O`zbekiston Oliy va O`rta maxsus ta`lim vazirligi Namangan Davlat universiteti

§
6
−
  ga  qarang)  xossalariga 
o‘xshash,  o‘lchovning 
−
σ
  additivlik  xossasidan  unung  uzluksizlik  xossasi  kelib 
chiqadi.  Ya’ni, 
L
L
⊃
⊃
⊃
⊃
n
A
A
A
2
1
  o‘lchovli  to‘plamlar  ketma-ketligi  uchun 
n
n
A
A
I
∞
=1
=
 bo‘lsa, u holda  
 
)
(
=
)
(
n
n
A
A
µ
µ
lim
∞
→
 
bo‘ladi.  Xuddi  shuningdek,  agar  biror  o‘lchovli  to‘plamlarning 
L
L
⊂
⊂
⊂
⊂
n
A
A
A
2
1
 
ketma-ketligi uchun 
n
n
A
A
U
∞
1
=
=
 bo‘lsa, u holda  
 
)
(
lim
=
)
(
n
n
A
A
µ
µ
∞
→
 
tenglik o‘rinli. 
Shunday  qilib,  biz  ko‘rsatdikki,  agar  birlik  elimentli 
m
Ј   yarim  halqada 
−
σ  
addituv  m   o‘lchov  berilgan  bo‘lsa,  bu  o‘lchovni  Lebeg  bo‘yicha  davom  ettirish 
natijasida 
)
(M
ℑ
 
−
σ  algebrada aniqlangan 
−
σ  addituv  µ  o‘lchov hosil bo‘ladi. 

8.3-ta’rif.  O‘lchovli  to‘plamlar  sestemasi 
)
(M
ℑ
  da  aniqlangan  va 
)
(M
ℑ
  da 
tashqi  o‘lchov 
*
µ   bilan  ustma-ust  tushuvchi  µ   funksiya  m   o‘lchovning 
)
(
=
m
L
µ
 
Lebeg davomi deb ataladi. 
8.2.  Birlik  elementga  ega  bo‘lmagan  yarim  halqada  berilgan  o‘lchovni 
davom  ettirish.  Agar  m   o‘lchov  birlik  elimentga  ega  bo‘lmagan 
m
Ј   yarim  halqada 
aniqlangan  bo‘lsa,  u  holda  avvalgi  banddagi  o‘lchovni  Lebeg  bo‘yicha  davom  ettirish 
jarayonida  ba’zi  o‘zgarishlar  sodir  bo‘ladi.  Aniqrog‘i, 
*
µ   tashqi  o‘lchov  chekli 
)
(
n
n
B
m
∑
  yig‘indiga  ega  bo‘lgan 
,
Ј
m
n
n
B
∈
U
  qoplamasi  mavjud  bo‘lgan  A   to‘plamlar 
uchun aniqlanadi. To‘plam o‘lchovliligi ta’rifi o‘zgarishsiz qoladi. 8.2-8.4 teoremalar va 
8.3-ta’rif  o‘z  kuchini  saqlab  qoladi.  Yarim  halqada  birlik  elementning  mavjudligidan 
8.2-  teorema  isbotida  foydalanilgan.  Umumiy  holda  ham  8.2-teoremani  isbotlash 
mumkin.  Buning  uchun 
)
(
,
2
1
M
A
A
ℑ
∈
  dan 
)
(
2
1
M
A
A
ℑ
∈
U
  kelib  chiqishini  birlik 
elementga bog‘liqsiz ravishda ko‘rsatish kerak. Bu tasdiq  
 
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
1
1
2
1
2
1
B
A
B
A
B
B
A
A
∆
∆
⊂
∆
U
U
U
 
munosabatdan  kelib  chiqadi. 
m
Ј   yarim  halqada  bir  mavjud  bo‘lmagan  holda  8.5-
teorema quyidagi teoremaga almashtiriladi. 
8.6-teorema.  Istalgan  boshlang‘ich  m   o‘lchov  uchun  Lebeg  bo‘yicha  o‘lchovli 
to‘plamlar  sistemasi 
)
(M
ℑ
 
−
δ
  halqa  bo‘ladi.  Sanoqli  sondagi  o‘lchovli 
K
K
,
,
,
,
2
1
n
A
A
A
 to‘plamlar birlashmasi bo‘lgan 
n
n
A
A
U
∞
1
=
=
 to‘plamning o‘lchovli bo‘lishi 
uchun 






k
n
k
A
U
=1
µ
  miqdorning  n   ga  bog‘liqsiz  o‘zgarmas  bilan  chegaralangan  bo‘lishi 
zarur va yetarli. 
Isbot.  Yetarliligi.  O‘lchovli  to‘plamlarning 
K
K
,
,
,
,
2
1
n
A
A
A
  sanoqli  sestemasi 
berilgan bo‘lib,  
 
∞






≥
<
=
=1
1
K
A
k
n
k
n
U
µ
sup
 
bo‘lsin. Yangi  
K
K
U
U
,
=
,
),
(
=
,
=
,
=
1
1
=
2
1
3
3
1
2
2
1
1
k
n
k
n
n
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
−
′
′
′
′
\
\
\
 
o‘lchovli  to‘plamlar  ketma-ketligini  tuzamiz.  Tuzilishiga  ko‘ra, 
K
K
,
,
,
,
2
1
n
A
A
A
′
′
′
 
to‘plamlar o‘zaro kesishmaydi. Bundan tashqari, istalgan  n  da  
 
k
n
k
k
n
k
A
A
U
U
=1
=1
=
′
 
tenglik o‘rinli. Bundan tashqari  
 
K
A
A
A
A
k
k
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
≤
′
≤
′






′






∑
∑
∞
)
(
)
(
=
=
=1
=1
=1
=1
µ
µ
µ
µ
sup
sup
sup
U
U
 
shart bajariladi. Demak, istalgan 
0
>
ε
 son uchun shunday 
N
n
∈
 mavjudki,  

 
2
<
)
(
1
=
1
=
ε
µ
µ
k
n
k
k
n
k
A
A
′
≤






′
∑
∞
+
∞
+
U
 
tengsizlik  o‘rinli  bo‘ladi. 
k
n
k
A
C
′
U
1
=
=
  to‘plam  o‘lchovli  bo‘lgani  uchun,  shunday 
m
B
Ј
∈
 
to‘plam mavjud bo‘lib,  
 
2
<
)
(
*
ε
µ
B
C
∆
 
tengsizlik bajariladi.  
 






′
∆
⊂
∆
∞
+
k
n
k
A
B
C
B
A
U
U
1
=
)
(
 
munosabatdan foydalansak,  
 
ε
µ
<
)
(
*
B
A
∆
 
tengsizlikni olamiz. Demak,  A  o‘lchovli to‘plam ekan. 
Zaruriyligi.  Aytaylik  sanoqlita 
K
K
,
,
,
,
2
1
n
A
A
A
  o‘lchovli  to‘plamlar  uchun 
n
n
A
A
U
∞
1
=
=
  to‘plam  o‘lchovli  bo‘lsin  va 
)
( A
µ
  chekli  bo‘lsin.  U  holda  istalgan 
N
n
∈
 
uchun 
A
A
k
n
k
⊂
U
1
=
 munosabatdan va 
k
n
k
A
U
1
=
 o‘lchovli to‘plam bo‘lgani uchun  
 
∆
∞
≤






⇒
≤






.
<
)
(
)
(
=1
=1
A
A
A
A
k
n
k
n
k
n
k
µ
µ
µ
µ
U
U
sup
 
 
8.1-natija.  O‘lchovli  to‘plamlar  sinfi 
)
(M
ℑ
  va 
)
(M
A
ℑ
∈
  to‘plam  berilgan 
bo‘lsin.  A   to‘plamning  barcha 
)
(M
B
ℑ
∈
  qism  to‘plamlaridan  tuzilgan 
))
(
(
A
M
ℑ
 
sistema 
−
σ  algebra bo‘ladi.  
 
Masalan, agar 
)
(M
ℑ
 sonlar o‘qidagi  Lebeg  ma’nosida o‘lchovli to‘plamlar sinfi 
va 
]
,
[
=
b
a
A
  -  ixtitoriy  kesma  bo‘lsa,  u  holda 
]
,
[ b
a
  kesmada  saqlanuvchi  o‘lchovli 
to‘plamlar sistemasi 
−
σ  algebra tashkil qiladi. 
Lebeg o‘lchovlarining yana bir xossasini keltiramiz. 
8.4-ta’rif. Agar 
0
=
)
( A
µ
 va 
A
A
⊂
′
 bo‘lishidan 
A
′
 ning o‘lchovli ekanligi kelib 
chiqsa, 
µ  o‘lchov to‘la deb ataladi. 
Ta’rifda keltirilgan 
A
′
 to‘plam uchun 
0
=
)
( A
′
µ
 bo‘ladi. Qiyinchiliksiz isbotlash 
mumkinki,  ixtitoriy  o‘lchovning  Lebeg  davomi  to‘la  bo‘ladi.  Haqiqatan  ham, 
,
A
A
⊂
′
 
0
=
)
(
=
)
(
*
A
A
µ
µ
 bo‘lsa, 
0
=
)
( A
′
µ
 bo‘ladi va 
m
Ј
Ш
∈
 ni olsak,  
 
0
=
)
(
=
)
(
*
*
A
A
′
∅
∆
′
µ
µ
 
bo‘ladi, ya’ni 
A
′
 o‘lchovli bo‘lishi kelib chiqadi. 
Umuman  olganda 
−
σ   algebrada  aniqlangan  har  qanday 
−
σ   additiv  o‘lchovni 
to‘la  o‘lchovgacha  davom  ettirish  mumkin.  Buning  uchun  nol  o‘lchovi  to‘plamning 
ixtiyoriy qismiga nolni mos qo‘yish kifoya qiladi. 
  
Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar  
1. 
[0;1]   kesmadagi  barcha  irratsional  sonlar  to‘plamini  X   bilan  belgilaymiz. 
m
Σ
 

orqali  X   ning 
)
;
[ b
a
  yarim  intervallar  bilan  kesishmalaridan  iborat  to‘plamlar 
sistemasini belgilaymiz. Bu sistemaning yarim halqa ekanligini ko‘rsating. 
2. 
1-topshiriqda aniqlangan 
m
Σ
 yarim halqaning har bir 
)
;
[
=
b
a
X
A
ab
∩
 to‘plamiga 
a
b
A
m
ab
−
=
)
(
 sonni mos qo‘yamiz. Bu to‘plam funksiyasi o‘lchov bo‘lishini 
ko‘rsating.  
3. 
2-topshiriqda aniqlangan 
R
m
m
→
Σ
:
 o‘lchovning Lebeg bo‘yicha davomini 
toping. Uni sonlar o‘qidagi Lebeg o‘lchovi bilan ustma-ust tushishini isbotlang.  
 

 
97 
6-mavzu: O’lchovli funksiyalar. Lebeg integrali 
 
 9.O‘lchovli funksiyalar va ular ustida amallar 
  
Bu  paragrafda  uzluksiz  funksiyaga    «qaysidir»    ma’noda  yaqin  bo‘lgan 
(Luzin  teoremasiga  qarang)  o‘lchovli  funksiya  tushunchasini  kiritamiz.  O‘lchovli 
funksiyalar Lebeg integrali tushunchasini kiritishda asosiy manba hisoblanadi. 
Bizga 
)
(
2
R
E
R
E
⊂
⊂
  Lebeg  ma’nosida  o‘lchovli  to‘plam  va  unda 
aniqlangan haqiqiy qiymatli  f  funksiya berilgan bo‘lsin. 
9.1-ta’rif. Agar ixtiyoriy 
R
c
∈
 uchun 
)
<
(
:=
}
<
)
(
:
{
c
f
E
c
x
f
E
x
∈
 to‘plam 
o‘lchovli bo‘lsa,  f  funksiya  E  to‘plamda o‘lchovli deyiladi.  
9.1-misol. 
const
a
x
f
R
E
f
=
)
(
,
:
≡
→
  funksiyaning  o‘lchovli  ekanligini 
ko‘rsating. 
Yechish. Ixtiyoriy 
R
c
∈
 uchun  
 
{
}



≤
∅
∈
a
c
a
c
E
c
x
f
E
x
c
f
E
agar
agar
,
,
>
,
=
<
)
(
:
=
)
<
(
 
tenglik  o‘rinli.  E   va 
Ш
  to‘plamlar  o‘lchovli.  Demak,  ixtiyoriy 
R
c
∈
  uchun 
)
<
(
c
f
E
  to‘plam  o‘lchovli  ekan.  Ta’rifga  ko‘ra, 
a
x
f
=
)
(
  funksiya  E   da 
o‘lchovli funksiya bo‘ladi. 
9.1-teorema.  Agar  f   va 
g
  funksiyalar  E   to‘plamda  o‘lchovli  bo‘lsa,  u 
holda  ularning  yig‘indisi 
,
g
f
+
  ayirmasi 
g
f
−
  va  ko‘paytmasi 
g
f
⋅
  o‘lchovli 
bo‘ladi. Agar 
0
)
(
≠
x
g
 bo‘lsa, u holda  g
f/  funksiya ham E da o‘lchovli bo‘ladi. 
Teoremani isbotlashda quyidagi lemmalardan foydalanamiz. 
9.1-lemma.  Agar  f   funksiya  E   to‘plamda  o‘lchovli  bo‘lsa,  u  holda 
ixtiyoriy 
R
b
a
∈
,
 lar uchun quyidagi to‘plamlarning har biri o‘lchovli bo‘ladi:  
).
>
(
5)
);
(
4)
);
=
(
3)
);
<
(
2)
);
(
1)
a
f
E
a
f
E
a
f
E
b
f
a
E
a
f
E
≤
≤
≥
 
Isbot.    Faraz  qilaylik,  f   o‘lchovli  funksiya  bo‘lsin,  u  holda  ta’rifga  ko‘ra, 
ixtiyoriy 
R
a
∈
 uchun 
)
<
(
a
f
E
 to‘plam o‘lchovli bo‘ladi. 
1) 
)
<
(
\
=
)
(
a
f
E
E
a
f
E
≥
  tenglikdan,  hamda  o‘lchovli  to‘plamning 
to‘ldiruvchisi o‘lchovli ekanligidan 
)
(
a
f
E
≥
 to‘plamning o‘lchovli ekanligi kelib 
chiqadi. 
2) 
)
<
(
)
(
=
)
<
(
b
f
E
a
f
E
b
f
a
E
I
≥
≤
  tenglikdan,  hamda  o‘lchovli 
to‘plamlar  kesishmasi  o‘lchovli  ekanligidan 
)
<
(
b
f
a
E
≤
  to‘plamning  o‘lchovli 
ekanligi kelib chiqadi. 
3) 
)
=
(
a
f
E
 to‘plamning o‘lchovli ekanligini ko‘rsatamiz:  
 
.
1
<
=
)
=
(
1
=






+
≤
∞
n
a
f
a
E
a
f
E
n
I
 
Bu  yerda 
(
)
n
a
f
a
E
1/
<
+
≤
  to‘plam  2)  ko‘rinishdagi  to‘plam  bo‘lgani  uchun  u  - 
o‘lchovli.  O‘lchovli  to‘plamlarning  sanoqli  sondagi  kesishmasi  (6.7-teoremaga 
qarang) o‘lchovli bo‘lgani uchun 
)
=
(
a
f
E
 to‘plam o‘lchovli bo‘ladi. 

 
98 
4) 
)
(
a
f
E
≤
  to‘plamning  o‘lchovli  ekanligi  ta’rifdan,  3)  dan  hamda 
)
=
(
)
<
(
=
)
(
a
f
E
a
f
E
a
f
E
U
≤
 tenglikdan kelib chiqadi. 
5) 
)
(
\
=
)
>
(
a
f
E
E
a
f
E
≤
  tenglikdan  hamda  to‘ldiruvchi  to‘plamning 
o‘lchovliligi (6.4-teorema) dan kelib chiqadi.  
∆
  
9.2-lemma.  Agar  ixtiyoriy 
R
b
a
∈
,
  lar  uchun  9.1-lemmadagi  1),  2),  4),  5) 
ko‘rinishdagi  to‘plamlarning  birortasi  o‘lchovli  bo‘lsa,  u  holda  f   funksiya  E  
to‘plamda o‘lchovli bo‘ladi. 
Isbot.  Biz  faqat  1)  korinishdagi  to‘plamning  o‘lchovli  ekanligidan  f   ning 
o‘lchovli  ekanligini  keltirib  chiqaramiz.  Qolgan  tasdiqlarning  isbotini  o‘quvchiga 
mustaqil  isbotlashni  tavsiya  qilamiz.  Faraz  qilaylik, 
)
(
a
f
E
≥
  to‘plam  ixtiyoriy 
R
a
∈
 uchun o‘lchovli bo‘lsin. U holda uning to‘ldiruvchi to‘plami 
)
<
(
a
f
E
 ham 
o‘lchovli bo‘ladi. Ta’rifga asosan  f  o‘lchovli funksiya bo‘ladi. 
∆
 
9.3-lemma. Agar  f  va 
g
 lar  E  da o‘lchovli funksiyalar bo‘lsa, u holda  
 
)}
(
>
)
(
:
{
x
g
x
f
E
x
∈
 
to‘plam o‘lchovli bo‘ladi. 
Isbot.  Ratsional  sonlar  to‘plami  Q   sanoqli  bo‘lgani  uchun  uning 
elementlarini  nomerlab  chiqamiz,  ya’ni 
}
,
,
,
,
{
=
2
1
K
K
k
r
r
r
Q
  va  quyidagi  tenglikni 
isbotlaymiz:  
{
}
{
} {
}
(
)
(9.1)
.
<
)
(
:
>
)
(
:
=
)
(
>
)
(
:
1
=
k
k
k
r
x
g
x
r
x
f
x
x
g
x
f
E
x
I
U
∞
∈
Faraz qilaylik, 
)}
(
>
)
(
:
{
0
x
g
x
f
E
x
x
∈
∈
 bo‘lsin, u holda ratsional sonlar-ning 
zichlik xossasiga ko‘ra shunday 
Q
r
k
∈
 mavjudki, 
)
(
>
>
)
(
0
0
x
g
r
x
f
k
 munosabat 
o‘rinli bo‘ladi. Demak,  
 
{
} {
}
.
<
)
(
:
>
)
(
:
0
k
k
r
x
g
x
r
x
f
x
x
I
∈
 
Bundan  
 
{
} {
}
(
)
k
k
k
r
x
g
x
r
x
f
x
x
<
)
(
:
>
)
(
:
=1
0
I
U
∞
∈
 
ekanligi kelib chiqadi. Endi  
 
{
} {
}
(
)
k
k
k
r
x
g
x
r
x
f
x
x
<
)
(
:
>
)
(
:
=1
0
I
U
∞
∈
 
ixtiyoriy  nuqta  bo‘lsin,  u  holda 
0
x   birlashmadagi  to‘plamlarning  hech 
bo‘lmaganda  bittasiga  tegishli  bo‘ladi,  ya’ni shunday 
Q
r
k
∈
  mavjudki, bir  vaqtda 
k
r
x
f
>
)
(
0
  va 
k
r
x
g
<
)
(
0
  bo‘ladi.  Bundan 
)
(
>
)
(
0
0
x
g
x
f
  ekanligi  va  demak 
)}
(
>
)
(
:
{
0
x
g
x
f
E
x
x
∈
∈
 ekanligi kelib chiqadi. 
Biz (9.1) tenglikni isbotladik. 9.3-lemmaning isboti (9.1) tenglikdan, hamda 
o‘lchovli  to‘plamlarning  sanoqli  birlashmasi  (6.7-teorema)  yana  o‘lchovli 
ekanligidan kelib chiqadi. 
∆