O`zbekiston Oliy va O`rta maxsus ta`lim vazirligi Namangan Davlat universiteti

11.4. Endi 
[ ]
b
a
C ;
 fazoni o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi  B  operatorni quyidagicha 
aniqlaymiz:  
( )( )
( ) ( )
∫
=
b
a
dt
t
f
t
x
K
x
Bf
,
                   (11.1) 
Bu  operator  integral  operator  deyiladi.  Bu  yerda 
)
,
(
y
x
K
  funksiya 
]
,
[
]
,
[
b
a
b
a
×
  - 
kvadratda  aniqlangan,  uzluksiz. 
)
,
(
y
x
K
  integral  operatorning  o‘zagi  (yadrosi) 
deyiladi.  B  operatorni chiziqlilik va uzluksizlikka tekshiring. 
Yechish.  Ma’lumki,  ixtiyoriy 
]
,
[ b
a
C
f
∈
  uchun 
)
(
)
,
(
t
f
t
x
K
    funksiya  x   va  t  
larning uzluksiz funksiyasidir. Matematik analiz kursidan ma’lumki,  
( ) ( )
∫
b
a
dt
t
f
t
x
K
,
 
integral  parametr 
]
,
[ b
a
x
∈
  ning  uzluksiz  funksiyasi  bo‘ladi.  Bulardan 
B
 
operatorning aniqlanish sohasi 
)
(B
D
 uchun 
[ ]
b
a
C
B
D
;
)
(
=
 tenglik o‘rinli ekanligi 
kelib chiqadi. Integral operatorning chiziqli ekanligi  integrallash amalining asosiy 
xossalaridan kelib chiqadi, ya’ni ixtiyoriy 
[ ]
b
a
C
g
f
;
,
∈
  va 
C
∈
β
α,
  lar uchun  
(
)
(
)( )
( )
( )
( )
(
)
=
+
=
+
∫
b
a
dt
t
g
t
f
t
,
x
K
x
g
f
B
β
α
β
α
 
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
x
Bg
x
Bf
dt
t
g
t
,
x
K
dt
t
f
t
,
x
K
b
a
b
a
β
α
β
α
+
=
+
=
∫
∫
 
tengliklar  o‘rinli.    Endi  integral  operator  B   ning  uzluksiz  ekanligini  ko‘rsatamiz. 
[ ]
b
a
C
f
;
0
∈
  ixtiyoriy  tayinlangan  element  va 
[ ]
b
a
C
f
n
;
∈
  unga  yaqinlashuvchi 
ixtiyoriy ketma-ketlik bo‘lsin. U holda 
( ) ( )
( )
(
)
( )
( )
( )
.
,
max
max
,
max
0
0
0
0
f
f
C
dt
t
x
K
t
f
t
f
dt
t
f
t
f
t
x
K
Bf
Bf
n
b
a
b
x
a
n
b
x
a
b
a
n
b
x
a
n
−
⋅
=
−
≤
≤
−
=
−
∫
∫
≤
≤
≤
≤
≤
≤
         (11.2) 
Bu yerda  
( )
∫
≤
≤
=
b
a
b
x
a
dt
t
x
K
C
,
max
. 

 
151 
C
  ning  chekli  ekanligi 
]
,
[ b
a
  kesmada  uzluksiz  funksiyaning  chegaralangan 
ekanligidan kelib chiqadi. Agar (11.2) tengsizlikda 
∞
→
n
 da limitga o‘tsak,  
0
lim
lim
0
0
=
−
⋅
≤
−
∞
→
∞
→
f
f
C
Bf
Bf
n
n
n
n
 
ekanligini olamiz. Agar 
0
0
≥
−
Bf
Bf
n
 tengsizlikni hisobga olsak, 
0
lim
0
=
−
∞
→
f
B
f
B
n
n
. 
Shunday qilib,  B  integral operator  ixtiyoriy nuqtada uzluksiz ekan. 
B  integral operatorning qiymatlar sohasi va yadrosi integral operatorning o‘zagi 
- 
)
,
(
y
x
K
  funksiyaning  berilishiga  bog‘liq.  Masalan 
1
)
,
(
≡
t
x
K
  bo‘lsa  B  
operatorning  qiymatlar  sohasi 
B
Im
  o‘zgarmas  funksiyalardan  iborat,  ya’ni 
{
}
const
t
f
b
a
C
f
B
=
∈
=
)
(
:
]
,
[
Im
, uning yadrosi 
,
KerB
 o‘zgarmasga ortogonal 
funksiyalardan iborat, ya’ni 
[ ]
( )
}.
:
;
{
0
=
∈
∃
=
∫
b
a
dt
t
f
b
a
C
f
KerB
 
11.8-ta’rif. Bizga 
X
 normalangan fazoning  M  to‘plami berilgan bo‘lsin. Agar 
shunday 
0
>
C
 son mavjud bo‘lib, barcha  x
∈
M  uchun 
C
x
≤
 tengsizlik o‘rinli 
bo‘lsa,  M  to‘plam chegaralangan deyiladi. 
11.9-ta’rif.    X   fazoni  Y   fazoga  akslantiruvchi  A   chiziqli  operator  berilgan 
bo‘lsin.  Agar  A   ning  aniqlanish  sohasi 
X
A
D
=
)
(
  bo‘lib,  har  qanday 
chegaralangan  to‘plamni  yana  chegaralangan  to‘plamga  akslantirsa,  A   ga 
chegaralangan operator deyiladi. 
Chiziqli  operatorning  chegaralanganligini  tekshirish  uchun  quyidagi  ta’rif 
qulaydir. 
11.10-ta’rif. 
Y
X
A
→
:
  chiziqli  operator  bo‘lsin.  Agar  shunday 
0
>
C
  son 
mavjud bo‘lib, ixtiyoriy 
( )
A
D
x
∈
 uchun 
x
C
x
A
⋅
≤
                             (11.3) 
tengsizlik bajarilsa,  A  chegaralangan operator deyiladi. 
 
16-mavzu: CHiziqli opеratorning normasi. Uzluksizlik 
 
11.11-ta’rif.  (11.3)  tengsizlikni  qanoatlantiruvchi 
C
  sonlar  to‘plamining  aniq 
quyi  chegarasi  A   operatorning  normasi  deyiladi,  va  u 
A
  bilan  belgilanadi, 
ya’ni 
.
inf C
A
=
 
Bu ta’rifdan  ixtiyoriy  
( )
A
D
x
∈
  uchun 
x
A
x
A
⋅
≤
 
tengsizlik o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. 
11.1-teorema.  X   normalangan  fazoni  Y   normalangan  fazoga  akslantiruvchi 
chiziqli chegaralangan  A  operatorning normasi 
A
 uchun 

 
152 
x
x
A
x
A
A
x
x
θ
≠
=
=
=
sup
sup
1
                      (11.4) 
tenglik o‘rinli. 
Isbot. Quyidagicha belgilash kiritamiz 
x
x
A
x
θ
α
≠
=
sup
. 
A  chiziqli operator bo‘lgani uchun 
.
x
A
x
x
A
x
x
A
x
x
x
1
=
≠
≠
=
=
=
sup
sup
sup
θ
θ
α
 
Ixtiyoriy  
0
≠
x
  uchun 
.
α
≤
x
x
A
 
Demak, ixtiyoriy 
X
x
∈
 uchun  
.
x
x
A
α
≤
 Bundan esa 
α
≤
A
.     
 
            
(11.5) 
Aniq  yuqori  chegara  ta’rifiga  ko‘ra,  ixtiyoriy 
0
>
ε
  son  uchun,  shunday 
θ
ε
≠
x
 
element mavjudki, 
A
x
x
A
≤
≤
−
ε
ε
ε
α
 
tengsizlik bajariladi. Bu yerdan 
0
>
ε
 ixtiyoriy bo‘lgani uchun, 
 
A
≤
α
. 
     (11.6) 
(11.5) va (11.6) lardan 
α
=
A
 tenglik kelib chiqadi.  ∆ 
11.1-tasdiq. Chiziqli chegaralangan  A  operator uchun 
x
A
x
A
x
x
1
1
≤
=
=
sup
sup
 
tenglik o‘rinli. 
11.1-tasdiqni mustaqil isbotlang. 
X   chiziqli  normalangan  fazoni  Y   chiziqli  normalangan  fazoga  akslantiruvchi 
chiziqli chegaralangan operatorlar to‘plamini  
)
,
(
Y
X
L
 bilan belgilaymiz. Xususan 
Y
X
=
 bo‘lsa 
)
(
)
,
(
X
L
X
X
L
=
. 
11.1-natija. Ixtiyoriy  A
∈
)
,
(
Y
X
L
  va  
( )
A
D
x
∈
, 
1
=
x
 uchun  
A
x
A
≤
                              (11.7) 
tengsizlik o‘rinli. 
(11.7) tengsizlikning isboti (11.4) tengsizlikdan bevosita kelib chiqadi. 
11.12-ta’rif. 
Y
X
A
→
:
  va 
Y
X
B
→
:
  chiziqli  operatorlarning  yig‘indisi 
deb, 
)
(
)
(
B
D
A
D
x
I
∈
  elementga 
Y
Bx
Ax
y
∈
+
=
  elementni  mos  qo‘yuvchi 
B
A
C
+
=
operatorga aytiladi. 
Ravshanki, 
C
 chiziqli operator bo‘ladi. Agar 
B
A,
∈
)
,
(
Y
X
L
 bo‘lsa, u holda  
C
 
ham chegaralangan operator bo‘ladi  va 
B
A
B
A
C
+
≤
+
=
  
 
    (11.8) 

 
153 
tengsizlik o‘rinli. Haqiqatan ham, 
(
)
x
B
A
x
B
x
A
x
B
x
A
x
B
x
A
x
C
+
≤
⋅
+
⋅
≤
+
≤
+
=
. 
Bu yerdan (11.8) tengsizlik kelib chiqadi. 
11.13-ta’rif.  A  chiziqli operatorning 
α
 songa ko‘paytmasi  x  elementga 
Ax
α
 
elementni mos qo‘yuvchi operator sifatida aniqlanadi, ya’ni 
( )( )
Ax
x
A
α
α
=
 
11.14-ta’rif. 
Y
X
A
→
:
  va 
Z
Y
B
→
:
  chiziqli  operatorlar  berilgan  bo‘lib 
)
(
)
(
B
D
A
R
⊂
  bo‘lsin.  B   va  A   operatorlarning  ko‘paytmasi  deganda,  har  bir 
)
( A
D
x
∈
  ga  Z   fazoning 
)
(Ax
B
z
=
  elementini  mos  qo‘yuvchi 
Z
X
BA
C
→
=
:
 
operator tushuniladi. 
Agar  A   va  B   lar  chiziqli  chegaralangan  operatorlar  bo‘lsa,  u  holda 
C
  ham 
chiziqli chegaralangan operator bo‘ladi va 
 
A
B
C
⋅
≤
   
 (11.9) 
tengsizlik o‘rinli. Haqiqatan ham, 
( )
X
Y
Z
Z
x
A
B
x
A
B
x
A
B
x
C
⋅
⋅
≤
⋅
≤
=
. 
Bu yerdan (11.9) tengsizlik kelib chiqadi. 
Operatorlarni  qo‘shish  va  ko‘paytirish  assotsiativdir.  Qo‘shish  amali 
kommutativ, lekin ko‘paytirish amali kommutativ emas. 
Agar  X   va  Y   lar  chiziqli  normalangan  fazolar  bo‘lsa, 
)
,
(
Y
X
L
  ham  chiziqli 
normalangan fazo bo‘ladi, ya’ni 
R
Y
X
L
p
→
)
,
(
:
, 
( )
x
A
A
p
x
1
=
=
sup
 
funksional normaning 1-3 shartlarini qanoatlantiradi. 
11.2-teorema.  X   normalangan  fazoni  Y   normalangan  fazoga  akslantiruvchi 
:
A
X
→
Y   chiziqli  operator  berilgan  bo‘lsin.  U  holda  quyidagi  tasdiqlar  teng 
kuchli: 
1)  A  operator biror 
0
x  nuqtada uzluksiz; 
 
2)  A  operator uzluksiz; 
 
3)  A  operator chegaralangan. 
Isbot.  1) 
→
  2).  Chiziqli  A  operatorning  biror 
0
x   nuqtada  uzluksiz  ekanligidan 
uning ixtiyoriy nuqtada uzluksiz ekanligini keltirib chiqaramiz. 
A   operator 
0
x   nuqtada  uzluksiz  bo‘lganligi  uchun, 
0
x   ga  intiluvchi  ixtiyoriy 
{ }
0
n
x
 ketma-ketlik uchun 
0
0
x
A
x
A
n
→
. Ixtiyoriy 
)
( A
D
x
∈
′
 nuqta uchun, 
x
x
n
′
→
′
 
ekanligidan   
x
A
x
A
n
′
→
′
  kelib  chiqishini    ko‘rsatamiz. 
0
0
'
'
'
x
x
x
x
y
n
n
→
+
−
=
 
deymiz. U holda  
(
)
(
)
0
0
0
'
'
lim
'
'
lim
'
lim
x
A
x
A
x
A
x
A
x
x
x
A
Ay
n
n
n
n
n
n
=
+
−
=
+
−
=
∞
→
∞
→
∞
→
. 
Bu esa  
'
'
lim
x
A
x
A
n
n
=
∞
→
 
ekanligini bildiradi. Demak,  A  operator ixtiyoriy 
x
′
 nuqtada uzluksiz.  
2)
→
3).  A   operatorning  uzluksiz  ekanligidan  uning  chegaralanganligi  kelib 
chiqishini  ko‘rsatamiz.  Teskaridan  faraz  qilaylik,  A   chiziqli  operator  uzluksiz 

 
154 
bo‘lsin,  lekin  chegaralangan  bo‘lmasin,  ya’ni  ixtiyoriy 
0
>
C
  son  uchun  shunday 
( )
A
D
x
c
∈
 element mavjud bo‘lib , 
c
c
x
C
x
A
≥
 
bo‘lsin.  Agar 
N
n
C
∈
=
  desak,  ixtiyoriy 
N
n
∈
  uchun  shunday 
( )
A
D
x
n
∈
 
mavjudki, 
n
n
x
n
x
A
≥
 
tengsizlik bajariladi. Quyidagi  
n
n
n
x
n
x
=
ξ
 
ketma-ketlikni qaraymiz. Ko‘rinib turibdiki, 
θ
ξ
→
n
, ya’ni 
.
0
1
1
→
=
=
=
−
n
x
x
n
x
n
x
n
n
n
n
n
θ
ξ
 
Ikkinchi tomondan, 
1
1
1
>
=
=




=
−
n
n
n
n
n
n
n
x
A
x
n
Ax
x
n
x
n
x
A
A
A
θ
ξ
 
Bu qarama-qarshilik  A  operatorning chegaralangan ekanligini ko‘rsatadi. 
3)
→
1).  A   chiziqli  chegaralangan  operatorning  biror  nuqtada  uzluksizligini 
ko‘rsatamiz. 
Ta’rifga ko‘ra shunday 
0
>
C
 son mavjudki, ixtiyoriy 
)
( A
D
x
∈
 uchun 
X
Y
x
C
x
A
≤
 
tengsizlik  bajariladi.  Faraz  qilaylik, 
}
{
n
x
  -  x   ga  yaqinlashuvchi  ixtiyoriy  ketma-
ketlik bo‘lsin, u holda  
x
A
x
A
n
→
 ekanligini ko‘rsatamiz: 
(
)
,
0
→
−
≤
−
=
−
x
x
C
x
x
A
x
A
x
A
n
n
n
 
ya’ni 
x
A
x
A
n
→
.  ∆ 
11.2-natija.  A   chiziqli  operator  chegaralangan  bo‘lishi  uchun  uning  uzluksiz 
bo‘lishi zarur va yetarli. 
Misollar.  11.5.  Birlik  va  nol  operatorlarning  (11.1  va  11.2  misollarga  qarang) 
chegaralangan ekanligini ko‘rsatib, ularning normasini hisoblang. 
Yechish.  Birlik  operatorning  chegaralangan  ekanligini  ko‘rsatib,  normasini 
hisoblaymiz.  Ixtiyoriy 
E
x
∈
  uchun 
x
x
I
=
  tenglik  o‘rinli.  Ta’rifga  ko‘ra  u 
chegaralangan  va  uning  normasi  1  ga  teng.  Endi  nol  operatorning  chegaralangan 
ekanligini  ko‘rsatib,  uning  normasini  topamiz.  Istalgan 
E
x
∈
  uchun 
0
=
=
Θ
θ
x
  tenglik  o‘rinli.  Bundan 
0
=
Θ
  ekanligi  kelib  chiqadi.  Nol 
operator 
)
,
(
Y
X
L
 chiziqli normalangan  fazoning nol elementi bo‘ladi. 
11.6.  11.3-misolda  keltirilgan 
]
,
[
]
,
[
:
b
a
C
b
a
C
A
→
  differensial  operatorning 
chegaralanmagan ekanligini ko‘rsating. 

 
155 
Yechish.  Buning  uchun  A   akslantirishda 
( )
( )
[ ]
1
;
0
1
C
A
D
=
  fazodagi  birlik  shar 
]
1
,
[
θ
B
  ning  tasviri  chegaralanmagan  to‘plam  ekanligini  ko‘rsatish  yetarli.  Birlik 
shar 
]
1
,
[
θ
B
 da yotuvchi 
}
{
n
f
 ketma-ketlikni quyidagicha tanlaymiz: 
( )
.
1
max
,
1
0
=
=
=
≤
≤
n
x
n
n
n
x
f
x
x
f
 
U holda 
(
)( )
.
max
,
1
0
1
n
x
n
f
A
x
n
x
f
A
n
x
n
n
n
=
⋅
=
⋅
=
≤
≤
−
 
Bundan  
∞
=
∞
→
n
n
f
A
lim
 
ekanligi kelib chiqadi. Demak, differensial operator chegaralanmagan ekan.