuningdek,  ularning barcha chekli  va sanoqli  yig‘indi  va kesishmlari, 
ularga  to‘ldiruvchi  to‘plamlar  (ya’ni  Borel  to‘plamlari)  o‘lchovli  to‘plamlar 

 
147 
bo‘ladi. 
Sonlar  o‘qida  aniqlangan  bunday 
F
µ  o‘lchov  F  funksiyaning tanlanishiga 
bog‘liq holda ba’zi hususiyatlarga ega bo‘ladi. 
Hozir 
F
µ   o‘lchovning  ba’zi  bir  sinflari  bilan  tanishamiz.  Bizga  Lebeg 
o‘lchovi 
µ  va Lebeg-Stiltes o‘lchovi 
F
µ  berilgan bo‘lsin. 
18.1-ta’rif.  Agar  Lebeg  o‘chovi  nolga  teng  bo‘lgan  ixtiyoriy  A   to‘plam 
uchun 
0
=
)
( A
F
µ
 bo‘lsa, u holda 
F
µ  (Lebeg o‘choviga nisbatan) absolyut uzluksiz 
o‘lchov deyiladi. 
18.2-ta’rif.  Agar 
F
µ  o‘lchov uchun chekli yoki sanoqli  A to‘plam mavjud 
bo‘lib,  A  bilan kesishmaydigan ixtiyoriy  B  to‘plam uchun 
0
=
)
(B
F
µ
 bo‘lsa  (bu 
holat  chekli  yoki  sanoqli  qiymat  qabul  qiluvchi  F   funksiyalar  uchun  o‘rinli),  u 
holda 
F
µ  diskret o‘lchov deb ataladi. 
18.3-ta’rif.  Agar 
F
µ  o‘lchovda istalgan bir nuqtali to‘plam nol o‘lchovga 
ega bo‘lsa va Lebeg o‘lchovi nolga teng  bo‘lgan biror  A  to‘plam mavjud bo‘lib, 
0
=
)
\
(
A
R
F
µ
 bo‘lsa, u holda 
F
µ  singulyar o‘lchov deyiladi. 
Endi  biror 
)
<
<
<
(
]
;
[
∞
−∞
b
a
b
a
  kesmada  aniqlangan  kamaymaydigan, 
o‘ngdan  uzluksis  F  funksiyani olamiz. 
]
;
[ b
a
 kesmada saqlanuvchi  har bir 
]
;
[
β
α
 
kesmalar, 
)
;
(
β
α
 intervallar va 
)
;
[
],
;
(
β
α
β
α
 yarim intervallar sistemasidan tashkil 
bo‘lgan 
])
;
([ b
a
Σ
  yarim  halqada  F   funksiya  orqali  (18.1)-(18.2)  tengliklar 
yordamida  m   o‘lchovni  aniqlaymiz.  Keyin  m   o‘lchovni 
])
;
([ b
a
Σ
  dan  o‘lchovni 
davom ettirishning Lebeg usulidan foydalanib, kengroq 
F
Σ
 
−
σ  algebraga davom 
ettiramiz.  Bu 
F
Σ
 
−
σ  algebra 
]
;
[ b
a
  kesmada  saqlanuvchi  barcha  ochiq  va  yopiq 
to‘plamlarni,  ularning  barcha  chekli  va  sanoqli  yig‘indi  va  kesishmlarini,  bu 
yig‘indi va kesishmalarning to‘ldiruvchilarini (demak, 
]
;
[ b
a
 kesmada saqlanuvchi 
Borel to‘plamlarini) o‘zida saqlaydi. 
18.4-ta’rif.  Sonlar  o‘qida  yoki 
]
;
[ b
a
  kesmada  berilgan  kamaymaydigan, 
o‘ngdan  uzluksiz  F   funksiya  vositasida  yuqorida  aytilgan  usulda  qurilgan 
F
µ  
o‘lchov Lebeg-Stiltes o‘lchovi deb ataladi. 
Ko‘rsatish  mumkinki,  istalgan  o‘lchov  absolyut  uzluksiz,  diskret  va 
singulyar o‘lchovlar yig‘indisi ko‘rinishida tasvirlanadi va bu tasvir yagonadir. 
18. Lebeg-Stiltes integrali. 
]
;
[ b
a
 kesmada aniqlangan  va kamaymaydigan, 
o‘ngdan uzluksiz  F  funksiya yordamida hosil qilingan 
F
µ  Lebeg-Stiltes o‘lchovi 
berilgan  bo‘lsin.  Bu  o‘lchov  bo‘yicha 
]
;
[ b
a
  kesmada  Lebeg  ma’nosida 
integrallanuvchi funksiyalar sinfini qaraymiz va har bir funksiyaga uning  
 
∫
b
a
F
d
x
f
µ
)
(
 
Lebeg  integralini  mos  qo‘yamiz. 
F
µ   o‘lchov  bo‘yicha  aniqlangan  bu  integral 
Lebeg-Stiltes integrali deb ataladi va uning uchun  
 
∫
b
a
x
dF
x
f
)
(
)
(
 

 
148 
belgilashdan foydalaniladi. 
Lebeg-Stiltes integralining ba’zi xususiy hollarini qaraymiz. 
I.  Bizga 
]
;
[ b
a
  kesmada  aniqlangan,  o‘ngdan  uzluksiz,  kamaymaydigan 
sakrashlar funksiyasi  F  berilgan bo‘lsin. U holda 
F
µ  diskret o‘lchov bo‘ladi. Agar 
]
;
[ b
a
x
i
∈
  nuqtalar  F   ning  uzilish  nuqtalari  va 
i
h   sonlar  F   funksiyaning 
i
x  
nuqtadagi sakrashi bo‘lsa, u holda  
 
∫
b
a
x
dF
x
f
)
(
)
(
 
integral  
 
i
i
i
h
x
f
)
(
∑
 
yig‘indiga teng bo‘ladi. 
II.  Agar  F   funksiya 
]
;
[ b
a
  kesmada  aniqlangan  kamaymaydigan  absolyut 
uzluksiz bo‘lsa, u holda  
 
∫
b
a
x
dF
x
f
)
(
)
(
 
Lebeg-Stiltes integrali 
)
(
)
(
x
F
x
f
′
 funksiyaning odatdagi  
 
∫
′
b
a
dx
x
F
x
f
)
(
)
(
 
Lebeg integraliga teng bo‘ladi, ya’ni  
 
(18.3)
.
)
(
)
(
=
)
(
)
(
∫
∫
′
b
a
b
a
dx
x
F
x
f
x
dF
x
f
 
Bu tasdiqning isboti. ... 
Integralning 
−
σ
  additivlik  xossasiga  ko‘ra,  (18.3)  tenglikni 
F
µ   o‘lchov 
bo‘yicha  integrallanuvchi  sodda  funksiyalar  uchun  ham  umumlashtirish  mumkin. 
Bizga  f  funksiyaga tekis yaqinlashuvchi, integrallanuvchi 
}
{
n
f
 sodda funksiyalar 
ketma-ketligi berilgan bo‘lsin. Umumiylikni chegaralamasdan 
}
{
n
f
 ketma-ketlikni 
kamaymaydigan  deb  hisoblashimiz  mumkin.  U  holda 
)}
(
)
(
{
x
F
x
f
n
′
  - 
kamaymaydigan  ketma-ketlik  deyarli  hamma  yerda 
)
(
)
(
x
F
x
f
′
  funksiyaga 
yaqinlashadi.  Demak, 
}
{
F
f
n
′
⋅
  ketma-ketlik  13.2-teorema  (Levi  teoremasi) 
shartlarini qanoatlantiradi.  
 
(18.4)
)
(
)
(
=
)
(
)
(
∫
∫
′
b
a
n
b
a
n
dx
x
F
x
f
x
dF
x
f
 
tenglikda 
∞
→
n
 limitga o‘tib,  
  
∫
∫
′
b
a
b
a
dx
x
F
x
f
x
dF
x
f
)
(
)
(
=
)
(
)
(
                         
 (18.5) 
tenglikni hosil qilamiz. 
Agar  F   kamaymaydigan  funksiya  sakrashlar  funksiyasi  va  absolyut 
uzluksiz  funksiyalar  yig‘indisidan  iborat  bo‘lsa,  u  holda  ixtiyoriy 
f  
integrallanuvchi  (
F
µ   o‘lchov  bo‘yicha  )  funksiya  uchun  uning  Lebeg-Stiltes 

 
149 
integrali  qator  (yoki  chekli  yig‘indi)  va  odatdagi  Lebeg  integralini  hisoblashga 
keltiriladi.  Agar  F   kamaymaydigan  funksiya  singulyar  komponentani  ham 
saqlasa, yuqoridagi tasdiqni aytish mumkin emas. 
Lebeg-Stiltes  integrali  tushunchasini  F   kamaymaydigan  funksiya  bo‘lgan 
holdan 
Φ
  o‘zgarishi  chegaralangan  funksiya  bo‘lgan  holga  umumlashtirish 
mumkin.  Aytaylik, 
]
;
[ b
a
  kesmada  o‘zgarishi  chegaralangan 
Φ
  funksiya  berilgan 
bo‘lib,  v   esa  uning 
]
;
[
x
a
  kesmadagi  to‘la  o‘zgarishi  bo‘lsin. 
§
15
−
  da  olingan 
natijalarga  ko‘ra, 
)
(x
v
 
]
;
[ b
a
  da  kamaymaydigan,  o‘ngdan  uzluksiz  funksiya 
bo‘ladi.  Bundan  tashqari 
Φ
−
v
g =
  funksiya  ham  kamaymaydigan,  o‘ngdan 
uzluksiz  funksiya  bo‘ladi.  Ya’ni 
Φ
  funksiya  ikkita  monoton  kamaymaydigan 
funksiyalar ayirmasi 
g
v
−
Φ
=
 ko‘rinishda tasvirlanadi. 
Agar  f  funksiya uchun  
 
∫
∫
b
a
b
a
dx
x
dg
x
f
x
dv
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
va
 
Lebeg-Stiltes  integrallari  mavjud  bo‘lsa,  u  holda  f   funksiyaning 
Φ
  funksiya 
bo‘yicha Lebeg-Stiltes integrali  
 
∫
∫
∫
−
Φ
b
a
b
a
b
a
dx
x
dg
x
f
x
dv
x
f
x
d
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
=
)
(
)
(
 
tenglik yordamida aniqlanadi. 
Aytaylik, 
Φ
 o‘zgarishi chegaralangan funksiya yana boshqa usulda 
W
 va 
h
 
kamaymaydigan  funksiyalarning 
h
W
−
Φ
=
  ayirmasi  ko‘rinishida  tasvirlansin. 
Agar 
∫
Φ
b
a
x
d
x
f
)
(
)
(
 Lebeg-Stiltes integrali mavjud bo‘lsa, u holda  
 
∫
∫
∫
∫
−
−
b
a
b
a
b
a
b
a
dx
x
dh
x
f
x
dW
x
f
dx
x
dg
x
f
x
dv
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
=
)
(
)
(
)
(
)
(
 
tenglik o‘rinli. Mustaqil isbotlang. 
Xulosa:  f   funksiyaning 
Φ
  o‘zgarishi  chegaralangan  funksiya  bo‘yicha 
Lebeg-Stiltes  integralini  hisoblash  uchun 
Φ
  funksiyaning  ikki  kamaymaydigan 
funksiyalar ayirmasi ko‘rinishidagi istalgan tasviridan foydalanish mumkin. 
18.1-misol.  
 
∫
∞
−
0
)
(
2
x
dF
x
 
Lebeg-Stiltes  integralini  hisoblang.  Bu  yerda 
)
[0;
=
∞
A
  yarim  o‘q, 
]
[
=
)
(
x
x
F
 
funksiya esa  x  ning butun qismiga teng. 
Yechish.  Ma’lumki, 
]
[
=
)
(
x
x
F
  funksiya  yordamida  hosil  qilingan 
F
µ  
o‘lchov diskret o‘lchov bo‘ladi. I) ga ko‘ra,  
 
(
)
0)
(
)
(
2
=
)
(
2
0
=
0
−
−
−
∞
∞
−
∑
∫
n
F
n
F
x
dF
n
n
x
 
tenglik  o‘rinli.  Agar 
1
=
0)
(
)
(
−
−
n
F
n
F
  tenglikni  e’tiborga  olsak,  so‘nggi  qator 

 
150 
yig‘indisini  hisoblash  mumkin.  Bu  qator 
1
=
1
b
  va  maxraji 
2
1
=
q
  bo‘lgan  cheksiz 
kamayuvchi geometrik progressiyaning yig‘indisini ifodalaydi. Demak,  
 
2.
=
2
=
)
(
2
0
=
0
n
n
x
x
dF
−
∞
∞
−
∑
∫
 
 
18.2-misol. Quyidagi Lebeg-Stiltes integralini hisoblang. 
 
∫
+
3
0
)
(
1)
(
x
dF
x
. 
Bu yerda 
[0;3]
=
A
 kesma, 
3.
=
)
(
2
+
x
x
F
 
Yechish.  Ma’lumki, 
3
=
)
(
2
+
x
x
F
  funksiya  yordamida  hosil  qilingan 
F
µ  
o‘lchov absolyut uzluksiz o‘lchov bo‘ladi. II) ga ko‘ra  
 
∫
∫
⋅
+
+
3
0
3
0
2
1)
(
=
)
(
1)
(
xdx
x
x
dF
x
 
tenglik  o‘rinli.  So‘nggi  integral  jadval  integrali  bo‘lib  uning  qiymati  20  ga  teng. 
Demak,  
 
20.
=
)
(
1)
(
3
0
∫
+
x
dF
x
  
Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar 
1. 
Lebeg-Stiltes  o‘lchovi  qanday  bo‘lganda 
∫
b
a
x
dF
x
f
)
(
)
(
  Lebeg-Stiltes 
integralini  hisoblash  masalasi,  ma’lum  qator  yig‘indisini  hisoblashga 
keltiriladi.  
2. 
F   funksiya  qanday  shartni  qanoatlantirganda 
∫
b
a
x
dF
x
f
)
(
)
(
  Lebeg-Stiltes 
integralini  hisoblash  masalasi,  odatdagi  Lebeg  integralini  hisoblashga 
keltiriladi.  
3. 
 
)
(
)
(
1
0
x
dF
x
K
∫
 Lebeg-Stiltes integralini hisoblang. Bu yerda 
−
)
(x
K
 Kantorning 
zinapoya funksiyasi, 
1.
2
=
)
(
+
x
x
F
  
4. 
)
(
)
(
1
0
x
dF
x
K
∫
 Lebeg-Stiltes integralini hisoblang. Bu yerda 
−
)
(x
K
 Kantorning 
zinapoya funksiyasi, 
.
2
]
[3
=
)
(
x
x
x
F
+
  
 
 

 
151 
  
 
 
 
Foydalanilgan adabiyotlar 
 
1. 
Колмогоров  А.Н.,  Фомин  С.В.  Элементы  теории  функций  и 
функционального анализа. Москва: Наука. 1989. 
2. 
Sarimsoqov 
T.A. 
Haqiqiy 
o‘zgaruvchining 
funksiyalari 
nazariyasi.                
Toshkent: Fan. 1994. 
3. 
Sarimsoqov T.A. Funksional analiz kursi. Toshkent: O‘qituvchi. 1986. 
4. 
Люстерник  Л.A.,  Соболев  В.И.  Элементы  функционального  анализа.               
Москва: Наука. 1965. 
5. 
Треногин В.А. Функциональный анализ. Москва: Наука. 1980. 
6. 
Sh.A. Ayupov, M.A. Berdiqulov, R.M. Turg‘unboyev. Funksiyalar  
      nazariyasi. Toshkent. 2004. 
7. 
  Sh.A.  Ayupov,  M.A.  Berdiqulov,  R.M.  Turg‘unboyev.  Funksional    analiz. 
Toshkent. 2008. 
8. 
Л. Д. Кудрявцев. Kурс математического анализа. Том 1. Москва. Высшая 
школа. 1988.  
 
 
 
 

 
 
7 
8-mavzu:  
Mеtrik  fazo va ularga misollar. Mеtrik fazolarda yaqinlashish. Zich 
to`plamlar. Ochiq va yopiq  to`plamlar. Kantor to`plam 
    
 
Bu  bob  metrik    fazolar  va  undagi  asosiy  tushunchalarni  bayon  qilishga 
bag‘ishlangan. Bu bob 4 paragrafdan iborat. 
Birinchi  paragrafda  metrik  fazo  ta’riflanib,  ularga  ko‘plab  misollar 
keltirilgan. 
n
R   to‘plamda  har  xil  metrikalar  kiritilgan.  Metrikaning  uchburchak 
tengsizligini 
isbotlashda 
Koshi-Bunyakovskiy, 
Minkovskiy 
va 
Gyolder 
tengsizliklaridan  foydalanilgan. O‘z  navbatida bu tengsizliklar  ham o‘z isbotlarini 
topgan.  Koshi-Bunyakovskiy,  Minkovskiy  va  Gyolder  tengsizliklarining  integral 
formasi  ham  keltirilgan.  Bundan  tashqari  gomeomorf  va  izomorf  metrik  fazolar 
ta’riflanib, ularga misollar keltirilgan. 
2-paragraf  esa  metrik  fazolarda  yaqinlashish  va  undagi  ochiq  va  yopiq 
to‘plamlarning  xossalariga  bag‘ishlangan.  Ochiq  va  yopiq  to‘plamlarni  ta’riflash 
uchun  biz,  yordamchi  tushunchalar  -  urinish  nuqtasi,  limitik  nuqta,  yakkalangan 
nuqta  va  ichki  nuqta  ta’riflarini  berganmiz.  Keyin  yopiq  va  ochiq  to‘plamlarning 
xossalari  isbotlangan.  Jumladan  metrik  fazoda  to‘plam  ochiq  (yopiq) 
bo‘lishligining  yetarli  va  zarur  shartlari  keltirilgan.  Yaqinlashuvchi  ketma-ketlik 
ta’riflanib,  unga  misollar  keltirilgan.  Metrik  fazoning  hamma  yerida  zich  va  hech 
yerda 
zichmas 
to‘plamlar 
ta’riflanib, 
ularga 
misollar 
qaralgan. 
n
R , 
2
],
,
[
],
,
[
,
l
b
a
C
b
a
C
R
p
n
p
  fazolarning  separabel  metrik  fazolar  bo‘lishligi 
ko‘rsatilgan. Separabel bo‘lmagan metrik fazoga misol keltirilgan. Sonlar o‘qidagi 
ochiq to‘plamlarning strukturasi berilgan. 
3-paragraf  to‘la  metrik  fazolarga  bag‘ishlangan.  Yaqinlashuvchi  va 
fundamental 
ketma-ketliklar 
orasidagi 
bog‘lanish 
ochib 
berilgan. 
n
R
, 
2
1
],
,
[
,
,
l
b
a
C
R
R
n
n
∞
  metrik  fazolarning  to‘laligi  isbotlangan. 
]
,
[
2
b
a
C
  ning  to‘la 
bo‘lmagan  metrik  fazo  ekanligi  isbotlangan.  Metrik  fazoning  to‘la  bo‘lishligi 
haqidagi  ichma-ich  joylashgan  yopiq  sharlar  haqidagi  teorema  hamda  Ber 
teoremasi  isbotlangan.  Har  qanday  metrik  fazoni  to‘ldirish  mumkinligi  haqidagi 
teorema isboti bilan berilgan. Metrik fazolarda kompakt va nisbiy kompakt to‘plam 
tushunchalari  berilgan.  Asosiy  funksional  fazolar 
]
,
[
b
a
C
  va 
2
l   da  kompakt 
(nisbiy  kompakt)  lik  kriteriylari  keltirilib  isbotlangan.  Kompakt  (nisbiy  kompakt) 
va  kompakt  bo‘lmagan  (nisbiy  kompakt  bo‘lmagan)  to‘plamlarga  misollar 
keltirilgan. 
4-paragraf  qisuvchi  akslantirishlar  prinsipi  va  uning  tadbiqlariga  
bag‘ishlangan. To‘la metrik fazolarda har qanday qisuvchi akslantirishning yagona 
qo‘zg‘almas  nuqtasi  mavjudligi  isbotlangan.  Qisuvchi  akslantirishlar  prinsipining 
n
R   metrik  fazodagi  algebraik  tenglamalar  sistemasiga  tadbig‘i  bayon  qilingan. 
Bundan  tashqari  chiziqli  va  chiziqli  bo‘lmagan  integral  tenglamalarni  yechishda 
qisuvchi  akslantirishlar  prinsipidan  qanday  foydalanish  mumkinligi  bayon 
qilingan.  

 
 
8 
  
1-§.  Metrik fazolar va ularga misollar 
 
Analizdagi  eng  muhim  amallardan  biri  bu  limitga  o‘tish  amalidir.  Bu 
amalning  asosida  sonlar  o‘qidagi  ikki  nuqta  orasidagi  masofa  tushunchasi  yotadi. 
Analizda  kiritilgan  ko‘pgina  fundamental  tuchunchalar  sonlar  o‘qining  algebraik 
xususiyatlariga  bog‘liq  emas.  Haqiqiy  sonlar  haqidagi  tasavvurimizni  to‘plam 
ma’nosida  umumlashtirib,  metrik  fazo  tushunchasiga  kelamiz.  Metrik  fazo 
tushunchasi hozirgi zamon matematikasida  muhim o‘rinni egallaydi.  
1.1-ta’rif.  Bo‘shmas  X   to‘plamning  ixtiyoriy  x   va 
y
  elementlar  juftiga 
aniq bir  manfiymas 
)
,
(
y
x
ρ
 son mos qo‘yilgan bo‘lib, bu  moslik   
1) 
0
)
,
(
=
y
x
ρ
   
⇔
   
y
x
=
, 
2) 
)
,
(
)
,
(
x
y
y
x
ρ
ρ
=
 (simmetriklik aksiomasi),  
3) 
)
,
(
)
,
(
)
,
(
z
y
y
x
z
x
ρ
ρ
ρ
+
≤
 (uchburchak aksiomasi)   
shartlarni qanoatlantirsa, 
ρ  ga  X  dagi masofa yoki metrika deb ataladi. 
)
,
(
ρ
X
 
juftlik  metrik fazo deyiladi. 
Odatda  metrik  fazo,  ya’ni 
)
,
(
ρ
X
  juftlik  bitta  X   harfi  bilan  belgilanadi. 
Agar  X   to‘plamda 
n
ρ
ρ
ρ
...,
,
,
2
1
  metrikalar  aniqlangan  bo‘lsa,  u  holda 
)
,
(
1
ρ
X
, 
)
,
(
2
ρ
X
,  ..., 
)
,
(
n
X
ρ   metrik  fazolar  mos  ravishda 
n
X
,
,
X
,
X
K
2
1
  harflari  bilan 
belgilanadi. 
Endi metrik fazoga bir nechta misollar keltiramiz.