O`zbekiston Oliy va O`rta maxsus ta`lim vazirligi Namangan Davlat universiteti
Download 1.75 Mb. Pdf ko'rish
|
fumksional matematika
|
12.2. X n - o‘lchamli (haqiqiy yoki compleks) chiziqli fazo bo‘lsin. Bu fazoda qandaydir n e e e ,..., , 2 1 bazisni tanlaymiz. U holda har bir X x ∈ vektor yagona ravishda ∑ = = n i i i e x x 1 (12.5) ko‘rinishda tasvirlanadi. Agar f - X da aniqlangan chiziqli funksional bo‘lsa, u holda ravshanki, ∑ = = n i i i e f x x f 1 ) ( ) ( (12.6) bo‘ladi. Shunday ekan, chiziqli funksional o‘zining n e e e ,..., , 2 1 bazis vektorlardagi qiymatlari bilan bir qiymatli aniqlanadi. Bundan tashqari bu qiymatlarni ixtiyoriy berish mumkin. Ushbu n g g g ,..., , 2 1 funksionallarni ( ) = ≠ = j i j i e g i j agar , , agar , 1 0 deb aniqlaymiz. Ko‘rsatish mumkinki, bu funksionallar chiziqli bog‘lanmagan. Agar X x ∈ element (12.5) ko‘rinishda bo‘lsa, u holda ( ) j j x x g = tenglik bajariladi. Shuning uchun (12.6) formulani ( ) ∑ = = n i i i e f x g x f 1 ) ( ) ( ko‘rinishda yozish mumkin. Shunday qilib n g g g ,..., , 2 1 funksionallar * X fazoda bazis tashkil qilar ekan, ya’ni * X ham n- o‘lchamli fazodir. * X dagi n g g g ,..., , 2 1 bazis X dagi n e e e ,..., , 2 1 bazisga ikkilamchi bazis deb ataladi. X fazoda aniqlangan har xil normalar * X fazoda har xil normalarni keltirib chiqaradi. Hozir biz X va * X fazolarda bir-biriga mos keluvchi normalarga misol keltiramiz. 161 a) Yuqoridagi n - o‘lchamli X va * X fazolarni qaraymiz. Har bir X x ∈ uchun (12.5) o‘rinli bo‘lib, x ning normasi 2 1 1 2 = ∑ = n i i x x formula bilan aniqlangan bo‘lsin. U holda ixtiyoriy * X f ∈ uchun ( ) x f f x x f x f e f x g x f n i i n i i n i i n i i i n i i i n i i i ⋅ = ⋅ ≤ ≤ ⋅ ≤ ⋅ = = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = 1 2 1 2 1 2 1 1 1 ) ( ) ( tengsizlikka ega bo‘lamiz, bu yerda ( ) } , ... , 2 , 1 { , n i e f f i i ∈ = . Agar ∑ = ⋅ = n i i i f e f x 1 desak, f n i i n i i n i i i i f x f f e f f x f ⋅ = = ⋅ = ∑ ∑ ∑ = = = 1 2 1 2 1 ) ( ) ( . Bundan ∑ = = n i i f f 1 2 formulani olamiz. Shunday ekan, X va * X fazolarda ∑ = = n i i x x 1 2 va ∑ = = n i i f f 1 2 normalar bir-biriga mos kelar ekan. b) Endi X fazodagi har bir X x ∈ element uchun uning normasi ∞ < < = ∑ = p x x p n i p i p 1 , 1 1 formula bilan aniqlangan bo‘lsin. Bu normaga mos * X fazodagi normani aniqlash uchun Gyolder tengsizligidan ((1.15) formulaga qarang) foydalanamiz. U holda har bir * X f ∈ chiziqli funksional va ixtiyoriy X x ∈ uchun ∑ = ⋅ = n i i i e x x 1 va ∑ ∑ = = ⋅ = ⋅ = n i i i n i i x f x g e f x f 1 1 ) ( ) ( ) ( desak, Gyolder tengsizligiga asosan p q n i q i p n i p i q n i q i n i i i x f x f x f x f ⋅ = ⋅ ≤ ⋅ = ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = 1 1 1 1 1 1 1 ) ( tengsizlik barcha X x ∈ lar uchun o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda 1 1 1 , 1 , 1 = + ∞ < < ∞ < < q p q p . (12.7) Agar X x f ∈ elementning koordinatalarini } , ... , 2 , 1 { , 2 n i f f x q i i i ∈ ⋅ = − , 162 ko‘rinishda tanlasak, (agar 0 = i f bo‘lsa, 0 = i x deb olinadi) } , ... , 2 , 1 { , 0 2 n i f f f f f x q i i q i i i i ∈ ≥ = ⋅ ⋅ = ⋅ − va p i p i i q i i i x f f f f x p p p = = = = ⋅ − − 1 1 1 tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Chunki 1 1 1 , 1 1 1 − = − = = − − p q f f x p i q i i . U holda ( ) . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 p q n i q i p n i p i q n i q i p n i i i q n i i i n i i i n i i i f x f x f f x f x f x f x x f ⋅ = ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = = Demak, q n i q i q f f 1 1 = ∑ = . Shunday qilib, X va * X fazolarda mos normalar juftligi p n i p i p x x 1 1 = ∑ = , q n i q i q f f 1 1 = ∑ = (12.8) ko‘rinishda bo‘lar ekan. Bu yerda p va q sonlar (12.7) munosabatni qanoatlantiradi. c) X fazodagi har bir X x ∈ uchun (12.5) tasvir o‘rinli bo‘lib, x ning normasi ∑ = = n i i x x 1 1 formula bilan aniqlangan bo‘lsin. Ixtiyoriy * X f ∈ chiziqli funksional va barcha X x ∈ larda ( ) ( ) } ..., , 2 , 1 { , , 1 n i e f f x f x f i i n i i i ∈ = = ∑ = tenglik o‘rinli bo‘lgani uchun 1 1 1 1 1 max max ) ( x f x f x f x f i n i n i i i n i n i i i ⋅ = ⋅ ≤ ⋅ = ≤ ≤ = ≤ ≤ = ∑ ∑ , ya’ni i n i f f ≤ ≤ ≤ 1 max . Faraz qilaylik, biror } ..., , 2 , 1 { 0 n i ∈ uchun i n i i f f ≤ ≤ = 1 0 max bo‘lsin. Agar 163 = 0 , ... , 0 , 1 , 0 , ... , 0 , 0 0 0 4 3 42 1 i x desak, 1 1 0 = x va ( ) 1 0 1 1 0 max max 0 x f f f x f i n i i n i i ⋅ = = = ≤ ≤ ≤ ≤ tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Bundan i n i f f ≤ ≤ = 1 max tenglikka ega bo‘lamiz. So‘nggi normani biz ∞ ⋅ bilan belgilaymiz. Matematik analizdan ma’lumki, ((1.19) ga qarang) ∞ ≤ ≤ = ∞ → ∞ → = = = ∑ x x x x i n i p n i p i p p p 1 1 1 max lim lim . Shunday qilib, X va * X chekli n - o‘lchamli fazolarda ∑ = = n i i x x 1 1 , i n i f f ≤ ≤ ∞ = 1 max (12.9) lar bir-biriga mos keluvchi normalar juftligini hosil qiladi. Agar biz (12.7) munosabatni saqlagan holda ∞ → q da limitga o‘tsak, 1 = p va ∞ = q ni olamiz. Demak, (12.9) normalar juftligi (12.8) normalar juftligining limitik holati ekan. d) Endi n - o‘lchamli X fazoda norma i n i x x ≤ ≤ ∞ = 1 max formula vositasida aniqlangan bo‘lsin. Ixtiyoriy * X f ∈ chiziqli funksional uchun ( ) } ..., , 2 , 1 { , n i e f f i i ∈ = ( n e e e ,..., , 2 1 lar X fazoning bazisi) desak, barcha X x ∈ lar uchun ( ) ∑ = = n i i i x f x f 1 tenglik va ∞ ≤ ≤ = ≤ ≤ = ⋅ = ⋅ ≤ ⋅ = ∑ ∑ x f f x x f x f i n i n i i i n i n i i i 1 1 1 1 max max ) ( , tengsizlik o‘rinli. Ikkinchi tomondan 1 , ..., , , 2 2 1 1 = = ∞ f n n f x f f f f f f x element uchun ( ) ∞ = = = ⋅ = = = ∑ ∑ ∑ f n i i n i i n i i i i f x f f f f f x f 1 1 1 . U holda ∑ = = n i i f f 1 1 tenglikka ega bo‘lamiz. Demak, X va * X fazolarda 164 i n i x x ≤ ≤ ∞ = 1 max , ∑ = = n i i f f 1 1 (12.10) normalar bir-biriga mos keluvchi normalar juftligi bo‘ladi. (12.10) tenglik (12.8) tenglikning ∞ → p dagi limitik holatiga mos keladi. 12.3. Endi p l fazoni qaraymiz. Ma’lumki, bu fazo ∞ < ∑ ∞ = 1 i p i x shartni qanoatlantiruvchi barcha } { n x x = ketma-ketliklardan iborat va unda x elementning normasi p i p i p x x 1 1 = ∑ ∞ = tenglik bilan aniqlanadi. Agar biz 1 > q sonni (12.7) munosabatdan aniqlasak, u holda ∗ p l fazo q l fazoga izomorf bo‘ladi. Buni isbotlash uchun q l fazoning ixtiyoriy } { n f f = elementi yordamida p l fazoda ( ) ∑ ∞ = ⋅ = 1 ~ n n n x f x f (12.11) chiziqli funksionalni aniqlaymiz. Dastlab (12.11) tenglikning o‘ng tomonidagi qatorning absolyut yaqinlashuvchi ekanligini ko‘rsatamiz. Ma’lumki, ixtiyoriy n natural son uchun p q i q i p n i p i q n i q i n i i i x f x f x f ⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅ ∑ ∑ ∑ ∑ ∞ = = = = 1 1 1 1 1 1 1 (12.12) o‘rinli. Birinchi tengsizlikni yozishda biz Gyolder tengsizligidan ((1.15) formulaga qarang) foydalandik. Bu yerdan (12.11) tenglikning o‘ng tomonidagi qatorning absolyut yaqinlashuvchiligi hamda f ~ funksional uchun quyidagi munosabatlar kelib chiqadi: ( ) q p q i i i f f x f x f x f ≤ ⋅ ≤ ⋅ = ∑ ∞ = ~ , ~ 1 . Demak, (12.11) tenglik bilan aniqlangan f ~ funksional chiziqli va uzluksiz. Agar p f x l ∈ elementning hadlarini } , ... , 2 , 1 { , 2 ∞ ∈ ⋅ = − i f f x q i i i (agar 0 = i f bo‘lsa, 0 = i x deb olinadi) ko‘rinishda tanlasak, 12.1-misolning b) bandidagidek quyidagilarga ega bo‘lamiz: } , ... , 2 , 1 { , 0 , 0 ∞ ∈ ≥ = ⋅ ≥ = ⋅ i x f x f f x p i i i q i i i . Biz p f x l ∈ va q i f f l ∈ = } { ekanligini hisobga olsak, 165 ( ) . ~ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 p q p i p i q i q i p i i i q i i i i i i i i i f x f x f f x f x f x f x x f ⋅ = ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = Demak, q q f f = ~ . Ko‘rsatish mumkinki, p l fazodagi ixtiyoriy f ~ chiziqli uzluksiz funksional (12.11) korinishda tasvirlanadi. Shunday qilib ∗ p l va 1 , 1 1 = + − − q p q l fazolarning izomorfligi isbotlandi. Xususan, 2 = p da ∗ 2 l 2 l = kelib chiqadi. Shuning uchun 2 l fazo o‘z-o‘ziga qo‘shma fazo deyiladi. Xuddi shunday ko‘rsatish mumkinki, ixtiyoriy Hilbert fazosining qo‘shmasi ham o‘ziga izomorf bo‘ladi. Download 1.75 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|