O`zbekiston Oliy va O`rta maxsus ta`lim vazirligi Namangan Davlat universiteti

9.1-teoremaning isboti. Teoremani bir necha qismlarga ajratib isbotlaymiz. 
1) agar  f  - o‘lchovli funksiya bo‘lsa, u holda ixtiyoriy 
R
k
∈
 uchun 
f
k
⋅
 va 
k
f
+
 funksiyalar ham o‘lchovli bo‘ladi. Haqiqatan ham,  

 
99 
 
(9.2)
0.
0
=
,
0,
>
0
=
,
0,
<
),
/
>
(
0,
>
),
/
<
(
=
}
<
)
(
:
{






≤
′
∅
′
∈
c
k
c
k
E
k
k
c
f
E
k
k
c
f
E
c
x
f
k
E
x
lib
o
b
agar
lib
o
b
agar
agar
agar
 
(9.2) tenglikning o‘ng tomonidagi to‘plamlarning har biri o‘lchovli bo‘lgani uchun 
f
k
⋅
 funksiya o‘lchovli bo‘ladi. 
k
f
+
 funksiyaning o‘lchovliligi  
 
}
<
)
(
:
{
=
}
<
)
(
:
{
k
c
x
f
E
x
c
k
x
f
E
x
−
∈
+
∈
 
tenglikdan kelib chiqadi. 
2) Agar  f  va 
g
 lar  E  da o‘lchovli funksiyalar bo‘lsa, u holda 9.3-lemmaga 
ko‘ra  
 
)}
(
>
)
(
:
{
=
}
>
)
(
)
(
:
{
x
g
c
x
f
E
x
c
x
g
x
f
E
x
−
∈
+
∈
 
to‘plam ixtiyoriy 
R
c
∈
 da o‘lchovli bo‘ladi. Demak, ta’rifga ko‘ra 
g
f
+
 o‘lchovli 
funksiya bo‘ladi. 
3) 1) va 2) dan kelib chiqadiki, 
g
f
−
 o‘lchovli funksiya bo‘ladi. 
4) Agar  f  o‘lchovli bo‘lsa, u holda 
f
 va 
2
f
 lar ham o‘lchovli funksiyalar 
bo‘ladi. Haqiqatan ham,  
 
(
)
(9.3)
0.
),
>
(
)
<
(
0
<
,
=



≥
−
>
c
c
f
E
c
f
E
c
E
c
f
E
agar
agar
U
 
(9.3) tenglikning o‘ng tomonidagi to‘plamlar ixtiyoriy 
R
c
∈
 da o‘lchovli bo‘lgani 
uchun 
f
 o‘lchovli funksiya bo‘ladi.  
 
(
)
(9.4)
0.
,
0
<
,
=
)
>
(
2




≥
>
c
c
f
E
c
E
c
f
E
agar
agar
 
|
| f   funksiyaning  o‘lchovli  ekanligidan,  (9.4)  tenglikning  o‘ng  tomonidagi 
to‘plamlarning  ixtiyoriy 
R
c
∈
  da  o‘lchovli  ekanligi  kelib  chiqadi.  Demak, 
2
f
 
o‘lchovli funksiya bo‘ladi. 
5) O‘lchovli funksiyalarning ko‘paytmasi o‘lchovli ekanligi quyidagi  
 
(
) (
)
[
]
2
2
4
1
=
g
f
g
f
g
f
−
−
+
⋅
 
ayniyatdan, hamda 1), 2), 3) va 4) xossalardan kelib chiqadi. 
6)  Agar 
g
  o‘lchovli  bo‘lib, 
0
)
(
≠
x
g
  bo‘lsa,  u  holda 
g
1
  ning  o‘lchovli 
bo‘lishi  
 









<
<


















<
0
=
0),
(
0,
,
0
<
<
1
0
>
,
1
>
0)
<
(
=
1
c
g
E
c
g
c
E
c
c
g
E
g
E
c
g
E
agar
agar
agar
U
 

 
100 
tenglikdan  kelib  chiqadi.  Demak, 
g
1
  -  o‘lchovli  funksiya.  5-xossaga  ko‘ra, 
)
(
1
)
(
x
g
x
f
⋅
 funksiya ham o‘lchovli bo‘ladi, bunda 
∆
≠
0.
)
(x
g
  
Shunday  qilib,  biz  o‘lchovli  funksiyalar  to‘plamining  arifmetik  amallarga 
nisbatan yopiqligini ko‘rsatdik. 
Analizdan  ma’lum  bo‘lgan  tekis  va  nuqtali  yaqinlashish  ta’riflarini 
keltiramiz.  E   o‘lchovli  to‘plamda  f   funksiya  va 
}
{
n
f
  o‘lchovli  funksiyalar 
ketma-ketligi berilgan bo‘lsin. 
9.2-ta’rif. Agar ixtiyoriy 
0
>
ε
 uchun shunday 
0
>
0
n
 mavjud bo‘lib, barcha 
0
> n
n
 va hamma 
E
x
∈
 larda 
ε
|<
)
(
)
(
|
x
f
x
f
n
−
 bo‘lsa, u holda 
}
{
n
f
 funksiyalar 
ketma-ketligi  E  to‘plamda  f  funksiyaga tekis yaqinlashadi deyiladi. 
9.3-ta’rif.  Agar  har  bir 
E
x
∈
  da 
)
(
=
)
(
lim
x
f
x
f
n
n
∞
→
  bo‘lsa,  u  holda 
}
{
n
f
 
funksiyalar ketma-ketligi  f  ga nuqtali yaqinlashadi deyiladi. 
Quyidagi  teorema  o‘lchovli  funksiyalar  to‘plamining  limitga  o‘tish  (nuqtali 
yaqinlashish) amaliga nisbatan ham yopiqligini ifodalaydi. 
9.2-teorema. Agar 
}
{
n
f
 o‘lchovli funksiyalar ketma-ketligi har bir 
E
x
∈
 da 
)
(x
f
 ga yaqinlashsa, u holda limitik funksiya  f  o‘lchovli bo‘ladi. 
Isbot.  Shartga  ko‘ra,  ixtiyoriy 
E
x
∈
  uchun 
)
(
=
)
(
lim
x
f
x
f
n
n
∞
→
  o‘rinli.  Agar 
biz  
(9.5)
1
<
)
(
:
=
}
<
)
(
:
{
=
)
<
(
>
=1
=1






−
∞
∞
∞
k
c
x
f
x
c
x
f
x
c
f
E
m
n
m
n
k
I
U
U
 
tenglikni  isbotlasak,  teorema  isbotlangan  bo‘ladi.  Chunki,  sanoqli  sondagi 
o‘lchovli  to‘plamlarning  birlashmasi  va  kesishmasi  (6.7-teoremaga  qarang)  yana 
o‘lchovli to‘plamdir. (9.5) tenglik amaliyot darsida isbotlanadi. 
Bu paragrafni quyidagi misol bilan yakunlaymiz. 
9.2-misol. Agar 
R
E
f
→
:
 o‘lchovli funksiya bo‘lsa, u holda  f  funksiya  E  
ning ixtiyoriy o‘lchovli  A  qismida ham o‘lchovli funksiya bo‘lishini ko‘rsating. 
Yechish. Haqiqatan ham, ixtiyoriy 
R
c
∈
 uchun  
 
A
c
f
E
c
x
f
A
x
I
)
<
(
=
}
<
)
(
:
{
∈
 
tenglik  o‘rinli. 
)
<
(
c
f
E
  va 
A   to‘plamlar  o‘lchovli  bo‘lganligi  uchun 
}
<
)
(
:
{
c
x
f
A
x
∈
 to‘plam ham o‘lchovli bo‘ladi. Ta’rifga ko‘ra,  f  funksiya  A  da 
o‘lchovli bo‘ladi. 
 
Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar  
1. 
O‘lchovli bo‘lmagan funksiyaga misol keltiring. 
2. 
O‘lchovli  bo‘lmagan,  lekin  moduli  o‘lchovli  bo‘lgan  funksiyaga  misol 
keltiring.  
3. 
(9.5) tenglikni isbotlang. 
4. 
9.1  lemmada  keltirilgan  2),  4)  va  5)  ko‘rinishdagi  to‘plamlarning  o‘lchovli 

 
101 
ekanligidan  f  ning o‘lchovli ekanligini keltirib chiqaring.  
5. 
Shunday  f  va 
g
 funksiyalarga misol keltiringki, ularning yig‘indisi o‘lchovli 
bo‘lsin, lekin ayirmasi o‘lchovli bo‘lmasin. 
6. 
Shunday  f   va 
g
  funksiyalarga  misol  keltiringki,  ularning  ko‘paytmasi 
o‘lchovli bo‘lsin, lekin yig‘indisi o‘lchovli bo‘lmasin. 
7. 
Dirixle funksiyasi  
 



∈
∈
Q
x
Q
\
R
x
x
D
agar
agar
1,
,
0,
=
)
(
 
 
ning [0;3]  to‘plamda o‘lchovli ekanligini ta’rif yordamida ko‘rsating. 
8. 
Agar  f   funksiya  E   to‘plamda  o‘lchovli  bo‘lsa,  u  holda 
)]
(
[
=
)
(
x
f
x
h
    ning 
o‘lchovli  ekanligini  isbotlang.  Bu  yerda 
]
[x   bilan  x   ning  butun  qismi 
belgilangan.  
 
10. O‘lchovli funksiyalar ketma-ketliklarining yaqinlashishlari 
  
Bu  paragrafda  ekvivalent  funksiyalar,  ularning  ayrim  xossalari  va  o‘lchovli 
funksiyalar  ketma-ketliklarining  turli  yaqinlashishlari  orasidagi  bog‘lanishlarni 
o‘rganamiz. 
10.1-ta’rif. E o‘lchovli to‘plamda aniqlangan  f  va 
g
 funksiyalar uchun  
 
0
=
)}
(
)
(
:
{
x
g
x
f
E
x
≠
∈
µ
 
bo‘lsa,  f  va 
g
 lar ekvivalent funksiyalar deyiladi va  f ~
g
 shaklda belgilanadi. 
10.1-misol. Dirixle funksiyasi  
 



∈
∈
,
1,
0,
=
)
(
Q
x
Q
R
x
x
D
agar
agar
\
 
Riman funksiyasi  
 




′
−
′
−
lsa,
o
b
kasr
qisqarmas
agar
lsa,
o
b
son
l
irratsiona
agar
n
m
x
n
x
x
R
=
,
1
0,
=
)
(
 
nol  funksiya 
0
)
(
≡
x
θ
  hamda  bir 
1
)
(
≡
x
I
  funksiyalar  orasidan  o‘zaro  ekvivalent 
funksiyalarni toping. 
Yechish. Ma’lumki,  Q  sanoqli to‘plam, shuning uchun 
0.
=
)
(Q
µ
 Lebeg 
o‘lchovi - to‘la o‘lchov (8.4-ta’rifga qarang), shunday ekan, ixtiyoriy 
Q
A
⊂
 uchun 
0.
=
)
( A
µ
 Endi bu funksiyalarni ekvivalentlikka tekshiramiz:  
.
=
)}
(
)
(
:
{
,
)}
(
)
(
:
{
,
=
)}
(
)
(
:
{
,
=
)}
(
)
(
:
{
Q
R
x
I
x
D
x
Q
x
R
x
D
x
Q
x
x
R
x
Q
x
x
D
x
\
≠
⊂
≠
≠
≠
θ
θ
 
Bu yerdan quyidagi tengliklarni hosil qilamiz:  
0,
=
}
{
=
)}
(
)
(
:
{
=
)}
(
)
(
:
{
Q
x
x
R
x
x
x
D
x
µ
θ
µ
θ
µ
≠
≠
 
0.
}
{
=
)}
(
)
(
:
{
0,
=
)}
(
)
(
:
{
≠
≠
≠
Q
R
x
I
x
D
x
x
R
x
D
x
\
µ
µ
µ
 
Demak,  D ~
θ
,  R ~
θ
,  R ~ D  bo‘ladi.  I  bilan  D  ekvivalent emas. 
10.2-ta’rif. Agar biror xossa  E  to‘plamning nol o‘lchovli qism to‘plamidan 

 
102 
boshqa  barcha  nuqtalarida  bajarilsa,  bu  xossa  E   to‘plamda  deyarli  bajariladi 
deyiladi. 
Agar ikkita funksiya deyarli teng bo‘lsa, ular ekvivalentdir. 
10.2-misol.  Aytaylik, 
2
1
=
A
A
E
U
  va 
∅
=
2
1
A
A I
  bo‘lsin.  Agar 
R
A
f
→
1
1
:
 va 
R
A
f
→
2
2
:
 funksiyalar o‘lchovli bo‘lsa, u holda  
 



∈
∈
2
2
1
1
),
(
),
(
=
)
(
A
x
x
f
A
x
x
f
x
f
agar
agar
 
E  da o‘lchovli funksiya bo‘lishini ko‘rsating. 
Yechish. Ixtiyoriy 
R
c
∈
 da  
 
}
<
)
(
:
{
}
)
(
:
{
=
}
<
)
(
:
{
2
2
1
1
c
x
f
A
x
c
x
f
A
x
c
x
f
E
x
∈
<
∈
∈
U
 
to‘plam - o‘lchovli. Demak,  f  funksiya -  E  da o‘lchovli. 
∆
 
10.3-misol.  Nol  o‘lchovli  A   to‘plamda  aniqlangan  ixtiyoriy 
R
A
f
→
:
 
funksiyaning o‘lchovli bo‘lishini isbotlang. 
Yechish.  O‘lchovi  nolga  teng  to‘plamning  ixtiyoriy  qismi  (8.4-ta’rifga 
qarang)  
 
A
c
x
f
A
x
⊂
∈
}
<
)
(
:
{
 
o‘lchovli, shuning uchun, 
A
f
−
 da o‘lchovli funksiya bo‘ladi. 
10.1-teorema.   Agar  f  funksiya  E  o‘lchovli  to‘plamda aniqlangan bo‘lib, 
o‘lchovli 
R
E
g
→
:
 funksiyaga ekvivalent bo‘lsa, u  holda  f  ham  E  da o‘lchovli 
funksiya bo‘ladi. 
Isbot. Faraz qilaylik, 
g
 - o‘lchovli va 
g
f ~
 bo‘lsin, ya’ni  
(10.1)
0.
=
)
\
(
)},
(
)
(
:
{
=
\
)},
(
=
)
(
:
{
=
A
E
x
g
x
f
x
A
E
x
g
x
f
x
A
µ
≠
10.2 va 10.3-misollarga ko‘ra,  
 



∈
∈
A
x
x
g
A
E
x
x
f
x
f
agar
agar
),
(
),
(
=
)
(
\
 
E  da o‘lchovli funksiya bo‘ladi.  
∆
  
10.1. Deyarli yaqinlashish.  
10.3-ta’rif.    Agar  E   to‘plamda  aniqlangan 
}
{
n
f
  funksiyalar  ketma-
ketligining  f   funksiyaga  yaqinlashmaydigan  nuqtalari  to‘plamining  o‘lchovi  nol 
bo‘lsa, u holda 
}
{
n
f
 funksiyalar ketma-ketligi  E  to‘plamda  f  funksiyaga deyarli 
yaqinlashadi deyiladi, ya’ni  
 
)
(
=
)
(
lim
x
f
x
f
n
n
∞
→
 
tenglik  E  dagi deyarli barcha  x  lar uchun o‘rinli, yoki  
 
{
}
0.
=
)
(
,
)
(
=
)
(
:
=
A
E
x
f
x
f
x
A
n
n
\
lim
µ
∞
→
 
10.4-misol. 
]
[0;2
=
,
cos
=
)
(
π
E
x
x
f
n
n
  funksiyalar  ketma-ketligining  nol 
funksiyaga deyarli yaqinlashishini ko‘rsating. 
 
Yechish.  

 
103 
 




∈
∈
∞
→
∞
→
}.
{0,2
1,
,
=
,
},
{
)
(0;2
0,
=
)
(
=
)
(
π
π
π
π
x
x
x
x
x
f
n
n
n
n
agar
emas
mavjud
agar
\
cos
lim
lim
 
{
}
0.
=
}
,2
{0,
=
)
(
},
,2
{0,
=
0
=
)
(
:
=
π
π
µ
µ
π
π
A
\
E
\
E
x
f
x
A
n
n
lim
∞
→
 
Ta’rifga asosan, 
x
x
f
n
n
cos
=
)
(
 funksiyalar ketma-ketligi 
]
[0;2
=
π
E
 to‘plamda nol 
0
=
)
(x
θ
 funksiyaga deyarli yaqinlashadi. 
∆
 
10.2-teorema.  Agar  E   to‘plamda 
}
{
n
f
  o‘lchovli  funksiyalar  ketma-ketligi 
f  ga deyarli yaqinlashsa, u holda limitik funksiya  f  ham o‘lchovlidir. 
Isbot. 
{
}
)
(
=
)
(
:
=
x
f
x
f
E
x
A
n
n
lim
∞
→
∈
  bo‘lsin.  U  holda  teorema  shartiga 
ko‘ra, 
0.
=
)
\
(
A
E
µ
  A   to‘plamda 
}
{
n
f
  funksiyalar  ketma-ketligi  f   ga  nuqtali 
yaqinlashadi.  9.2-teoremaga  ko‘ra,  f   funksiya  A   to‘plamda  o‘lchovlidir.  Nol 
o‘lchovli  to‘plamda  aniqlangan  ixtiyoriy  funksiya  -  o‘lchovli  (10.3-misolga 
qarang).  Shuning  uchun 
A
E \
  da 
−
f
  o‘lchovli.  10.2-misolga  ko‘ra,  f   funksiya 
birlashma 
E
A
\
E
A
=
)
(
U
 to‘plamda ham o‘lchovlidir. 
∆
 
Ma’lumki, 
tekis 
yaqinlashishdan 
nuqtali 
yaqinlashish, 
nuqtali 
yaqinlashishdan  esa  deyarli  yaqinlashish  kelib  chiqadi.  Quyidagi  implikatsiyalar 
o‘rinli: 
 
 
 
 
Egorov  teoremasi  deyarli  yaqinlashish  bilan  tekis  yaqinlashish  orasidagi 
bog‘lanishni ifodalaydi. 
10.3-teorema  (Egorov).  E   chekli  o‘lchovli  to‘plamda 
}
{
n
f
  funksiyalar 
ketma-ketligi  f   ga  deyarli  yaqinlashsin.  U  holda  ixtiyoriy 
0
>
δ
  uchun  shunday 
E
E
⊂
δ
 to‘plam mavjudki, uning uchun quyidagilar o‘rinli: 
1) 
(
)
,
<
\
δ
µ
δ
E
E
 
2) 
δ
E  to‘plamda 
}
{
n
f
 funksiyalar ketma-ketligi  f  ga tekis yaqinlashadi. 
Isbot. 10.2-teoremaga ko‘ra,  f  o‘lchovli funksiya bo‘ladi. Aytaylik,  
 
}
1/
|<
)
(
)
(
:|
{
=
m
x
f
x
f
x
E
i
n
i
m
n
−
≥
I
 
bo‘lsin. 
m
n
E
  to‘plamlar  barcha  n   va  m   uchun  o‘lchovli  bo‘ladi. 
m
n
E
  to‘plam 
tayinlangan  n   va  m   da  barcha 
n
i
≥
  lar  uchun 
m
x
f
x
f
i
1/
|<
)
(
)
(
|
−
  tengsizlikni 
qanoatlantiruvchi  x  lar to‘plamidan iborat. Endi  
 
m
n
n
m
E
E
U
∞
=1
=
 
bo‘lsin. Aniqlanishiga ko‘ra 
m
n
E
 to‘plamlar har bir  m  da  
 
L
L
⊂
⊂
⊂
⊂
m
n
m
m
E
E
E
2
1
 
munosabatni  qanoatlantiradi.  O‘lchovning  uzluksizlik  xossasiga  ko‘ra,  har  bir  m  
Tekis 
yaqinlashish 
Nuqtali 
yaqinlashish 
Deyarli 
yaqinlashish 
O‘lchov bo‘yicha 
yaqinlashish 

 
104 
va 
0
>
δ
 uchun shunday 
)
(
0
m
n
 mavjudki,  
 
.
2
<
)
(
m
m
m
m
E
E
δ
µ