O`zbekiston Oliy va O`rta maxsus ta`lim vazirligi Namangan Davlat universiteti

§
11
−
  dagi  sodda 
funksiyalar uchun berilgan 11.2-ta’rif bilan usma-ust tushishi kerak. 
1-3 shartlarning bajarilishini ko‘rsatamiz. 
1) Sodda funksiyalar uchun integralning 
B
A,
 va 
C
 xossalaridan  
|
)
(
)
(
|
sup
)
(
))
(
)
(
(
)
(
)
(
x
f
x
f
A
d
x
f
x
f
d
x
f
d
x
f
m
n
A
x
m
n
A
m
A
n
A
−
⋅
≤
−
≤
−
∈
∫
∫
∫
µ
µ
µ
µ
 
tengsizlik kelib chiqadi. Bu esa (12.1) limitning mavjudligini isbotlaydi. 
2)  (12.1)  limitning 
{ }
n
f   ketma-ketlikning  tanlanishiga  bog‘liq  emasligini 
isbotlaymiz.  Faraz qilaylik,  f   ga tekis  yaqinlashuvchi  ikkita 
{ }
n
f   va 
{ }
'
n
f
 ketma-
ketliklar  uchun  (12.1)  limit  har  xil  qiymatlar  qabul  qilsin.  U  holda 
L
L
,
,
,
,
,
,
2
2
1
1
'
n
n
'
'
f
f
f
f
f
f
  ketma-ketlik  f   ga  tekis  yaqinlashadi,  lekin  bu  ketma-
ketlik uchun (12.1) limit mavjud emas. Bu esa hozirgina isbotlangan 1) shartga zid. 
3) shartni isbotlash uchun ixtiyoriy  n  da 
)
(
=
)
(
x
f
x
f
n
 deb olish yetarli. 
Endi 12.1-ta’rifga teng kuchli bo‘lgan quyidagi ta’rifni keltiramiz. 
12.2-ta’rif. Agar har bir 
N
n
∈
 uchun (11.1) tenglik bilan aniqlanuvchi 
but
n
f
 
sodda  funksiya  integrallanuvchi  bo‘lsa,  u  holda  f   funksiya  A   to‘plamda  Lebeg 
ma’nosida integrallanuvchi deyiladi va uning integrali  
 
.
)
(
)
(
µ
µ
d
x
f
d
x
f
but
n
A
n
A
∫
∫
∞
→
=
lim
 
12.1. Lebeg integralining asosiy xossalari. 
I.  
 
).
(
=
1
A
d
A
µ
µ
⋅
∫
 
II.  Bir  jinslilik  xossasi.  Agar  f   funksiya  A   to‘plamda  integrallanuvchi 
bo‘lsa,  u  holda  ixtiyoriy 
R
k
∈
  o‘zgarmas  uchun 
f
k
  funksiya  ham  A   to‘plamda 
integrallanuvchi va  
 
µ
µ
d
x
f
k
d
x
f
k
A
A
)
(
=
)
(
∫
∫
⋅
 
tenglik o‘rinli. 
Isbot.  Bu  xossaning  isboti  sodda  funksiyalar  uchun  Lebeg  integralining  B 
xossasidan  limitga  o‘tish  natijasida,  o‘zgarmasni  limit  belgisi  ostidan  chiqarish 
mumkin  degan  qoidadan  kelib  chiqadi.  Ya’ni,  agar 
}
{
n
f
  integrallanuvchi  sodda 
funksiyalar  ketma-ketligi  f   funksiyaga  tekis  yaqinlashsa,  u  holda 
}
{
n
f
k
⋅
 
integrallanuvchi  sodda  funksiyalar  ketma-ketligi 
f
k
⋅
  funksiyaga  tekis 
yaqinlashadi. Demak, 
f
k
⋅
 funksiya integrallanuvchi va  
 
µ
µ
µ
d
x
f
k
d
x
f
k
d
x
f
k
A
n
A
n
A
)
(
=
)
(
lim
=
)
(
∫
∫
∫
⋅
⋅
∞
→
 
tenglik o‘rinli. 
∆
 
III.  Additivlik  xossasi.  Agar 
f   va 
g
  funksiyalar  A   to‘plamda 
integrallanuvchi  bo‘lsa,  u  holda 
g
f
+
  funksiya  ham 
A   to‘plamda 
integrallanuvchi va  

 
115 
 
µ
µ
µ
d
x
g
d
x
f
d
x
g
x
f
A
A
A
)
(
)
(
=
)]
(
)
(
[
∫
∫
∫
+
+
 
tenglik o‘rinli. 
Isbot.  Agar 
}
{
n
f
  integrallanuvchi  sodda  funksiyalar  ketma-ketligi  f  
funksiyaga, 
}
{
n
g
  integrallanuvchi  sodda  funksiyalar  ketma-ketligi 
g
  funksiyaga 
tekis  yaqinlashsa,  u  holda 
}
{
n
n
g
f
+
  integrallanuvchi  sodda  funksiyalar  ketma-
ketligi 
g
f
+
  funksiyaga  tekis  yaqinlashadi.  Demak, 
g
f
+
  funksiya 
integrallanuvchi va sodda funksiyalar uchun integralning A) xossasiga ko‘ra  
 
[
]
=
)]
(
)
(
[
lim
=
)
(
)
(
µ
µ
d
x
g
x
f
d
x
g
x
f
n
n
A
n
A
+
+
∫
∫
∞
→
 
 
µ
µ
µ
µ
d
x
g
d
x
f
d
x
g
d
x
f
A
A
n
A
n
n
A
n
)
(
)
(
=
)
(
lim
)
(
lim
=
∫
∫
∫
∫
+
+
∞
→
∞
→
 
tenglik o‘rinli. 
∆
 
IV. 
A  
to‘plamda 
chegaralangan 
va 
o‘lchovli 
f  
funksiya 
integrallanuvchidir. 
Isbot.  Agar  f   funksiya  A   to‘plamda  chegaralangan  bo‘lsa,  u  holda  (11.1) 
tenglik bilan aniqlanuvchi 
but
n
f
 sodda funksiya ixtiyoriy 
N
n
∈
 da cheklita qiymat 
qabul  qiladi.  Demak, 
but
n
f
  integrallanuvchi.  12.2-ta’rifga  ko‘ra 
f   ham 
integrallanuvchi. 
∆
 
V. Agar 
0
)
(
≥
x
f
 funksiya integrallanuvchi bo‘lsa, u holda  
 
0.
)
(
≥
∫
µ
d
x
f
A
 
Isbot.  Bu  xossa  Lebeg  integralining  monotonlik  xossasi  deyiladi.  Uning 
isboti  sodda  funksiyalar  uchun  to‘g‘ridan-to‘g‘ri  ta’rifdan  kelib  chiqadi.  Agar  f  
manfiymas  funksiya  bo‘lsa,  u  holda  unga  tekis  yaqinlashuvchi 
but
n
f
  sodda 
funksiyalar ketma-ketligi ham manfiymas. Bundan  
 
0.
)]
(
[
1
=
)
(
≥
∫
∫
µ
µ
d
x
f
n
n
d
x
f
A
but
n
A
 
Bu yerdan 
∞
→
n
 da limitga o‘tib, V-xossaning isbotiga ega bo‘lamiz. 
∆
 
Integralning  monotonlik  xossasidan  quyidagi  tasdiq  kelib  chiqadi.  Agar 
)
(
)
(
x
g
x
f
≥
 bo‘lsa, u holda  
 
µ
µ
d
x
g
d
x
f
A
A
)
(
)
(
∫
∫
≥
 
tengsizlik o‘rinli. Shuningdek, agar 
A
x
M
x
f
m
∈
≤
≤
,
)
(
 bo‘lsa, u holda  
 
)
(
)
(
)
(
A
M
d
x
f
A
m
A
µ
µ
µ
≤
≤
∫
 
tengsizliklar o‘rinli. 
VI'. Agar 
0
=
)
( A
µ
 bo‘lsa, u holda ixtiyoriy 
R
A
f
→
:
 uchun  
 
0.
=
)
(
µ
d
x
f
A
∫
 
VI. Agar deyarli barcha 
A
x
∈
 lar uchun 
)
(
=
)
(
x
g
x
f
 bo‘lsa, u holda  

 
116 
 
µ
µ
d
x
g
d
x
f
A
A
)
(
=
)
(
∫
∫
   
tenglik o’rinli. Bu integrallardan birining mavjudligidan ikkinchisining mavjudligi 
kelib chiqadi va aksincha. 
Bu tasdiqlar Lebeg integralining ta’rifidan bevosita kelib chiqadi. 
VII.  Agar 
ϕ  funksiya  A to‘plamda integrallanuvchi bo‘lib, deyarli barcha 
A
x
∈
  lar  uchun 
)
(
)
(
x
x
f
ϕ
≤
  bo‘lsa,  u  holda  f   funksiya  ham  A   to‘plamda 
integrallanuvchi bo‘ladi. 
Isbot.  Haqiqatan  ham,  agar  f   va 
ϕ   sodda  funksiyalar  bo‘lsa,  u  holda  A 
to‘plamdan  qandaydir  nol  o‘lchovli  to‘plamni  chiqarib  tashlab,  qolgan 
'
A  
to‘plamda 
)
(
)
(
x
x
f
ϕ
≤
  tengsizlikni  hosil  qilamiz. 
'
A   to‘plamni  chekli  yoki 
sanoqli 
sondagi 
'
n
A
 
to‘plamlarning 
birlashmasi 
ko‘rinishida 
shunday 
tasvirlaymizki, har bir 
'
n
A
 to‘plamda  f  va 
ϕ  funksiyalar o‘zgarmas bo‘lsin, ya’ni  
 
.
,
=
)
(
,
=
)
(
'
n
n
n
A
x
b
x
a
x
f
∈
ϕ
 
Shartga  ko‘ra 
n
n
b
a
≤
  tengsizlik  bajariladi. 
ϕ   funksiya  integrallanuvchi 
bo‘lganligi uchun  
 
( )
( )
.
)
(
=
)
(
=
1
=
1
=
µ
ϕ
µ
ϕ
µ
µ
d
x
d
x
A
b
A
a
A
A
'
n
n
n
'
n
n
n
∫
∫
∑
∑
′
∞
∞
≤
 
Shuning uchun  f  ham integrallanuvchi va  
 
( )
( )
.
)
(
)
(
=
=
)
(
=
)
(
µ
ϕ
µ
µ
µ
µ
µ
d
x
d
x
f
A
a
A
a
d
x
f
d
x
f
A
'
A
'
n
n
n
'
n
n
n
'
A
A
∫
∫
∑
∑
∫
∫
≤
≤
 
Endi umumiy holni qaraymiz.  
 
n
x
f
n
x
f
but
n
)]
(
[
=
)
(
 
sodda funksiya ixtiyoriy 
N
n
∈
 da  
 
'
but
n
A
x
x
x
f
∈
+
≤
1,
)
(
|
)
(
|
ϕ
 
tengsizlikni  qanoatlantiradi.  Demak, 
)
(x
f
but
n
  sodda  funksiya  integrallanuvchi. 
12.2-ta’rifga ko‘ra  f  funksiya ham integrallanuvchi. 
∆
 
 
VIII. Quyidagi integrallar bir vaqtda mavjud yoki mavjud emas. 
 
µ
µ
d
x
f
I
d
x
f
I
A
A
)
(
=
,
)
(
=
2
1
∫
∫
. 
Isbot.  VII  xossadan  foydalanib,  ko‘rsatish  mumkinki, 
2
I   ning 
mavjudligidan 
1
I   ning  mavjudligi  kelib  chiqadi.  Teskari  tasdiq  f   sodda  funksiya 
bo‘lganda bevosita ta’rifdan kelib chiqadi. Umumiy holni qaraymiz.  f  funksiya  A  
da 
integrallanuvchi 
bo‘lgani 
uchun, 
unga 
tekis 
yaqinlashuvchi 
}
{
n
f
 
integrallanuvchi, sodda funksiyalar ketma-ketligi mavjud. U holda  
 
)
(
)
(
|
)
(
|
|
)
(
|
x
f
x
f
x
f
x
f
n
n
−
≤
−
 
tengsizlikka  ko‘ra, 
|}
{|
n
f
  -  integrallanuvchi,  sodda  funksiyalar  ketma-ketligi 
|
| f  

 
117 
funksiyaga tekis yaqinlashadi. Shunday ekan, ta’rifga ko‘ra, 
2
I  integral mavjud. 
∆
 
Lebeg 
ma’nosida 
integrallanuvchi 
funksiya 
Riman 
ma’nosida 
integrallanuvchi bo‘lishi shart emas. 
12.1-misol.  Dirixle  funksiyasini  [0;2]   kesmada  Lebeg  va  Riman 
ma’nolarida integrallanuvchanlikka tekshiring. 
Yechish. 
)
(x
D
 sodda funksiya bo‘lib, uning Lebeg integrali  
 
0.
=
)
([0;2]
0
)
([0;2]
1
=
)
(
[0;2]
Q
\
Q
d
x
D
µ
µ
µ
⋅
+
⋅
∫
I
 
Dirixle  funksiyasi  [0;2]   kesmada  Riman  ma’nosida  integrallanuvchi  emas.  Buni 
ko‘rsatish  uchun  [0;2]   kesmani 
2
=
<
<
<
<
<
=
0
1
2
1
0
n
n
x
x
x
x
x
−
L
  nuqtalar 
yordamida  teng  n   bo‘lakka  bo‘lamiz.  Ma’lumki,  Dirixle  funksiyasining 
[
]
k
k
x
x
;
1
−
 
bo‘lakchadagi aniq yuqori chegarasi 
k
M
−
 barcha 
}
,
{1,2,
n
k
K
∈
 uchun 1 ga teng, 
Dirixle  funksiyasining  bu  bo‘lakchadagi  aniq  quyi  chegarasi 
k
m
−
  esa 
0
  ga  teng. 
Bu bo‘linishga mos Darbu yig‘indilarini qaraymiz:  
 
0.
=
0
2
=
2
=
2,
=
1
2
=
2
=
1
=
1
=
1
=
1
=
∑
∑
∑
∑
Ω
n
k
k
n
k
n
n
k
k
n
k
n
n
m
n
n
M
n
ω
 
Bu yerdan,  
 
0
=
lim
2,
=
lim
n
n
n
n
ω
∞
→
∞
→
Ω
 
tengliklarga  kelamiz.  Demak,  Dirixle  funksiyasi  [0;2]   kesmada  Riman  ma’nosida 
integrallanuvchi emas. 
IV,VI,  VII  va  VIII  xossalar  Lebeg  integrali  uchun  xos.  Bu  xossalar  Riman 
integrali uchun o‘rinli emas. Hozir bularga misollar keltiramiz. 
12.2-masala.  IV  va  VI-xossalar    Riman  integrali  uchun  o‘rinli  emasligiga 
misol keltiring.  
Yechish.  [0;2]  kesmada Dirixle funksiyasini qaraymiz. U chegaralangan va 
o’lchovli,  demak  IV-xossaga  ko’ra    u  Lebeg  ma’nosida  integrallanuvchi,  lekin 
Riman  ma’nosida  integrallanuvchi  emas  (12.1-misolga  qarang).  [0;2]   kesmada 
Dirixle 
)
(x
D
 va nol 
0
=
)
(x
θ
  funksiyalarni qaraymiz. Ular  [0;2]  kesmada deyarli 
teng, shuning uchun VI-xossaga ko’ra   
 
0.
=
)
(
=
)
(
[0;2]
[0;2]
µ
θ
µ
d
x
d
x
D
∫
∫
 
Lekin  ulardan  biri  (
)
(x
θ
  funksiya)  Riman  ma’nosida  integrallanuvchi,  ikkinchisi 
)
(x
D
 esa Riman ma’nosida integrallanuvchi emas (12.1-misolga qarang). 
Lebeg integralining VII va VIII xossalari ham Riman integrali uchun o‘rinli 
emas. Bunga quyidagi misollarda ishonch hosil qilish mumkin.  
 



∈
−
∈
≡
Q
R
x
Q
x
x
f
x
\
1,
,
1,
=
)
(
2,
)
(
agar
agar
ϕ
 
Barcha 
[0;2]
∈
x
 lar uchun 
)
(
|
)
(
|
x
x
f
ϕ
≤
 tengsizlik o‘rinli. Lekin  f  funksiya  [0;2]  
kesmada  Riman  ma’nosida  integrallanuvchi  emas.  Bu  tasdiq 
)
(x
D
  ning  Riman 
ma’nosida integrallanuvchi emasligiga o‘xshash isbotlanadi. 

 
118 
f   funksiya  [0;2]   to‘plamda  integrallanuvchi  emas,  ammo 
1
|
)
(
|
≡
x
f
 
funksiya  esa  Riman  ma’nosida  integrallanuvchi.  Demak,  VIII-xossa  Riman 
integrali uchun o‘rinli emas. 
12.2.  Lebeg  integralining 
σ   -  additivlik  va  absolyut  uzluksizlik 
xossalari.  Yuqorida  biz  Lebeg  integralining  xossalarini  tayinlangan  A   to‘plam 
bo‘yicha keltirdik. Endi  
 
µ
d
x
f
A
F
A
)
(
=
)
(
∫
 
ifodani  o‘lchovli  to‘plamlar  sistemasida  aniqlangan,  A   to‘plamning  funksiyasi 
sifatida qarab, Lebeg integralining ayrim xossalarini isbotlaymiz. 
12.1-teorema    (Lebeg  integralining 
σ   -  additivlik  xossasi).  O‘lchovli  A 
to‘plam  o‘zaro  kesishmaydigan 
L
L
,
,
,
,
2
1
n
A
A
A
  o‘lchovli  to‘plamlarning 
birlashmasidan iborat bo‘lsin, ya’ni  
 
,
,
=
,
=
1
=
j
i
A
A
A
A
j
i
n
n
≠
∅
∞
I
U
 
va  f  funksiya  A  to‘plamda integrallanuvchi bo‘lsin. U holda har bir 
n
A  to‘plam 
bo‘yicha  f  funksiyaning integrali mavjud,  
 
µ
d
x
f
n
A
n
)
(
1
=
∫
∑
∞
 
qator absolyut yaqinlashadi va  
 
(12.2)
)
(
=
)
(
1
=
µ
µ
d
x
f
d
x
f
n
A
n
A
∫
∑
∫
∞
 
tenglik o‘rinli. 
Isbot. Avvalo teoremani 
K
K
,
,
,
,
2
1
n
y
y
y
 qiymatlarni qabul qiluvchi  f  sodda  
funksiya uchun isbotlaymiz. Quyudagi belgilashlarni kiritamiz:  
 
{
}
,
=
)
(
:
=
k
k
y
x
f
A
x
B
∈
 
 
{
}
nk
n
k
n
k
k
n
nk
B
B
A
B
y
x
f
A
x
B
U
I
=
,
=
=
)
(
:
=
∈
. 
f   funksiya  integrallanuvchi  bo‘lgani  uchun 
( )
k
k
k
B
y
µ
∑
  qator  absolyut 
yaqinlashuvchi bo‘ladi.  U holda 
=
)
(
=
)
(
=
)
(
nk
n
k
k
k
k
k
A
B
y
B
y
d
x
f
µ
µ
µ
∑
∑
∑
∫
 
 
.
)
(
=
)
(
=
)
(
1
=
µ
µ
µ
d
x
f
B
y
B
y
n
A
n
nk
k
k
n
nk
k
n
k
∫
∑
∑
∑
∑
∑
∞
=
             (12.3)  
To‘plam  o‘lchovi  manfiymas  bo‘lgani  uchun  (12.3)  tengliklar  zanjiridagi  barcha 
qatorlar absolyut yaqinlashuvchi bo‘ladi. 
Endi  f   funksiya  A   to‘plamda  integrallanuvchi  bo‘lgan  ixtiyoriy  funksiya 
bo‘lsin.  U  holda  ixtiyoriy 
0
>
ε
  son  uchun  A   da  integrallanuvchi  shunday  sodda 
g
 funksiya mavjudki, barcha 
A
x
∈
 larda  
 
(12.4)
<
)
(
)
(
ε
x
g
x
f
−
 
tengsizlik bajariladi. Yuqorida isbotlanganiga ko‘ra 
g
 uchun  

 
119 
 
(12.5)
)
(
=
)
(
1
=
µ
µ
d
x
g
d
x
g
n
A
n
A
∫
∑
∫
∞
 
tenglik  o‘rinli  va 
g
  har  bir 
n
A   da  integrallanuvchi  hamda  (12.5)  qator  absolyut 
yaqinlashuvchi. 
g
  ning 
n
A   to‘plamlarda  integrallanuvchi  ekanligidan  va  (12.4) 
tengsizlikdan  f   ning  ham  har  bir 
n
A   to‘plamda  integrallanuvchi  ekanligi  kelib 
chiqadi hamda  
).
(
=
)
(
|
)
(
)
(
|
|
)
(
)
(
|
1
=
1
=
1
=
A
A
d
x
g
x
f
d
x
g
d
x
f
n
n
n
A
n
n
A
n
A
n
µ
ε
µ
ε
µ
µ
µ
∑
∫
∑
∫
∫
∑
∞
∞
∞
<
−
≤
−
 
Bu esa (12.5) bilan birgalikda  
 
µ
d
x
f
n
A
n
)
(
1
=
∫
∑
∞
 
qatorning absolyut yaqinlashuvchi ekanligiga va quyidagi bahoga olib keladi:  
=
)
(
)
(
1
=
µ
µ
d
x
f
d
x
f
A
n
A
n
∫
∫
∑
−
∞
≤
−
+
−
∫
∫
∫
∑
∫
∑
∞
∞
µ
µ
µ
µ
d
x
f
d
x
g
d
x
g
d
x
f
A
A
n
A
n
n
A
n
)
(
)
(
)
(
)
(
1
=
1
=
 
 
).
(
2
)
(
)
(
)
(
)
(
1
=
A
d
x
f
d
x
g
d
x
g
d
x
f
A
A
n
A
n
A
n
µ
ε
µ
µ
µ
µ
≤
−
+
−
≤
∫
∫
∫
∫
∑
∞
 
Bu yerda 
0
>
ε
 ixtiyoriy bo‘lgani uchun (12.2) tenglik o‘rinli.