O`zbekiston Oliy va O`rta maxsus ta`lim vazirligi Namangan Davlat universiteti

§
6
−
  da  tekislikdagi  to‘plamlar  uchun  amalga  oshirilgan 
konstruksiyani  yetarlicha  umumiy  abstrakt  talqin  qilish  mumkin.  Keyingi  ikki 
paragraflar shu masalaga bag‘ishlanadi. 
7.1-ta’rif.  Agar 
µ  to‘plam funksiyasi quyidagi shartlarni qanoatlantirsa:  
1) 
µ  funksiyaning aniqlanish sohasi 
µ
Σ
 yarim halqa bo‘lsa ; 
2) 
µ  funksiyaning qiymatlar sohasi haqiqiy va manfiymas bo‘lsa;  
3) 
µ  additiv  bo‘lsa, ya’ni ixtiyoriy 
µ
Σ
∈
A
  to‘plamning  o‘zaro  kesishmaydigan 
µ
Σ
∈
n
A
A
A
,
,
,
2
1
K
 to‘plamlar bo‘yicha  
 
k
n
k
A
A
U
1
=
=
 
chekli yoyilmasi uchun  
 
)
(
=
)
(
1
=
k
n
k
A
A
µ
µ
∑
 
tenglik o‘rinli bo‘lsa, 
µ  o‘lchov deb ataladi. 
Eslatma. 
∅
∅
∅
U
=
  yoyilmadan 
)
(
2
=
)
(
∅
∅
µ
µ
,  ya’ni 
0
=
)
(
∅
µ
  tenglik  kelib 
chiqadi. 
7.1. O‘lchovni yarim halqadan undan hosil bo‘lgan minimal halqaga davom 
ettirish.  Tekislikdagi  to‘plamlar  Lebeg  o‘lchovini  aniqlash  uchun  dastlabki  qadam,  bu 
o‘lchovni  to‘g‘ri  to‘rtburchaklar  sistemasi  (yarim  halqa)  dan  elementar  to‘plamlar 
sistemasi  (undan  hosil  bo‘lgan  minimal  halqa)  ga  davom  ettirish  bo‘ldi.  Hozir  biz  bu 
konstruksiyaga o‘xshash abstrakt konstruksiyani qaraymiz. 
7.2-ta’rif.  Agar  m   o‘lchovning  aniqlanish  sohasi 
m
Σ
  ikkinchi 
µ   o‘lchovning 
aniqlanish sohasi 
µ
Σ
 da saqlansa (
µ
Σ
⊂
Σ
m
) va ixtiyoriy 
m
A
Σ
∈
 to‘plam uchun  
 
)
(
=
)
(
A
m
A
µ
 
tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda 
µ  o‘lchov m  o‘lchovning davomi deyiladi. 
7.1-teorema.  Aniqlanish  sohasi 
m
Σ
  yarim  halqa  bo‘lgan  har  bir  m   o‘lchov 
uchun  aniqlanish  sohasi 
)
(
m
Σ
ℜ
 
m
Σ
(
  ni  o‘zida  saqlovchi  minimal  halqa)  bo‘lgan 
yagona 
m
′
 davom mavjud. 
Isbot. Har bir 
)
(
m
A
Σ
ℜ
∈
 to‘plam uchun  
(7.1)
.
,
=
,
,
=
=1
l
k
B
B
B
B
A
l
k
m
k
k
n
k
≠
∅
Σ
∈
I
U
 

ko‘rinishdagi yoyilma mavjud. U holda  A  ga 
 
(7.2)
)
(
=
)
(
=1
k
n
k
B
m
A
m
∑
′
 
sonni  mos  qo‘yuvchi  va 
)
(
m
Σ
ℜ
  da  aniqlangan 
m
′
  to‘plam  funksiyasi  o‘lchov  bo‘ladi. 
Haqiqatan  ham,  (7.2)  tenglik  bilan  aniqlangan 
)
( A
m
′
  miqdor  (7.1)  yoyilmaning 
tanlanishiga bog‘liq emas, chunki ixtiyoriy ikkita  
 
m
j
m
i
j
r
j
i
n
i
C
B
C
B
A
Σ
∈
Σ
∈
,
,
=
=
1
=
1
=
U
U
 
yoyilmalarni  qarasak, 
j
i
C
B I
  kesishmalar 
m
Σ
  ga  tegishli  bo‘lganligi  uchun  m  
o‘lchovning additivligidan foydalanib,  
 
)
(
=
)
(
=
)
(
=1
=1
=1
=1
j
r
j
j
i
r
j
n
i
i
n
i
C
m
C
B
m
B
m
∑
∑
∑
∑
I
 
tengliklarga ega bo‘lamiz. 
Ravshanki,  (7.2)  tenglik  bilan  aniqlangan 
)
( A
m
′
  funksiya  manfiymas  va  additiv 
bo‘ladi.  Shunday  qilib,  m   o‘lchovning 
)
(
m
Σ
ℜ
  ga  davomi 
m
′
  ning  mavjudligi 
isbotlandi. 
Endi bu o‘lchovning yagonaligini isbotlaymiz. Ixtiyoriy 
)
(
m
A
Σ
ℜ
∈
 to‘plamni va 
uning biror  
 
m
k
l
k
k
n
k
B
l
k
B
B
B
A
Σ
∈
≠
∅
,
,
=
,
=
1
=
I
U
 
yoyilmasini olaylik. U holda  m  o‘lchovning 
)
(
m
Σ
ℜ
 da aniqlangan ixtiyoriy 
m
~
 davomi 
uchun  
 
)
(
=
)
(
=
)
(
=
)
(
=1
=1
A
m
B
m
B
m
A
m
k
n
k
k
n
k
′
∑
∑
~
~
 
tenglikni olamiz, ya’ni 
m
~
 o‘lchov 
m
′
 o‘lchov bilan ustma-ust tushadi. 
∆
 
O‘lchovning  manfiymaslik  va  additivlik  xossalaridan  quyidagi  muhim  xossalar 
kelib chiqadi. 
7.2-teorema.  Biror 
m
ℜ
  halqada  aniqlangan  m   o‘lchov  va 
m
ℜ
  ga  tegishli 
n
A
A
A
,
,
,
2
1
K
 to‘plamlar berilgan bo‘lsin. U holda 
I. Agar  
 
l
k
A
A
A
A
l
k
k
n
k
≠
∅
⊂
,
=
=1
I
U
va
 
bo‘lsa,  
 
)
(
)
(
=1
A
m
A
m
k
n
k
≤
∑
 
tengsizlik bajariladi; 
II. Agar 
A
A
k
n
k
⊃
U
1
=
 bo‘lsa,  
 
)
(
)
(
=1
A
m
A
m
k
n
k
≥
∑
 

tengsizlik bajariladi. Xususan, agar 
m
B
A
ℜ
∈
,
 va 
B
A
⊂
 bo‘lsa, 
)
(
)
(
B
m
A
m
≤
 bo‘ladi. 
Isbot. 
m
ℜ
 ga tegishli va o‘zaro kesishmaydigan 
n
A
A
A
,
,
,
2
1
K
 to‘plamlar berilgan 
bo‘lib,  ularning  barchasi 
m
A
ℜ
∈
  to‘plamda  saqlansin.  U  holda  m   o‘lchovning 
additivligiga ko‘ra  
 
.
)
(
=
)
(
=1
=1






+
∑
k
n
k
k
n
k
A
A
m
A
m
A
m
U
\
 
Bundan, 
0
)
\
(
1
=
≥
k
n
k
A
A
m
U
 bo‘lganligi uchun I - xossaning isbotiga ega bo‘lamiz. 
Endi ixtiyoriy 
m
A
A
ℜ
∈
2
1
,
 to‘plamlar uchun  
 
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
=
)
(
2
1
2
1
2
1
2
1
A
m
A
m
A
A
m
A
m
A
m
A
A
m
+
≤
−
+
I
U
 
tenglik o‘rinli ekanligidan foydalansak, bu yerdan chekli induktiv qadamdan so‘ng  
 
)
(
=1
=1
k
n
k
k
n
k
A
m
A
m
∑
≤






U
 
tengsizlikni olamiz. Nihoyat, o‘lchovning additivlik xossasiga ko‘ra  
 






≤






−






k
n
k
k
n
k
k
n
k
A
m
A
A
m
A
m
A
m
U
U
U
=1
=1
=1
=
)
(
\
 
yoki oldindan olingan tengsizlikka ko‘ra  
 
∆
≤
∑
).
(
)
(
=1
k
n
k
A
m
A
m
 
Hozir biz halqada aniqlangan o‘lchovlar uchun I va II xossalarni isbotladik. Agar 
yarim  halqada  aniqlangan  o‘lchovni  qarasak,  uning  halqadagi  davomi  uchun  I  va  II 
xossalar o‘rinli bo‘lganligidan, bu davomning yarim halqadagi qismi uchun ham I va II 
xossalar o‘rinli bo‘lib qoladi. 
7.3-ta’rif.  Agar 
m
Σ
  sistemada  aniqlangan  m   o‘lchov  va  ixtiyoriy  o‘zaro 
kesishmaydigan sanoqlita 
m
n
A
A
A
Σ
∈
K
K
,
,
,
,
2
1
 to‘plamlar uchun 
k
k
A
A
U
∞
1
=
=
 bo‘lganda  
 
)
(
=
)
(
=1
k
k
A
m
A
∑
∞
µ
 
tenglik o‘rinli  bo‘lsa, u holda  m  o‘lchov sanoqli-additiv yoki 
−
σ  additiv o‘lchov deb 
ataladi. 
§
6
−
  da  tekislikdagi  to‘plamlar  uchun  kiritilgan  o‘lchov 
−
σ   additiv  (6.8-
teorema)  o‘lchovga  misol  bo‘ladi.  Boshqacha  tabiatli 
−
σ   additiv  o‘lchovga  misol 
keltiramiz. 
7.1-misol. Bizga ixtiyoriy sanoqli  
 
}
,
,
,
,
{
=
2
1
K
K
n
x
x
x
X
 
to‘plam berilgan bo‘lsin. 
0
>
n
p
 sonlarni shunday tanlaymizki,  
 
1
=
1
=
n
n
p
∑
∞
 
bo‘lsin. Har bir 
X
A
⊂
 to‘plamga  

 
n
n
x
p
A
A
m
∑
∈
=
)
(
 
sonni  mos qo‘yamiz. Aniqlanishiga ko‘ra, 
)
( A
m
 to‘plam  funksiyasi o‘lchov bo‘ladi  va 
X  ning barcha qism to‘plamlari o‘lchovli bo‘ladi. Bundan tashqari, 
1.
=
)
( X
m
 
Endi  X   ning  o‘zaro  kesishmaydigan  sanoqlita  ixtiyoriy 
K
K
,
,
,
,
2
1
n
A
A
A
  qism 
to‘plamlarini olaylik va 
k
k
A
A
U
∞
1
=
=
 bo‘lsin. Aniqlanishiga ko‘ra,  
 
k
k
x
p
A
A
m
∑
∈
=
)
(
 
va tenglik o‘ng tomonidagi qator absolyut yaqinlashuvchi bo‘lgani uchun  
 
)
(
=
=
=
)
(
1
=
1
=
n
n
k
n
k
x
n
k
k
x
A
m
p
A
p
A
A
m
∑
∑
∑
∑
∞
∞
∈
∈
 
tengliklar o‘rinli, ya’ni 
m
 
−
σ  additiv o‘lchov bo‘ladi. 
Endi additiv bo‘lib, ammo 
−
σ  additiv bo‘lmagan o‘lchovga misol qaraymiz. 
7.2-misol.  [0;1]   kesmadagi  barcha  ratsional  sonlar  to‘plamini  X   bilan 
belgilaymiz. 
m
Σ
 orqali  X  ning 
)
;
( b
a
 intervallar, 
]
;
[ b
a
 kesmalar va 
]
;
(
),
;
[
b
a
b
a
 yarim 
intervallar  bilan  kesishmalaridan  iborat  to‘plamlar  sistemasini  belgilaymiz.  Ko‘rsatish 
mumkinki, 
m
Σ
  yarim  halqa  bo‘ladi.  Agar 
(
)
)
;
[
],
;
(
],
;
[
)
;
(
=
b
a
b
a
b
a
b
a
X
A
ab
I
I
I
I
 
desak, har bir 
ab
A  to‘plamga  
 
a
b
A
m
ab
−
=
)
(
 
sonni  mos  qo‘yish  mumkin.  Bu  to‘plam  funksiyasi  m   additiv  o‘lchov  bo‘ladi,  ammo 
−
σ   additiv  bo‘lmaydi.  Chunki  [0;1]  kesmadagi  barcha  ratsional  sonlar  to‘plami 
sanoqli,  ya’ni 
}
,
,
,
,
{
=
2
1
K
K
n
r
r
r
X
  tenglik  o‘rinli.  Birinchidan 
[0;1]
=
01
I
X
A
  to‘plam 
uchun 
1
=
)
(
01
A
m
  bo‘ladi,  ikkinchi  tomondan 
n
n
A
A
U
∞
1
=
01
=
  o‘zaro  kesishmaydigan 
sanoqlita  nol  o‘lchovli 
]
;
[
=
n
n
n
r
r
X
A
I
  to‘plamlarning  yig‘indisidan  iborat  bo‘ladi, 
ya’ni  
 
0.
=
)
(
1
=
)
(
1
=
01
n
n
A
m
A
m
∑
∞
≠
 
7  va 
§
8
−
  larda  qaralayorgan  o‘lchovlarni 
−
σ   additiv  o‘lchovlar  deb 
hisoblaymiz. 
7.3-teorema.  Agar 
m
Σ
 yarim halqada aniqlangan  m  o‘lchov 
−
σ  additiv bo‘lsa, 
u holda bu o‘lchovning 
)
(
m
Σ
ℜ
 
m
Σ
(
 ni o‘zida saqlovchi minimal halqa) halqaga davomi 
µ  ham 
−
σ  additiv o‘lchov bo‘ladi. 
Isbot. 
)
(
m
A
Σ
ℜ
∈
  to‘plam  va  o‘zaro  kesishmaydigan 
N
n
B
m
n
∈
Σ
ℜ
∈
),
(
  
to‘plamlar  berilgan  bo‘lib, 
k
k
B
A
U
∞
1
=
=
  tenglik  bajarilsin.  U  holda  5.3-teoremaga  ko‘ra, 
m
Σ
  da  o‘zaro  kesishmaydigan  cheklita 
}
,
1,2,
=
,
{
l
j
A
j
K
  to‘plamlar  va  o‘zaro 
kesishmaydigan 
}
,
1,2,
=
,
{
n
ns
l
s
B
K
 to‘plamlar sistemalari mavjud bo‘lib,  

 
j
l
j
A
A
U
1
=
=
,   va   
N
n
B
B
ns
n
l
s
n
∈
,
=
1
=
U
 
chekli yoyilmalar o‘rinli bo‘ladi. 
Endi 
j
ns
nsj
A
B
C
I
=
  belgilashlarni  kiritamiz.  Tuzilishiga  ko‘ra, 
nsj
C
  to‘plamlar 
o‘zaro kesishmaydi va  
 
nsj
n
l
s
n
j
C
A
U
U
1
=
1
=
=
∞
   va   
nsj
l
j
ns
C
B
U
1
=
=
 
yoyilmalar o‘rinli bo‘ladi. 
m
Σ
 da aniqlangan  m  o‘lchovning 
−
σ  additivligidan  
 
(7.3)
)
(
=
)
(
)
(
=
)
(
=1
=1
=1
nsj
l
j
ns
nsj
n
l
s
n
j
C
m
B
m
C
m
A
m
∑
∑
∑
∞
va
 
tengliklarga  ega  bo‘lamiz.  Ikkinchi  timondan 
)
(
m
Σ
ℜ
  da  berilgan 
µ   o‘lchovning 
aniqlanishiga ko‘ra  
 
(7.4)
).
(
=
)
(
)
(
=
)
(
=1
=1
ns
n
l
s
n
j
l
j
B
m
B
A
m
A
∑
∑
µ
µ
va
 
U holda (7.3)-(7.4) formulalardan  
)
(
=
)
(
=
)
(
=
)
(
=
)
(
=
)
(
=1
=1
=1
=1
=1
=1
=1
=1
=1
=1
n
n
ns
n
l
s
n
nsj
l
j
n
l
s
n
nsj
n
l
s
n
l
j
j
l
j
B
m
B
m
C
m
C
m
A
m
A
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∞
∞
∞
∞
µ
 
tengliklar  zanjirini  olamiz.  Bu  tengliklar  zanjirida  qatnashayotgan  barcha  qatorlar 
absolyut yaqinlashuvchi, shuning uchun 
 
)
(
=
)
(
=1
n
n
B
m
A
∑
∞
µ
 
tenglikning o‘rinli ekanligiga ega bo‘lamiz. 
∆
 
Ko‘rsatildiki, agar yarim halqada 
−
σ  additiv o‘lchov aniqlangan bo‘lsa, u holda 
uning  halqaga  davomi  ham 
−
σ   additiv  o‘lchov  bo‘ladi,  shuning  uchun,  boshidan 
o‘lchov biror halqada aniqlangan deb qarash mumkin. 
7.4-teorema.  Biror 
ℜ
  halqada 
σ   -  additiv  m   o‘lchov  berilgan  bo‘lib,  A  va 
K
K
,
,
,
,
2
1
n
A
A
A
 to‘plamlar 
ℜ
 ga tegishli bo‘lsin. U holda: 
.
σ
I  Agar 
A
A
k
k
⊂
∞
U
1
=
 va 
j
i
≠
 da 
Ш
=
j
i
A
A
I
 bo‘lsa, u holda  
 
)
(
)
(
1
=
A
m
A
m
n
n
≤
∑
∞
 
tengsizlik o‘rinli; 
σ
II  (sanoqli yarim additivlik). Agar 
k
k
A
A
U
∞
⊂
1
=
 bo‘lsa, u holda  
 
)
(
)
(
1
=
n
n
A
m
A
m
∑
∞
≤
 
tengsizlik o‘rinli. 
Isbot.  Agar 
k
A  to‘plamlar  o‘zaro kesishmasa  va  A  to‘plamda saqlansa,  u  holda 
7.2-teoremaning  I  tasdig‘iga ko‘ra har bir  n  da  

 
)
(
)
(
=1
A
m
A
m
k
n
k
≤
∑
 
tengsizlik  o‘rinli  bo‘ladi.  Bu  yerdan 
∞
→
n
  da  limitga  o‘tsak 
σ
I   tasdiq  isbotiga  ega 
bo‘lamiz. 
Endi 
σ
II  tasdiqni isbotlaymiz. 
ℜ
 halqa bo‘lgani uchun  
 
.
)
(
=
1
1
=
k
n
k
n
n
A
\
A
A
B
U
I
−
 
to‘plamlar 
ℜ
 ga tegishli bo‘ladi. Tuzilishiga ko‘ra  
 
n
n
k
k
A
B
B
A
⊂
∞
,
=
=1
U
 
va 
n
B  to‘plamlar o‘zaro kesishmaydi, shuning uchun  
 
).
(
)
(
=
)
(
1
=
1
=
k
k
k
k
A
m
B
m
A
m
∑
∑
∞
∞
≤
  
∆  
7.1-eslatma.  Ko‘rinib  turibdiki,  teoremaning 
σ
I   tasdig‘i  o‘rinli  bo‘lishi 
qaralayotgan  o‘lchovning 
σ   -additivligiga  bog‘liq  emas,  shuning  uchun  ixtiyoriy 
additiv o‘lchov uchun ham bu tasdiq o‘rinli bo‘ladi. Aksincha, 
σ
II  tasdiqda o‘lchovning 
σ   -  additivlik  xossasi  muhim  ahamiyatga  egadir.  Haqiqatan  ham,  yuqorida  qaralgan 
7.2-misolda 
σ   -  additiv  bo‘lmagan  o‘lchovda,  o‘lchovi  1  ga  teng  X   to‘plam 
o‘lchovlari 
0
  ga  teng  bir  nuqtali  to‘plamlar  yig‘indisida  saqlanadi,  ammo 
σ
II   tasdiq 
bajarilmaydi.  Bundan  tashqari  shunga  ishonch  hosil  qilish  mumkinki, 
σ
II   xossa 
umuman  olganda 
σ   -  additivlik  xossasiga  teng  kuchli.  Haqiqatan  ham, 
Σ
  yarim 
halqada  aniqlangan  biror 
µ   o‘lchov  berilgan  bo‘lsin. 
K
K
,
,
,
,
2
1
n
A
A
A
  sanoqli  sondagi 
to‘plamlar 
Σ
  dan  olingan  bo‘lib, 
K
K
,
,
,
,
2
1
n
A
A
A
  to‘plamlar  o‘zaro  kesishmasin  va 
k
k
A
A
U
∞
1
=
=
  tenglik  bajarilsin.  U  holda  har  qanday  o‘chov 
σ
I   xossaga  ega  bo‘lganligi 
sababli  
 
)
(
)
(
1
=
A
A
n
n
µ
µ
≤
∑
∞
 
tengsizlik  bajariladi.  Bundan  tashqari,  agar 
µ  o‘lchov 
σ
II   xossaga  ham  ega  bo‘lsa,  u 
holda (chunki 
k
A  lar  A  ni qoplaydi)  
 
)
(
)
(
1
=
A
A
n
n
µ
µ
≥
∑
∞
 
tengsizlik ham bajariladi. Shuning uchun  
 
)
(
=
)
(
1
=
A
A
n
n
µ
µ
∑
∞
 
tenglik  o‘rinli.  Demak,  o‘lchovning  sanoqli  yarim  additivligi  uning 
σ   -  additivligini 
ta’minlar ekan. 
  
Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar 
1. 
[0;1]   kesmadagi  barcha  irratsional  sonlar  to‘plamini  X   bilan  belgilaymiz. 
m
Σ
 

orqali  X   ning 
)
;
( b
a
  intervallar, 
]
;
[ b
a
  kesmalar  va 
]
;
(
),
;
[
b
a
b
a
  yarim  intervallar 
bilan 
kesishmalaridan 
iborat 
to‘plamlar 
sistemasini 
belgilaymiz. 
Agar 
)
;
(
=
b
a
X
A
ab
I
 
],
;
(
],
;
[
(
b
a
b
a
I
I
 
))
;
[ b
a
I
  desak,  har  bir 
ab
A   to‘plamga  
a
b
A
m
ab
−
=
)
(
   sonni mos qo‘yamiz. Bu to‘plam funksiyasi  m  
σ -additiv o‘lchov 
bo‘ladimi? 
2. 
Har bir 
)
;
(
=
∞
−∞
⊂
R
A
 to‘plamga  
n
A
N
n
A
m
2
1
=
)
(
∑
∈
I
 
 
sonni  mos  qo‘yamiz.  m   to‘plam  funksiyasi  o‘lchov  bo‘lishini  ko‘rsating. 
;0)
(
=
−∞
A
 va 
[1;4]
=
B
 to‘plamlarning o‘lchovlarini toping.  
3. 
Yuqorida aniqlangan  m  o‘lchov 
−
σ
 additiv o‘lchov bo‘ladimi?  
 
5-mavzu: O‘lchovning Lebeg bo‘yicha davomi 
  
8.1.  Birli  (birlik  elementli)  yarim  halqada  aniqlangan  o‘lchovning  Lebeg 
bo‘yicha  davomi.  Agar 
m
Ј   yarim  halqada  aniqlangan  m  o‘lchov additivlik  xossasiga 
ega  bo‘lib,  ammo 
−
σ   additiv  bo‘lmasa,  u  holda  m   ning 
m
Ј   dan 
)
Ј
(
m
ℜ
  ga  davomi 
bilan o‘lchovni davom ettirish jarayoni tugaydi, ya’ni  m  o‘lchovni 
)
Ј
(
m
ℜ
 dan kengroq 
sinfga davom ettirib bo‘lmaydi. Agar 
m
Ј  da aniqlangan  m  o‘lchov 
−
σ  additiv bo‘lsa, 
u  holda  m   ni 
m
Ј   dan 
)
Ј
(
m
ℜ
  ga  nisbatan  kengroq  bo‘lgan  va  qandaydir  ma’noda 
maksimal  sinfga  davom  ettirish  mumkin.  Buni  Lebeg  bo‘yicha  davom  ettirish 
yordamida amalga oshirish  mumkin.  Bu bandda birli  yarim  halqada berilgan o‘lchovni 
Lebeg bo‘yicha davom ettirish  masalasini  qaraymiz,  umumiy  holni esa kelgusi bandda 
qaraymiz. 
Bizga  biror 
m
Ј   birli  yarim  halqada  aniqlangan 
−
σ
  additiv  m   o‘lchov  berilgan 
bo‘lsin  va  E   to‘plam 
m
Ј   halqaning  biri  bo‘lsin.  E   ning  barcha  qism  to‘plamlaridan 
tashkil  bo‘lgan 
)
(E
M
  sistemada  tashqi  o‘lchov  deb  ataluvchi 
*
µ  funksiyani quyidagi 
usulda aniqlaymiz. 
8.1-ta’rif. Ixtiyoriy 
E
A
⊂
 to‘plam uchun  
 
(8.1)
)
(
=
)
(
*
n
n
B
m
A
∑
inf
µ
 
son  A   to‘plamning  tashqi  o‘lchovi  deb  ataladi.  Bu  yerda  aniq  quyi  chegara  A  
to‘plamni  qoplovchi  barcha  chekli  yoki  sanoqli 
m
n
n
B
B
Ј
},
{
∈
  to‘plamlar  sistemasi 
bo‘yicha olinadi. 
8.1-teorema.  (Sanoqli  yarim  additivlik).  Agar  A   va  sanoqlita 
K
K
,
,
,
,
2
1
n
A
A
A
 
to‘plamlar uchun  
 
n
n
A
A
U
∞
⊂
1
=
 
bo‘lsa, u holda  
 
).
(
)
(
*
=1
*
n
n
A
A
µ
µ
∑
∞
≤
 

Bu  teorema  tasdig‘ining  isboti  6.3-teorema  tasdig‘i  isbotiga  (aynan)  o‘xshash 
amalga oshiriladi. 
8.2-ta’rif.  Agar 
E
A
⊂
  to‘plam  va  istalgan 
0
>
ε
  uchun  shunday 
)
Ј
(
m
B
ℜ
∈
 
to‘plam mavjud bo‘lib,  
 
ε
µ
<
)
(
*
B
A
∆
 
tengsizlik bajarilsa,  A  (Lebeg bo‘yicha) o‘lchovli to‘plam deyiladi. 
Faqat  o‘lchovli  to‘plamlar  sinfida  aniqlangan 
*
µ   funksiya  Lebeg  o‘lchovi  deb 
ataladi va u 
µ  harfi bilan belgilanadi. Ravshanki, 
m
Ј  va 
)
Ј
(
m
ℜ
 dan olingan to‘plamlar 
o‘lchovli bo‘ladi. Bunda, agar 
m
A
Ј
∈
 va 
)
Ј
(
m
B
ℜ
∈
 bo‘lsa, u holda  
 
).
(
=
)
(
),
(
=
)
(
B
m
B
A
m
A
′
µ
µ
 
Agar  A   o‘lchovli  to‘plam  va 
ε
µ
<
)
(
*
B
A
∆
  tengsizlikni  qanoatlantiruvchi 
)
Ј
(
m
B
ℜ
∈
 to‘plam berilgan bo‘lsa,  
 
)
(
)
(
=
B
\
E
A
\
E
B
A
∆
∆
 
tenglikdan  A   ning  to‘ldiruvchi  to‘plami 
A
E \
  ning  ham  o‘lchovli  ekanligi  kelib 
chiqadi. 
8.2-teorema. O‘lchovli to‘plamlar sistemasi 
)
(M
ℑ
 halqa bo‘ladi. 
Isbot. Ixtiyoriy 
1
A  va 
2
A  to‘plamlar uchun  
 
(8.2)
)
(
=
2
1
1
2
1
A
A
A
A
A
\
\
I
 
va  
 
(8.3)
)]
(
)
[(
=
2
1
2
1
A
E
A
E
E
A
A
\
\
\
I
U
 
tengliklar 
o‘rinli 
bo‘lgani 
uchun 
quyidagini 
isbotlash 
yetarli. 
Agar 
)
(
),
(
2
1
M
A
M
A
ℑ
∈
ℑ
∈
  bo‘lsa,  u  holda 
)
(
\
=
2
1
M
A
A
A
ℑ
∈
  bo‘ladi,  ya’ni  o‘lchovli 
to‘plamlarning  ayirmasi  o‘lchovlidir.  Haqiqatan  ham, 
1
A   va 
2
A   o‘lchovli  to‘plamlar 
uchun shunday 
)
(
1
M
B
ℜ
∈
 va 
)
(
2
M
B
ℜ
∈
 to‘plamlar mavjudki,  
 
2
<
)
(
1
1
*
ε
µ
B
A
∆
   va   
2
<
)
(
2
2
*
ε
µ
B
A
∆
  
tengsizliklar o‘rinli bo‘ladi. 
)
(
\
=
2
1
M
B
B
B
ℜ
∈
 bo‘lganligi uchun  
 
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
1
1
2
1
2
1
B
A
B
A
B
\
B
A
\
A
∆
∆
⊂
∆
U
 
munosabatdan  foydalanib, 
ε
µ
<
)
(
*
B
A
∆
 tengsizlikni olamiz. Demak, 
)
(
\
2
1
M
A
A
ℑ
∈
 u 
holda (8.2) va (8.3) munosabatlardan 
)
(
2
1
M
A
A
ℑ
∈
I
 va 
)
(
2
1
M
A
A
ℑ
∈
U
 ekanligini 
olamiz. 
1
A  va 
2
A  to‘plamlarning simmetrik ayirmasining o‘lchovli ekanligi  
 
)
(
)
(
=
1
2
2
1
2
1
A
\
A
A
\
A
A
A
U
∆
 
tenglikdan kelib chiqadi. 
∆  
8.1-eslatma. 
m
Ј   ning  birlik  elementi  -  E   o‘lchovli  to‘plamlar  sistemasi 
)
(M
ℑ
 
uchun  ham  birlik eliment bo‘ladi, shuning  uchun o‘lchovli to‘plamlar sistemasi 
)
(M
ℑ
 
algebra tashkil qiladi. 
8.3-teorema.  O‘lchovli  to‘plamlar  sistemasi 
)
(M
ℑ
  da  aniqlangan 
µ   to‘plam 
funksiyasi addituvdir. 
Bu teoremaning isboti 
−
6.6
 teorema isbotini so‘zma-so‘z takrorlash bilan amalga 
oshiriladi. 

8.4-teorema.  O‘lchovli  to‘plamlar  sistemasi 
)
(M
ℑ
  da  aniqlangan 
µ   to‘plam 
funksiyasi 
−
σ  addituvdir. 
Isbot. Aytaylik,  
 
j
i
A
A
M
A
A
A
A
A
A
j
i
n
n
n
≠
∅
ℑ
∈
∞
,
=
),
(
,
,
,
,
,
=
2
1
=1
I
K
K
U
,
 
bo‘lsin. 8.1- teoremaga ko‘ra,  
)
(
)
(
*
1
=
*
n
n
A
A
µ
µ
∑
∞
≤
   yoki   
(8.4)
)
(
)
(
1
=
n
n
A
A
µ
µ
∑
∞
≤
 
tengsizlik o‘rinli. 8.3-teoremaga ko‘ra, har bir  n  da  
 
(8.5)
)
(
=
)
(
=1
=1
k
n
k
k
n
k
A
A
A
µ
µ
µ
∑






≥
U
 
tengsizlikni olamiz. (8.5) da 
∞
→
n
 da limitga o‘tib,  
 
(8.6)
)
(
)
(
=1
n
n
A
A
µ
µ
∑
∞
≥
 
ga ega bo‘lamiz. (8.4) va (8.6) lardan teorema tasdig‘i kelib chiqadi. 
∆  
8.5-teorema.  Lebeg  bo‘yicha  o‘lchovli  bo‘lgan  barcha  to‘plamlar  sestemasi 
),
(M
ℑ
  E  birlik elimentli 
−
σ  algebradir. 
Isbot.  6.7-teorema  isbotini  so‘zma-so‘z  takrorlash  yordamida  sanoqlita 
)
(
,
,
,
,
2
1
M
A
A
A
n
ℑ
∈
K
K
  to‘plamlar  uchun 
)
(
=
=1
M
A
A
n
n
ℑ
∈
∞
U
  ekanligini  isbotlash 
mumkin. Ikkinchi tomondan,  
 
)
(
=
1
=
1
n
n
n
n
A
E
E
A
\
\
U
I
∞
∞
=
 
tenglikka ko‘ra, 
)
(
1
M
A
n
n
ℑ
∈
∞
=
I
 ekanligiga ishonch hosil qilamiz. 
∆  
Tekislikdagi  to‘plamlarning  Lebeg  o‘lchovi  (