O`zbekiston Oliy va O`rta maxsus ta`lim vazirligi Namangan Davlat universiteti

15.1-ta’rif.  Bizga 
−
Y
X ,
  chiziqli  normalangan  fazolar  va 
Y
X
A
→
:
  chiziqli 
chegaralangan  operator  berilgan  bo‘lsin.  Agar  biror 
*
*
*
:
X
Y
A
→
  operator  va 
ixtiyoriy 
*
,
Y
g
X
x
∈
∈
 lar uchun  
 
)
,
(
=
)
,
(
*
x
g
A
Ax
g
 
tenglik o‘rinli bo‘lsa, 
*
A  operator  A  ga qo‘shma operator deyiladi. 
    Demak,  har  bir 
*
Y
g
∈
  funksionalga  (15.3)  tenglik  bilan  aniqlanuvchi 
*
X
f
∈
 
funksionalni  mos  qo‘yuvchi 
*
*
*
:
X
Y
A
→
  operator  A   operatorga  qo‘shma 
operator deb ataladi. 
      Qo‘shma operatorlar quyidagi xossalarga ega: 
1. 
*
A  operator chiziqli. 
2. 
.
=
)
(
*
*
*
B
A
B
A
+
+
 
3. Ixtiyoriy 
k
 son uchun 
.
=
)
(
*
*
kA
kA
 
4. Agar  A  uzluksiz bo‘lsa, u holda 
*
A  ham uzluksiz bo‘ladi. 
Aniqrog‘i, quyidagi tasdiq o‘rinli. 
  15.1-teorema. Agar 
)
,
(
Y
X
L
A
∈
 bo‘lsa, u holda 
)
,
(
*
*
*
X
Y
L
A
∈
 va  
 
A
A
=
*
 
tenglik o‘rinli. 
Isbot. Operator normasining xossasiga ko‘ra,  
.
|
)
,
(
|=|
)
,
(
|
*
x
g
A
Ax
g
Ax
g
x
g
A
≤
≤
 
Bu yerdan  
g
A
g
A
≤
*
 
tengsizlikka ega bo‘lamiz. Demak,  
A
A
≤
*
                              (15.4) 

 
203 
Endi 
,
X
x
∈
 
θ
=
/
Ax
  shartni  qanoatlantiruvchi  ixtiyoriy  element  bo‘lsin, 
Y
Ax
Ax
y
∈
=
0
  deymiz.  Ko‘rinib  turibdiki, 
1.
=
0
y
  Xan-Banax  teoremasining 
12.1-natijasiga  ko‘ra,  shunday 
C
Y
g
→
:
  funksional  mavjudki, 
1
=
g
  va 
1,
=
=
)
(
0
0
y
y
g
 ya’ni  
 
1.
=
)
(
1
=
=
)
(
0
Ax
g
Ax
Ax
Ax
g
y
g




 
Bu yerdan,  
 
Ax
Ax
g
=
)
(
 
tenglikka ega bo‘lamiz. U holda  
 
x
A
x
g
A
x
g
A
x
g
A
Ax
g
Ax
*
*
*
*
=
)
(
=
)
(
=
≤
≤
)
(
 
munosabatdan  
 
*
A
A
≤
  
(15.5) 
tengsizlikni olamiz. (15.4) va (15.5) munosabatlardan  
 
*
A
A
=
 
tenglik kelib chiqadi. 
∆
 
 
15.2. Hilbert fazosida qo‘shma operatorlar 
 
 
Ma’lumki,  Hilbert  fazosiga qo‘shma  fazo  uning  o‘ziga  izomorf,  ya’ni 
*
= H
H
 
(tenglik  izomorfizm  ma’nosida).  Shuning  uchun  Hilbert  fazolarida  qo‘shma 
operatorlar xossalarini o‘rganish ancha qulay. 
    15.2-ta’rif.  H   Hilbert  fazosi  va 
)
(H
L
A
∈
  operator  berilgan  bo‘lsin.  Agar 
biror 
H
H
A
→
:
*
 operator va ixtiyoriy 
H
y
x
∈
,
  lar uchun  
 
)
,
(
=
)
,
(
*
y
A
x
y
Ax
 
tenglik o‘rinli bo‘lsa, 
*
A  operator  A  ga qo‘shma operator deyiladi. 
    Bu  ta’rif  Banax  fazosidagi  qo‘shma  operatorning  ta’rifidan  biroz  farq  qiladi, 
ya’ni bu yerda 
*
*
=
)
(
A
k
kA
 (3-xossaga qarang) tenglik o‘rinli. 
    Hilbert fazosi holida  A  va 
*
A  operatorlar aynan bitta fazoda aniqlangani uchun, 
ba’zan 
*
= A
A
 tenglik ham o‘rinli bo‘lishi mumkin. 
    15.3-ta’rif. Agar 
*
= A
A
 bo‘lsa, ya’ni ixtiyoriy  
H
y
x
∈
,
 uchun  
 
)
,
(
=
)
,
(
Ay
x
y
Ax
 
tenglik o‘rinli bo‘lsa,  A  operator o‘z-o‘ziga qo‘shma operator deyiladi. 
    15.4-ta’rif. Bizga 
H
H
:
A
→
 chiziqli operator va 
H
H
⊂
0
 qism fazo berilgan 
bo‘lsin.  Agar  ixtiyoriy 
0
H
x
∈
  uchun 
0
H
Ax
∈
  bo‘lsa,  u  holda 
0
H   qism  fazo  A  
operatorga nisbatan invariant qism fazo deyiladi. 
    15.1-lemma.  Bizga 
H
H
:
A
→
  chiziqli  operator  va 
H
H
⊂
0
  qism  fazo 
berilgan  bo‘lsin.  Agar 
0
H   qism  fazo  A   operatorga  nisbatan  invariant  bo‘lsa,  u 

 
204 
holda  uning  ortogonal  to‘ldiruvchisi  bo‘lgan 
H
H
⊂
⊥
0
  qism  fazo 
*
A   operatorga 
nisbatan invariant bo‘ladi. 
    Isbot. Haqiqatan ham, agar 
⊥
∈
0
H
y
 bo‘lsa, u holda ixtiyoriy 
0
H
x
∈
 uchun  
 
0,
=
)
,
(
=
)
,
(
*
Ax
y
x
y
A
 
chunki 
.
0
H
Ax
∈
 Demak, 
∆
∈
⊥
.
0
*
H
y
A
 
    Xususiy  holda,  agar 
*
= A
A
  bo‘lsa,  u  holda 
0
0
H
H
A
⊂
)
(
  ekanligidan 
⊥
⊥
⊂
0
0
H
H
A
)
(
 ekanligi kelib chiqadi. 
    Hilbert fazosida qo‘shma operatorlar quyidagi xossalarga ega: 
    15.2-lemma. Agar 
)
(
,
H
L
B
A
∈
 bo‘lsa, u holda  
1) 
,
=
)
(
*
*
*
B
A
B
A
β
α
β
α
+
+
  
2) 
,
=
)
(
*
*
*
A
B
AB
  
3) 
A
A
=
)
(
*
*
 tengliklar o‘rinli. 
    Isbot. Birinchisini isbotlaymiz.  
 
=
)
,
(
)
,
(
=
)
,
(
=
)
,
)
((
y
Bx
y
Ax
y
Bx
Ax
y
x
B
A
β
α
β
α
β
α
+
+
+
 
 
).
)
(
,
(
=
)
,
(
)
,
(
=
)
,
(
)
,
(
=
*
*
*
*
*
*
y
B
A
x
y
B
x
y
A
x
y
B
x
y
A
x
β
α
β
α
β
α
+
+
+
 
Bundan 
*
*
*
=
)
(
B
A
B
A
β
α
β
α
+
+
 tenglik kelib chiqadi. 
2) ni isbotlaymiz:  
 
).
,
(
=
)
,
(
=
)
),
(
(
=
)
,
)
((
*
*
*
y
A
B
x
y
A
Bx
y
Bx
A
y
x
AB
 
Bundan 
*
*
*
=
)
(
A
B
AB
 tenglik kelib chiqadi. 
3) ning isboti bevosita qo‘shma operator ta’rifidan kelib chiqadi. 
∆
 
    Endi  operatorlarning  Banax  va  Hilbert  qo‘shmalarini  topishga  doir  misollar 
qaraymiz. 
    Misollar. 15.1. 
1
=
=
l
Y
X
 va  T  o‘ngga siljitish operatori bo‘lsin (14.1-misolga 
qarang), ya’ni  
 
1
1
3
2
1
),
,
,
,
,
,
(0,
=
l
K
K
∈
−
x
x
x
x
x
Tx
n
 
bo‘lsin. T  ga qo‘shma 
*
T  operatorni toping. 
    Yechish. 
1
= l
X
 va 
1
= l
Y
 lar Banax fazolari bo‘lganligi uchun  T  operatorning 
Banax  qo‘shmasini topamiz. Ma’lumki, 
)
(
1
l
L
T
∈
 operatorning  Banax qo‘shmasi 
barcha 
1
l
∈
x
 va 
*
1
)
(l
∈
f
 lar uchun  
 
)
(
=
)
)(
(
*
Tx
f
x
f
T
  
(15.6) 
tenglikni qanoatlantiruvchi va 
*
1
)
(l
 fazoni 
*
1
)
(l
 fazoga akslantiruvchi operatordan 
iborat.  Bizga  ma’lumki, 
,
=
)
(
*
1
m
l
  boshqacha  aytganda  har  qanday 
*
1
)
(l
∈
f
 
uchun shunday yagona 
m
y
∈
 mavjudki,  
 
m
y
y
y
y
y
y
x
x
f
n
k
k
k
∈
∑
∞
)
,
,
,
,
,
(
=
,
=
)
(
3
2
1
1
=
K
K
  
(15.7) 
tenglik barcha 
1
l
∈
x
 lar uchun o‘rinli bo‘ladi. Xuddi shuningdek, shunday 
m
∈
ζ
 
mavjudki,  

 
205 
 
m
x
x
f
T
n
k
k
k
∈
∑
∞
)
,
,
,
,
,
(
=
,
=
)
)(
(
3
2
1
1
=
*
K
K
ζ
ζ
ζ
ζ
ζ
ζ
  
(15.8) 
tenglik  barcha 
1
l
∈
x
  lar  uchun  bajariladi.  (15.7)  va  (15.8)  tengliklarni  hisobga 
olsak, berilgan  T  operator uchun (15.6) shart quyidagi ko‘rinishga keladi:  
 
1
=1
1
2
=
=1
=
=
+
∞
−
∞
∞
∑
∑
∑
k
k
k
k
k
k
k
k
k
y
x
y
x
x
ζ
.  
(15.9) 
Bu tenglik barcha 
1
l
∈
x
 lar uchun bajariladi. Xususiy holda, 
),
,
,0,
,1
0,0,
(
=
K
K
4
4 3
4
4 2
1
k
k
e
  
N
k
∈
  elementlar uchun (15.9) tenglik  
 
K
K ,
,
1,2,
=
,
=
1
n
k
y
k
k
+
ζ
 
tengliklarga aylanadi. Shunday qilib, 
m
m
T
→
:
*
 operator  
 
)
,
,
,
,
(
=
)
,
,
,
,
(
=
1
3
2
2
1
*
*
K
K
K
K
+
n
n
y
y
y
y
y
y
T
y
T
 
formula bilan aniqlanar ekan. 
    15.1-teoremaga  ko‘ra, 
)
,
(
Y
X
L
T
∈
  ekanligidan 
)
,
(
*
*
*
X
Y
L
T
∈
  ekanligi  kelib 
chiqadi  va 
T
T
=
∗
  tenglik  bajariladi.  Qaralayotgan  misolda  15.1-teoremaning 
o‘rinli  ekanligini  tekshirib  ko‘ramiz. 
*
T   operatorning  chiziqli  ekanligi  uning 
aniqlanishidan  ko‘rinib  turibdi. 
*
T
T
=
tenglik  bajarilishini  ko‘rsatamiz. 
Haqiqatan ham,  
1,
|=
|
sup
=
sup
=
1
=
1
=
1
=
k
k
x
x
x
Tx
T
∑
∞
    
.
1
|=
|
sup
=
sup
=
2
*
1
=
*
k
k
y
y
x
T
T
∞
<
≤
 
    15.2. 
2
l  fazoda ko‘paytirish operatorini, ya’ni (11.9-misolga qarang)  
 
∞
→
≥
<
|=
|
sup
,
=
)
(
,
:
1
2
2
a
a
x
a
Ax
A
n
n
n
n
n
l
l
  
(15.10) 
operatorni qaraymiz. Unga qo‘shma operatorni toping. 
    Yechish. 
2
=
=
l
Y
X
  Hilbert  fazolari  bo‘lganligi  uchun  A   ga  Hilbert 
ma’nosidagi  qo‘shma  operatorni  topamiz. 
A   operatorning  chiziqli  va 
chegaralanganligi  11.9-misolda  ko‘rsatilgan.  A   ga  qo‘shma  operatorni  topish 
uchun 
)
,
(
y
Ax
  skalyar  ko‘paytmani  qaraymiz. 
2
l   fazodagi  skalyar  ko‘paytmadan 
foydalansak,  
 
).
,
(
=
=
=
)
(
=
)
,
(
*
1
=
1
=
1
=
y
A
x
y
a
x
y
x
a
y
Ax
y
Ax
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
∑
∑
∑
∞
∞
∞
 
Bundan  
 
,
=
)
(
,
:
*
2
2
*
n
n
n
x
a
x
A
A
l
l
→
 
ni  olamiz.  Bu  yerdan  A   ning  qo‘shmasi  o‘ziga  teng  bo‘lishi  uchun 
N
n
a
n
∈
,
 
sonlarning haqiqiy bo‘lishi zarur va yetarlidir degan xulosaga kelamiz. 
∆
 
    15.3. 
]
;
[
2
b
a
L
  kompleks  Hilbert  fazosida, 
)
(x
u
  funksiyaga  ko‘paytirish 
operatorini, ya’ni  
 
]
;
[
),
(
)
(
=
)
)(
(
2
b
a
L
f
x
f
x
u
x
Af
∈
 
operatorni  qaraymiz.  Bu  yerda 
−
u
  chegaralangan  va  o‘lchovli  funksiya.  A   ga 
qo‘shma operatorni toping. 

 
206 
    Yechish. 
]
;
[
=
=
2
b
a
L
Y
X
  Hilbert  fazolari  bo‘lganligi  uchun  A   ga  Hilbert 
ma’nosidagi  qo‘shma  operatorni  topamiz.  u   ning  chegaralangan  va  o‘lchovli 
ekanligidan  A  operatorning aniqlanish sohasi 
]
;
[
=
)
(
2
b
a
L
A
D
 ekanligi va  A  ning 
chegaralangan  ekanligi  kelib  chiqadi.  Ta’rifga  ko‘ra 
])
;
[
(
2
b
a
L
L
A
∈
  operatorning 
qo‘shmasi hamma 
]
;
[
,
2
b
a
L
g
f
∈
 lar uchun  
 
)
,
(
=
)
,
(
*
g
A
f
g
Af
  
(15.11) 
tenglikni  qanoatlantiruvchi 
])
;
[
(
2
*
b
a
L
L
A
∈
  operatordan  iborat.  Agar  biz 
]
;
[
2
b
a
L
 
fazodagi  skalyar  ko‘paytmadan  foydalansak,  (15.11)  tenglikni  quyidagicha 
yozishimiz mumkin:  
 
).
,
(
=
)
(
)
(
)
(
=
)
(
)
(
)
(
=
)
(
)
)(
(
=
)
,
(
*
g
A
f
dx
x
g
x
u
x
f
dx
x
g
x
f
x
u
dx
x
g
x
Af
g
Af
b
a
b
a
b
a
∫
∫
∫
 
Bu tenglikdan  
 
]
;
[
),
(
)
(
=
)
)(
(
2
*
b
a
L
g
x
g
x
u
x
g
A
∈
 
ekanligi kelib chiqadi.  Bu  yerdan 
*
= A
A
 bo‘lishi uchun, deyarli barcha 
]
;
[
b
a
x
∈
 
larda 
R
x
u
∈
)
(
 bo‘lishi zarur va yetarlidir degan xulosaga kelamiz. 
∆
 
    15.4.  Endi 
]
;
[
2
b
a
L
  Hilbert  fazosida 
)
,
(
y
x
K
  yadro  bilan  aniqlanuvchi  integral 
operatorni, ya’ni  
 
]
;
[
,
)
(
)
,
(
=
)
)(
(
2
b
a
L
f
dy
y
f
y
x
K
x
Af
b
a
∈
∫
 
 (15.12) 
operatorni  qaraymiz.  Bu  yerda  K   - 
]
;
[
]
;
[
b
a
b
a
×
  kvadratda  aniqlangan 
chegaralangan va o‘lchovli funksiya.  A  operatorga qo‘shma operatorni toping. 
    Yechish.  K   funksiyaning  chegaralangan  va  o‘lchovli  ekanligidan,  uning 
])
;
[
]
;
([
2
b
a
b
a
L
×
  fazoga  qarashli  ekanligi  kelib  chiqadi.  Fubini  teoremasidan 
(19.1-teorema) foydalanib, quyidagiga ega bo‘lamiz:  
 
=
)
(
)
(
)
,
(
=
)
(
)
(
)
,
(
=
)
,
(
dx
x
g
dy
y
f
y
x
K
dx
x
g
dy
y
f
y
x
K
g
Af
b
a
b
a
b
a
b
a
∫∫
∫
∫






 
 
).
,
(
=
)
(
)
,
(
)
(
=
)
(
)
(
)
,
(
=
*
g
T
f
dx
dy
y
g
x
y
K
x
f
dy
y
f
dx
x
g
y
x
K
b
a
b
a
b
a
b
a














∫
∫
∫
∫
 
Bu yerdan  
 
dy
y
g
x
y
K
x
g
T
b
a
)
(
)
,
(
=
)
)(
(
*
∫
  
(15.13) 
tenglik  kelib  chiqadi.  Хususan,  (15.12)  ko‘rinishdagi  A   operator 
]
,
[
2
b
a
L
  fazoda 
o‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘lishi uchun, deyarli barcha 
]
;
[
,
b
a
y
x
∈
 lar uchun  
 
)
,
(
=
)
,
(
x
y
K
y
x
K
  
(15.14) 
tenglikning bajarilishi yetarli va zarurdir.