O`zbekiston Oliy va O`rta maxsus ta`lim vazirligi Namangan Davlat universiteti

§
15
−
 da ko‘rsatdikki,  
 
[ ]
( )
( )
dt
t
f
d
t
f
x
a
x
a
∫
∫
=
;
µ
 
Lebeg  integrali  x   ning  funksiyasi  sifatida  deyarli  hamma  yerda  chekli  hosilaga 
ega.  Lekin bu  hosilani  integral ostidagi  funksiya bilan bog‘lanishini tekshirmadik. 
Quyidagi tasdiq o‘rinli. 
17.1-teorema. 
]
;
[ b
a
  kesmada  integrallanuvchi  har  qanday  f   funksiya 
uchun deyarli barcha 
[ ]
b
a
x
,
∈
 larda  
 
[ ]
( )
( )
x
f
d
t
f
dx
d
x
a
=
;
µ
∫
 
tenglik o‘rinli. 
Bu teoremani isbotlashda biz quyidagi ta’rifdan ham foydalanamiz. 
17.1-ta’rif.  Agar 
]
;
[
0
b
a
x
∈
  nuqta  uchun  shunday 
)
<
(
0
b
x
≤
ξ
ξ
  nuqta 
topilib, 
)
(
<
)
(
0
ξ
g
x
g
  bo‘lsa,  u  holda 
0
x   nuqta 
g
  funksiyaning  o‘ngdan 
ko‘rinmaydigan nuqtasi deyiladi.  
17.1-teorema isboti. Har bir 
[ ]
b
a
x
,
∈
 ga  
 
( )
[ ]
( )
µ
d
t
f
x
x
a
∫
Φ
;
=
 

 
138 
sonni  mos  qo‘yuvchi 
Φ
  funksiyani  qaraymiz.  15.2-teoremaga  ko‘ra,  bu  funksiya 
deyarli hamma yerda chekli hosilaga ega. Dastlab, deyarli hamma yerda  
 
( )
( )
(17.1)
x
x
f
'
Φ
≥
 
tengsizlik  bajarilishini  ko‘rsatamiz. 
E   orqali 
( )
( )
x
x
f
'
Φ
<
  tengsizlikni 
qanoatlantiruvchi  nuqtalar  to‘plamini  belgilaymiz.  Agar  biror  x   nuqtada 
( )
( )
x
x
f
'
Φ
<
  tengsizlik  bajarilsa,  u  holda  shunday 
Q
∈
β
α,
  ratsional  sonlar 
mavjud bo‘lib,  
 
( )
( )
(17.2)
<
<
<
x
x
f
'
Φ
β
α
 
tengsizlik bajariladi. Ixtiyoriy 
β
α
β
α
<
,
,
Q
∈
 sonlar juftiga  
 
[ ]
( )
( )
{
}
x
x
f
b
a
x
'
Φ
∈
<
<
<
:
,
=
β
α
αβ
E
 
to‘plamni mos qo‘yamiz. U holda  
 
( )
( )
{
}
{ }
αβ
β
α
E
U
,
=
<
:
=
x
x
f
x
E
'
Φ
 
tenglikni yozish mumkin. (17.1) tengsizlikni isbotlash uchun har bir 
)
,
(
β
α
 juftlik 
uchun 
( )
0
=
αβ
µ E
 ni ko‘rsatish yetarli. U holda 
αβ
E
 to‘plamlar ko‘pi bilan sanoqli 
ekanligidan 
0
=
)
(E
µ
  kelib  chiqadi.  Lebeg  integralining  absolyut  uzluksizlik 
xossasiga  (12.4-teorema)  ko‘ra  ixtiyoriy 
0
>
ε
  uchun  shunday 
0
>
δ
  mavjudki, 
]
;
[
,
<
)
(
b
a
C
C
⊂
δ
µ
 to‘plam uchun  
 
ε
µ |<
)
(
|
d
t
f
C
∫
 
tengsizlik bajariladi. O‘lchovli to‘plamning ta’rifiga ko‘ra,  
 
δ
µ
µ
αβ
αβ
+
⊂
⊂
)
(
<
)
(
]
;
[
E
G
b
a
G
E
va
 
shartni  qanoatlantiruvchi 
G
  ochiq  to‘plam  mavjud.  Endi 
0
=
)
(
αβ
µ E
  tenglikni 
isbotlash  uchun 
]
;
[ b
a
  da 
x
x
x
g
β
−
Φ
)
(
=
)
(
  funksiyani  aniqlaymiz. 
)
(x
Φ
  ning 
aniqlanishiga ko‘ra, 
R
b
a
g
→
]
;
[
:
 uzluksiz funksiya bo‘ladi. 
Bu 
x
x
x
g
β
−
Φ
)
(
=
)
(
  funksiyaning  barcha  o‘ngdan  ko‘rinmaydigan 
nuqtalari to‘plamini  E  orqali belgilaymiz. U holda ixtiyoriy 
E
x
∈
0
 uchun shunday 
)
<
(
0
b
x
≤
ξ
ξ
 
nuqta 
mavjud 
bo‘lib, 
)
(
<
)
(
0
ξ
g
x
g
 
bo‘ladi. 
Agar 
)
(
)
(
<
<
0
0
x
g
g
−
ξ
ε
 desak, 
g
 ning uzluksizligiga ko‘ra, shunday 
0
>
δ
 mavjudki, 
barcha 
)
,
(
0
0
δ
δ
+
−
∈
x
x
x
 
lar 
uchun 
ε
|<
)
(
)
(
|
0
x
g
x
g
−
 
yoki 
)
(
<
)
(
<
)
(
0
ξ
ε g
x
g
x
g
+
  bo‘ladi.  Shunday  ekan 
,
)
,
(
0
0
E
x
x
⊂
+
−
δ
δ
  ya’ni 
E
x
0
 
ning ichki nuqtasi bo‘ladi. Demak  E  faqat ichki nuqtalardan iborat, ya’ni  E  ochiq 
to‘plam  ekan.  Sonlar  o‘qidagi  ochiq  to‘plamlar  strukturasi  haqidagi  teoremaga 
ko‘ra,  chekli  yoki  sanoqli  sondagi 
)}
,
{(
k
k
b
a
  o‘zaro  kesishmaydigan  intervallar 
mavjud bo‘lib,  
 
)
,
(
=
k
k
k
b
a
E
U
 
yoyilma o‘rinli. Ko‘rsatish mumkinki, ixtiyoriy 
k
 da  
 
(17.3)
)
(
)
(
k
k
b
g
a
g
≤
 
tengsizlik o‘rinli. Haqiqatan ham, agar teskarisini faraz qilsak, ya’ni  

 
139 
 
(17.4)
)
(
>
)
(
k
k
b
g
a
g
 
desak,  u  holda 
)
,
(
k
k
b
a
  intervalda 
0
x   ichki  nuqta  mavjud  bo‘lib, 
)
(
>
)
(
0
k
b
g
x
g
 
bo‘ladi. 
*
x   orqali 
)
,
(
k
k
b
a
  intervaldagi 
)
(
=
)
(
0
x
g
x
g
  tenglikni  qanoatlantiruvchi 
eng  o‘ng  nuqtani  belgilaymiz. 
E
b
a
x
k
k
⊂
∈
)
,
(
*
  bo‘lgani  uchun  shunday 
*
> x
ξ
 
mavjudki, 
)
(
<
)
(
*
ξ
g
x
g
 bo‘ladi. 
g
 ning uzluksizligi va 
*
x  ning tanlanishiga ko‘ra, 
).
,
(
k
k
b
a
∈/
ξ
  Ikkinchi  tomondan, 
k
b
>
ξ
  bo‘lishi  mumkin  emas,  chunki 
)
(
>
)
(
>
)
(
*
k
b
g
x
g
g
ξ
  dan 
E
b
k
∈
  bo‘lar  edi.  Bu  ziddiyat  ko‘rsatadiki,  (17.4) 
tengsizlik bajarilmaydi, ya’ni (17.3) tengsizlik o‘rinli. 
Endi olingan natijadan 
0
=
)
(
αβ
µ E
 tenglikni isbotlashda foydalanamiz. 
Agar 
αβ
E
x
∈
 bo‘lsa, u holda  x  ga yetarlicha yaqin bo‘lgan ixtiyoriy 
x
>
ξ
 
lar uchun  
 
(17.5)
>
)
(
)
(
β
ξ
ξ
x
x
−
Φ
−
Φ
 
tengsizlik yoki  
 
x
x
β
ξ
β
ξ
−
Φ
−
Φ
)
(
>
)
(
 
tengsizlik  bajariladi.  Bundan  x   ning 
x
x
β
−
Φ
)
(
  funksiya  uchun  o‘ngdan 
ko‘rinmaydigan  nuqta  ekanligi  kelib  chiqadi.  O‘ngdan  ko‘rinmaydigan  nuqtalar 
to‘plami  ochiq  to‘plam  bo‘lgani  uchun  x   ning  biror 
G
x
x
⊂
+
−
)
,
(
δ
δ
  atrofidagi 
barcha  nuqtalar  o‘ngdan  ko‘rinmaydigan  nuqtalar  bo‘ladi.  Shuning  uchun 
x
x
x
g
β
−
Φ
)
(
=
)
(
  funksiyaning 
G
  dagi  o‘ngdan  ko‘rinmaydigan  nuqtalari 
to‘plami  qandaydir 
S
  ochiq  to‘plamdan  iborat  bo‘ladi,  ya’ni 
.
G
S
E
⊂
⊂
αβ
 
Bundan tashqari,  
 
)
,
(
=
k
k
k
b
a
S
U
 
va har bir 
k
 da  
 
k
k
k
k
a
a
b
b
⋅
−
Φ
≥
⋅
−
Φ
β
β
)
(
)
(
 
tengsizlik o‘rinli. U holda  
 
)
(
)
(
)
(
k
k
k
k
a
b
a
b
−
≥
Φ
−
Φ
β
 
yoki  
 
).
(
)
(
k
k
b
a
a
b
dt
t
f
k
k
−
≥
∫
β
 
Shunga  o‘xshash  tengsizliklarni 
S
  ni  tashkil  qiluvchi  barcha 
)
,
(
k
k
b
a
  intervallar 
bo‘yicha yig‘ib,  
 
(17.6)
).
(
)
(
S
dt
t
f
S
βµ
≥
∫
 
tengsizlikni olamiz. Bu tengsizlik bilan bir vaqtda  
<
)
(
)
(
=
)
(
\
dt
t
f
dt
t
f
dt
t
f
E
S
E
S
∫
∫
∫
+
αβ
αβ
δ
α
ε
µ
α
ε
αµ
αβ
⋅
+
+
⋅
≤
+
|
|
)
(
)
(
S
E
    (17.7)  
tengsizlik o‘rinli. Chunki 
δ
µ
δ
µ
µ
µ
αβ
αβ
<
)
\
(
,
)
(
<
)
(
)
(
E
S
E
G
S
+
≤
 va  

 
140 
 
.
<
)
(
\
ε
αβ
dt
t
f
E
S
∫
 
(17.6) va (17.7) tengsizliklarni taqqoslab,  
)
(
|
|
)
(
S
S
µ
β
δ
α
ε
µ
α
≥
+
+
 
tengsizlikka ega bo‘lamiz. Bundan  
 
α
β
δ
α
ε
µ
−
+
≤
|
|
)
(S
 
tengsizlik kelib chiqadi. 
Shunday qilib, 
αβ
E
 to‘plamni o‘lchovi istalgan sondan kichik bo‘lgan ochiq 
to‘plam  bilan  qoplash  mumkin.  Bundan 
0
=
)
(
αβ
µ E
  ekanligi  kelib  chiqadi. 
Demak,  
 
( )
( )
{
}
0.
=
<
:
x
x
f
x
'
Φ
µ
 
Shuning uchun deyarli hamma yerda 
( )
( )
x
x
f
'
Φ
≥
 tengsizlik o‘rinli. Endi 
( )
x
f
 ni 
( )
x
f
−
 bilan almashtirsak, deyarli hamma yerda  
 
( )
( )
( )
( )
(17.8)
.
x
x
f
x
x
f
'
'
Φ
≤
⇒
Φ
−
≥
−
 
(17.1) va (17.8) dan 
( )
( )
x
x
f
'
Φ
=
 deyarli barcha  x  lar uchun o‘rinli ekanligi kelib 
chiqadi. Shunday qilib,  
 
( )
( )
[ ]
( )
µ
d
t
f
dx
d
x
x
f
x
a
'
∫
Φ
;
=
=
 
tenglik deyarli barcha  x  lar uchun o‘rinli. 
∆
 
Bobning  boshida  qo‘yilgan  ikkita  savoldan  birinchisiga  biz  javob  berdik. 
Endi  ikkinchi  savolga  o‘tamiz,  ya’ni  uzluksiz  differensiallanuvchi  funksiyalar 
uchun o‘rinli bo‘lgan Nyuton-Leybnits formulasini  
 
( )
( )
( )
(17.9)
=
dt
t
F
a
F
x
F
'
x
a
∫
+
 
Lebeg  integrali  uchun  qanday  umumlashtirish  mumkin?  Ya’ni  (17.9)  tenglik 
qanday  funksiyalar  sinfi  uchun  o‘rinli?  Biz  deyarli  barcha  nuqtalarda  chekli 
hosilasi  mavjud  bo‘lgan  funksiyalar  sinfi  bilan  chegaralanamiz.  Bizga  ma’lumki, 
o‘zgarishi  chegaralangan  funksiya  deyarli  hamma  yerda  chekli  hosilaga  ega. 
Ikkkinchi  tomondan,  (17.9)  tenglikning  o‘ng  tomoni  o‘zgarishi  chegaralangan 
funksiya.  Shuning  uchun  (17.9)  tenglik  o‘zgarishi  chegaralangan  funksiyalar 
sinfidan  kattaroq  to‘plamda  o‘rinli  bo‘lishi  mumkin  emas.  Har  qanday  o‘zgarishi 
chegaralangan  funksiya  ikkita  monoton  kamayuvchi  funksiyalar  ayirmasi 
ko‘rinishida tasvirlanadi. Shuning uchun monoton funksiyalar uchun (17.9) tenglik 
o‘rinlimi degan savolni qo‘yamiz. 
Umuman  olganda  ixtiyoriy  monoton  funksiya  uchun  (17.9)  tenglik  o‘rinli 
emas. Lekin quyidagi tasdiq o‘rinli. 
17.2-teorema. 
Monoton  kamaymaydigan 
f   funksiyaning 
hosilasi 
integrallanuvchi va  
 
( )
( ) ( )
(17.10)
.
a
f
b
f
dt
t
f
'
b
a
−
≤
∫
 

 
141 
Isbot. Hosila ta’rifiga ko‘ra,  f  ning  x  nuqtadagi hosilasi  
 
(
) ( )
( )
(17.11)
=
x
h
x
f
h
x
f
h
ϕ
−
+
 
nisbatning 
0
→
h
 
dagi 
limitidir. 
f  
ning 
monotonligidan 
uning 
integrallanuvchanligi  kelib  chiqadi.  Demak,  har  bir 
n
ϕ   integrallanuvchidir. 
Shuning uchun (17.11) tenglikni integrallash mumkin.  
( )
(
)
( )
( )
( )
=
1
1
=
1
1
=
dx
x
f
h
dx
x
f
h
dx
x
f
h
dx
h
x
f
h
dx
x
b
a
h
b
h
a
b
a
h
b
a
∫
∫
∫
∫
∫
−
−
+
+
+
ϕ
 
 
( )
( )
.
1
1
=
dx
x
f
h
dx
x
f
h
h
a
a
h
b
b
∫
∫
+
+
−
 
Bu  tenglikdan 
0
→
h
  da  limitga  o‘tamiz.  Integral  belgisi  ostida  limitga  o‘tish 
haqidagi Fatu teoremasiga ko‘ra,  
 
( )
).
(
)
(
0)
(
)
(
=
)
(
0
a
f
b
f
a
f
b
f
dx
x
dx
x
f
h
b
a
h
'
b
a
−
≤
+
−
≤
∫
∫
→
ϕ
lim
 
Qat’iy tengsizlik o‘rinli bo‘ladigan monoton funksiyaga misol keltirish mumkin:  
 
( )
[
]



∈
∈
1]
(0,5;
1,
0,5
0;
0,
=
x
x
x
f
agar
agar
 
Bu yerdan  
 
( )
( )
1.
=
0
1
<
0
=
0
1
0
f
f
dx
−
⋅
∫
 
Biror monoton uzluksiz funksiya uchun  
 
( )
( ) ( )
(17.12)
<
a
f
x
f
dx
x
f
'
x
a
−
∫
 
tengsizlikning  barcha 
( )
b
a
x
;
∈
  lar  uchun  bajarilishini  ko‘rsatish  qiziq  masaladir. 
Kantorning zinapoya funksiyasi  K  (6.4-misolga qarang) uchun  
 
( )
( ) ( )
)
(
=
0
<
0
x
K
K
x
K
dx
x
K
'
x
−
∫
 
tengsizlik barcha 
(0,1)
∈
x
 larda o‘rinli bo‘ladi. Mustaqil isbotlang.  
17.2. Absolyut uzluksiz funksiyalar. Shuni ta’kidlash lozimki,  f  monoton 
funksiya bo‘lgan holda  
 
( )
( ) ( )
a
f
b
f
dt
t
f
'
b
a
−
∫
=
 
tenglikdan 
]
;
( b
a
 yarim intervaldagi ixtiyoriy  x  uchun  
 
( )
( ) ( )
(17.13)
=
a
f
x
f
dt
t
f
'
x
a
−
∫
 
tenglik bajarilishi kelib chiqadi. Endi (17.13) tenglik o‘rinli bo‘ladigan funksiyalar 
sinfini tavsiflash uchun quyidagi ta’rifni keltiramiz. 
17.2-ta’rif.  Bizga 
]
;
[ b
a
  kesmada  aniqlangan  f   funksiya  berilgan  bo‘lsin. 
Agar  ixtiyoriy 
0
>
ε
  son  uchun  shunday 
0
>
δ
  mavjud  bo‘lib,  soni  chekli  va  har 

 
142 
ikkisi o‘zaro kesishmaydigan har qanday 
n
k
k
k
b
a
1
=
)}
;
{(
 intervallar sistemasi uchun  
 
δ
<
)
(
],
;
[
)
;
(
1
=
1
=
k
k
n
k
k
k
n
k
a
b
b
a
b
a
−
⊂
∑
U
 
shartlar bajarilganda  
 
(17.14)
|<
)
(
)
(
|
1
=
ε
k
k
n
k
a
f
b
f
−
∑
 
tengsizlik  o‘rinli  bo‘lsa,  u  holda  f   funksiya 
]
;
[ b
a
  kesmada  absolyut  uzluksiz 
funksiya deyiladi. 
Endi absolyut uzluksiz funksiyalarning ayrim xossalarini keltiramiz. 
1.  Absolyut  uzluksiz  funksiya  ta’rifidagi  "soni  chekli"    jumlani  "soni  chekli 
yoki sanoqli"  jumla bilan almashtirish mumkin. 
Isbot. Haqiqatan ham, ixtiyoriy 
0
>
ε
 uchun shunday 
0
>
δ
 mavjud bo‘lib, 
]
;
[ b
a
  dan  olingan  har  qanday  o‘zaro  kesishmaydigan  va  uzunliklari  yig‘indisi 
δ
 
dan kichik bo‘lgan ixtiyoriy 
(
)
n
k
k
k
b
a
1
=
}
,
{
 chekli intervallar sistemasi uchun  
 
( ) ( )
(17.15)
|<
|
1
=
ε
k
k
n
k
a
f
b
f
−
∑
 
tengsizlik  bajariladi.  Endi 
]
;
[ b
a
  dan  olingan  sanoqli  sondagi  o‘zaro 
kesishmaydigan  va  uzunliklarining  yig‘indisi 
δ
  dan  kichik  bo‘lgan 
(
)
n
k
k
k
b
a
1
=
}
,
{
 
intervallar  sistemasi  berilgan  bo‘lsin.  U  holda  ixtiyoriy 
N
n
∈
  uchun  (17.15) 
tengsizlik o‘rinli. (17.15) tengsizlikda 
∞
→
n
 da limitga o‘tib,  
 
( ) ( )
ε
≤
−
∑
∞
|
|
1
=
k
k
k
a
f
b
f
 
tengsizlikni olamiz. 
2. Har qanday absolyut uzluksiz funksiya o‘zgarishi chegaralangandir. 
Isbot. Funksiya absolyut uzluksiz bo‘lgani uchun quyidagilar o‘rinli:  
 
( )
δ
ε
δ
δ
ε
<
)
(
,
)}
,
{(
0,
>
=
0,
>
1
=
1
=
k
k
n
k
n
k
k
k
a
b
b
a
−
∀
∃
∀
∑
 
da  
 
.
|<
)
(
)
(
|
1
=
ε
k
k
n
k
a
f
b
f
−
∑
 
[ ]
b
a;
 kesmani uzunligi 
δ
 dan oshmaydigan 
]
,
[
1
+
k
k
x
x
 bo‘lakchalarga bo‘lamiz  
 
],
,
[
=
]
;
[
1
1
=
+
k
k
n
k
x
x
b
a
U
 
u holda ixtiyoriy 
[
]
)
<
(
,
,
1
1
δ
k
k
k
k
x
x
x
x
−
+
+
 uchun  
 
[ ]
ε
≤
+
f
V
k
k
x
x
1
 
tengsizlik o‘rinli. Shuning uchun  
 
[ ]
[ ]
.
<
=
1
1
=
ε
⋅
−
∑
n
f
f
k
k
x
x
n
k
b
a
V
V
 
3.  Absolyut  uzluksiz  funksiyalar  yig‘indisi,  ayirmasi  yana  absolyut  uzluksiz 

 
143 
funksiyadir.  Absolyut  uzluksiz  funksiyaning  songa  ko‘paytmasi  yana  absolyut 
uzluksiz funksiyadir. 
3-xossaning isboti bevosita ta’rifdan kelib chiqadi. 
4. Har qanday absolyut uzluksiz funksiyani ikkita monoton kamaymaydigan 
absolyut uzluksiz funksiyalar ayirmasi shaklida tasvirlash mumkin. 
Isbot. 
f   absolyut  uzluksiz  funksiya  bo‘lgani  uchun  u  o‘zgarishi 
chegaralangan funksiyadir. Shuning uchun quyidagi tasvirlar o‘rinli  
 
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( )
.
=
,
=
,
=
x
f
x
v
x
g
f
x
v
x
g
x
v
x
f
V
x
a
−
−
 
f   ning  absolyut  uzluksizligidan  v   ning  absolyut  uzluksizligi  kelib  chiqadi.  3-
xossaga ko‘ra 
g
 ham absolyut uzluksiz funksiya bo‘ladi.
∆
 
Quyidagi  ikkita  teorema  absolyut  uzluksiz  funksiya  va  Lebegning  aniqmas 
integrali orasidagi muhim bog‘lanishni ifodalaydi. 
17.3-teorema.  Agar  f   funksiya 
[ ]
b
a,
  kesmada  integrallanuvchi  bo‘lsa,  u 
holda  
 
( )
[ ]
( )
µ
d
t
f
x
F
x
a
∫
,
=
 
funksiya 
[ ]
b
a,
 da absolyut uzluksiz bo‘ladi. 
Isbot. 
(
)
{
}
−
n
k
k
b
a
1
,
  ixtiyoriy  o‘zaro  kesishmaydigan  intervallar  sistemasi 
bo‘lib,  
 
(
)
δ
<
1
=
k
k
n
k
a
b
−
∑
 
bo‘lsin. U holda  
( ) ( )
( )
∫
∑
∑
−
]
,
[
k
k
b
a
n
k
k
k
n
k
d
t
f
a
F
b
F
µ
1
=
1
=
=
( )
( )
.
<
|
|
=
|
|
,
,
1
=
1
=
ε
µ
µ
∫
∫
∑
≤
]
[
]
[
k
k
n
k
k
k
b
a
b
a
n
k
d
t
f
d
t
f
U
 
Oxirgi tengsizlik Lebeg integralining absolyut uzluksizlik xossasi (12.4-teoremaga 
qarang) dan kelib chiqadi. 
∆
 
17.4-teorema (Lebeg).  F  funksiya 
[ ]
b
a;
 kesmada absolyut uzluksiz bo‘lsin. 
U  holda 
( ) ( )
x
f
x
F
'
=
  funksiya 
[ ]
b
a,
  da  integrallanuvchi  va  ixtiyoriy 
[ ]
b
a
x
;
∈
 
uchun  
 
[ ]
( )
( ) ( )
a
F
x
F
d
t
f
x
a
−
∫
=
;
µ
 
tenglik o‘rinli. 
17.4-teorema isbotida quyidagi lemmadan foydaliniladi. 
17.1-lemma.  Agar 
−
f
  kamaymaydigan  absolyut  uzluksiz  funksiya  bo‘lib, 
( )
0
=
x
f
'
 tenglik deyarli barcha  x  lar uchun o‘rinli bo‘lsa, u holda 
( )
.
= const
x
f
 
17.4-teoremaning  isboti. 
( )
0
≥
t
f
  bo‘lgan  holda  isbotlash  yetarli.  Bu  holda 
( )
x
F
 kamaymaydigan funksiya bo‘ladi.  
 
( )
( )
[ ]
( )
(17.16)
=
;
µ
d
t
f
x
F
x
x
a
∫
−
Φ
 

 
144 
funksiyani  qaraymiz. 
Φ
  ham  kamaymaydigan  funksiya.  Haqiqatan  ham, 
'
'
'
x
x <
 
bo‘lsin, u holda  
 
[
]
( )
0.
)
(
)
(
=
)
(
)
(
≥
−
′
−
′′
′′
Φ
−
′
Φ
∫
′′
′
µ
d
t
f
x
F
x
F
x
x
x
x ,
 
( )
x
F
 va  
 
[ ]
( )
µ
d
t
f
x
a
∫
;
 
lar  absolyut  uzluksiz  funksiyalar  bo‘lganligi  uchun 
Φ
  ham  absolyut  uzluksiz 
funksiya bo‘ladi. Bundan tashqari, deyarli barcha  x  lar uchun 
( )
0.
=
x
'
Φ
 Bobning 
boshida qo‘yilgan 1-savolga javob berganda  
 
[ ]
( )
( )
( )
( )
[ ]
( )
0
=
=
,
=
;
;
µ
µ
d
t
f
dx
d
x
f
x
x
f
d
t
f
dx
d
x
a
'
x
a
∫
∫
−
Φ
 
tengliklarni  ko‘rsatgan  edik.  17.1-lemmaga  ko‘ra, 
( )
.
= const
x
Φ
  Ikkinchi 
tomondan  
 
( )
( )
[ ]
( )
( )
a
F
dt
t
f
a
F
a
a
a
=
=
;
∫
−
Φ
 
tenglik o‘rinli. Demak, (17.16) ko‘ra,  
 
( )
( )
[ ]
( )
µ
d
t
f
a
F
x
F
x
a
∫
+
;
=
 
tenglik o‘rinli. 
∆
   
17.3.  Xulosa.  Bizga  ma’lumki,  ixtiyoriy  o‘zgarishi  chegaralangan  funksiya 
uzluksiz  o‘zgarishi  chegaralangan  funksiya 
( )
x
g
  va  sakrashlar  funksiyasi 
( )
x
H
 
ning yig‘indisi ko‘rinishida tasvirlanar edi, ya’ni 
( ) ( )
( )
.
=
x
H
x
g
x
f
+
 
Endi  uzluksiz,  lekin  absolyut  uzluksiz  bo‘lmagan  va  o‘zgarishi 
chegaralangan 
g
 funksiyani qaraymiz. Uning uchun deyarli hamma  x  larda chekli 
)
(x
g
'
 hosila mavjud.  
 
( )
[ ]
( )
µ
ψ
d
t
g
x
'
x
a
∫
;
=
 
belgilash  kiritamiz.  U  holda 
( ) ( ) ( )
x
x
g
x
ψ
χ
−
=
  ayirma  uzluksiz  o‘zgarishi 
chegaralangan funksiya bo‘ladi va deyarli barcha  x  lar uchun  
 
( )
( )
[ ]
( )
0.
=
=
,
dt
t
g
dx
d
x
g
x
dx
d
'
x
a
'
∫
−
χ
 
17.3-ta’rif. Agar uzluksiz va o‘zgarmasdan farqli o‘zgarishi chegaralangan 
f  funksiyaning hosilasi deyarli barcha  x  larda nolga aylansa, u singulyar uzliksiz 
funksiya deyiladi. 
Shunday qilib, biz quyidagi tasdiqqa keldik. 
Har  qanday  o‘zgarishi  chegaralangan  f   funksiya  uchta  funksiya  yig‘indisi 
ko‘rinishida tasvirlanadi,  
 
(17.17)
,
=
)
(
)
(
)
(
)
(
x
x
x
H
x
f
χ
ψ
+
+
 
bu  yerda  H   sakrashlar  funksiyasi, 
χ   singulyar  uzluksiz  funksiya,  ψ   absolyut 
uzluksiz funksiya. 

 
145 
Bu funksiyalar  f  funksiya yordamida o‘zgarmas qo‘shiluvchi aniqligida bir 
qiymatli  aniqlanadi.  Agar  bu  funksiyalardan  ixtiyoriy  ikkitasini 
a
x =   nuqtada 
nolga teng deb aniqlasak, u  holda  (17.17)  yoyilma  yagonadir. Uni differensiallab, 
deyarli barcha  x  lar uchun  
 
( )
( )
(17.18)
=
x
x
f
'
'
ψ
 
tenglikka ega bo‘lamiz. (17.18) tenglikni integrallab,  
 
[ ]
( )
[ ]
( )
( )
x
dt
t
d
t
f
'
x
a
'
x
a
ψ
ψ
µ
=
=
;
,
∫
∫
 
tenglikka kelamiz. 
Misollar.  17.1.  Kantorning  zinapoya  funksiyasini  [0;1]   kesmada  absolyut 
uzluksizlikka tekshiring. 
Yechish.  6.3-misolda  ko‘rsatildiki,  Kantor  to‘plamining  Lebeg  o‘lchovi 
nolga  teng.  Lebeg  o‘lchovi  ta’rifiga  ko‘ra,  ixtiyoriy 
0
>
δ
  uchun  shunday,  o‘zaro 
kesishmaydigan 
n
k
k
k
b
a
1
=
)}
;
{(
  invervallar  sistemasi  mavjudki,  quyidagilar 
bajariladi:  
 
(17.19)
.
<
)
(
),
;
(
1
=
1
=
δ
k
k
n
k
k
k
n
k
a
b
b
a
K
−
⊂
∑
U
 
Ikkinchi tomondan, 6.7-misolda ko‘rsatildiki ((6.15)-tenglikka qarang),  
 
1.
=
(0)
(1)
=
([0;1])
0
=
)
([0;1]
K
K
K
\
F
F
−
µ
µ
va
 
Bu  yerda 
F
µ   Kantorning  zinapoya  funksiyasi  yordamida  qurilgan  Lebeg-Stiltes 
o‘lchovi. Bu tenglikdan kelib chiqadiki,  
 
1.
=
)
(K
F
µ
 
Endi  o‘lchovning  yarim  additivlik  xossasidan  hamda  (17.19)  dan  foydalansak, 
quyidagiga ega bo‘lamiz:  
 
(
)
1.
=
)
(
)
;
(
=
)
(
)
(
1
=
1
=
K
b
a
a
K
b
K
F
k
k
n
k
F
k
k
n
k
µ
µ
≥






−
∑
U
 
Demak,  Kantorning  zinapoya  funksiyasi  - 
)
(x
K
  absolyut  uzluksiz  funksiya 
ta’rifini qanoatlantirmaydi. 
  
Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar  
1.  Agar  f  funksiya 
[ ]
b
a,
 kesmada Lipshits shartini qanoatlantirsa, u holda  f  ning 
[ ]
b
a,
 kesmada absolyut uzluksiz bo‘lishini isbotlang.  
2. 
]
;
[ b
a
 kesmada aniqlangan uzluksiz hosilaga ega bo‘lgan  f  funksiyaning 
[ ]
b
a;
 
kesmadagi absolyut uzluksiz bo‘lishini isbotlang.  
3.  Agar  f  funksiya 
[ ]
b
a;
 da absolyut uzluksiz funksiya bo‘lsa, uning tekis uzluksiz 
bo‘lishini isbotlang.  
4. 
[ ]
b
a;
 kesmada tekis uzluksiz, lekin absolyut uzluksiz bo‘lmagan funksiyaga misol 
keltiring.  
5.  Kantorning zinapoya funksiyasini 
[ ]
0;1  kesmada absolyut uzluksizlikka tekshiring. 
18. Lebeg-Stiltes integrali 
 

 
146 
18.1.  Lebeg-Stiltes  o‘lchovlari.  Lebeg-Stiltes  o‘lchovlarini  kiritishdan 
avval  Lebeg  o‘lchovini  aniqlash  jarayonini  eslaymiz.  Sonlar  o‘qidagi 
]
;
[ b
a
 
kesmalar, 
)
;
( b
a
  intervallar  va 
]
;
(
),
;
[
b
a
b
a
  yarim  intervallar  sistemasidan  tashkil 
bo‘lgan  yarim  halqani 
)
(
1
R
Σ
  bilan  belgilaymiz;  tekislikdagi  tomonlari  koordinata 
o‘qlariga  parallel  to‘g‘ri  to‘ptburchaklar  (6.1-bandga  qarang)  sistemasidan  tashkil 
bo‘lgan  yarim  halqani 
)
(
2
R
Σ
  orqali  belgilaymiz;  tekislikdagiga  o‘xshash  uch 
o‘lchamli  fazodagi  qirralari  koordinata  o‘qlariga  parallel  to‘g‘ri  parallelepipedlar 
sistemasidan  tashkil  bo‘lgan  yarim  halqani 
)
(
3
R
Σ
  orqali  belgilaymiz.  Lebeg 
o‘lchovini  aniqlash  (har  uchchala  holda  ham  mos  ravishda) 
)
(
1
R
Σ
  dagi  uzunlik, 
)
(
2
R
Σ
  dagi  yuza, 
)
(
3
R
Σ
  dagi  hajm  tushunchalariga  asoslanib  kiritilgan 
o‘lchovlarni  dastlab  yarim  halqani  saqlovchi  minimal  halqaga  davom  ettirish  va 
keyin  yanada  kengroq  bo‘lgan  Lebeg  bo‘yicha  o‘lchovli  to‘plamlarning 
−
σ  
algebrasiga yoyish usuli bilan amalga oshirilgan edi. Bunda barcha ochiq va yopiq 
to‘plamlar,  ularning chekli  va sanoqli  birlashmalari  va kesishmalari, bu birlashma 
va  kesishmalarga  to‘ldiruvchi  to‘plamlar  albatta  o‘lchovli  to‘plamlar  bo‘ladi. 
Bunday  usul  bilan  aniqlangan  Lebeg  o‘lchovi  sanoqli  additivlik  va  uzluksizlik 
xossalariga ega. 
Yana  sonlar  o‘qiga  va 
)
(
1
R
Σ
  yarim  halqaga  qaytamiz.  Sonlar  o‘qida 
berilgan 
x
x
F
=
)
(
 funksiya yordamida 
)
(
1
R
Σ
 da aniqlangan uzunlik tushunchasini 
(o‘lchovni) quyidagicha ifodalash mumkin:  
 
),
(
0)
(
=
)
(
)
(
=
=
)
,
(
a
F
b
F
a
F
b
F
a
b
b
a
m
−
−
−
−
 
 
0),
(
)
(
=
)
(
)
(
=
=
]
,
[
−
−
−
−
a
F
b
F
a
F
b
F
a
b
b
a
m
 
 
),
(
)
(
=
)
(
)
(
=
=
]
,
(
a
F
b
F
a
F
b
F
a
b
b
a
m
−
−
−
 
 
0).
(
0)
(
=
)
(
)
(
=
=
)
,
[
−
−
−
−
−
a
F
b
F
a
F
b
F
a
b
b
a
m
 
Bu  usuldan 
)
(
1
R
Σ
  da  o‘lchovlar  aniqlash  uchun  foydalanishimiz  mumkin.  Bizga 
sonlar  o‘qida  aniqlangan  kamaymaydigan,  o‘ngdan  uzluksis  F   funksiya  berilgan 
bo‘lsin.  Har  bir 
)
;
[
],
;
(
),
;
(
],
;
[
b
a
b
a
b
a
b
a
  ko‘rinishdagi  oraliqlarga  F   funksiya 
yordamida mos ravishda  
(18.1)
),
(
)
(
=
]
,
(
),
(
0)
(
=
)
,
(
a
F
b
F
b
a
m
a
F
b
F
b
a
m
−
−
−
 
(18.2)
0).
(
0)
(
=
)
,
[
0),
(
)
(
=
]
,
[
−
−
−
−
−
a
F
b
F
b
a
m
a
F
b
F
b
a
m
 
manfiymas  sonlarni  mos  qo‘yamiz.  Ishonch  hosil  qilish  mumkinki,  (18.1)-(18.2) 
tengliklar bilan aniqlangan oraliqlar (kesma, interval va yarim interval) funksiyasi 
manfiymas  va  additivdir.  Yarim  halqada  kiritilgan  bu  o‘lchovga