O`zbekiston Oliy va O`rta maxsus ta`lim vazirligi Namangan Davlat universiteti

 
Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar 
1. 
Banax fazosida operatorning qo‘shmasi qanday ta’riflanadi? 
2. 
Hilbert fazosida operatorning qo‘shmasi qanday ta’riflanadi? 

 
207 
3. 
Yuqoridagi ta’riflarda qanday farq bor? Javobni xossalarda tushuntiring. 
4. 
O‘z-o‘ziga qo‘shma va o‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘lmagan operatorlarga misollar 
keltiring. 
5. 
Hilbert  fazosida  birlik  operatorga  qo‘shma  operatorni  toping.  U  o‘z-o‘ziga 
qo‘shma bo‘ladimi? 
6. 
Chiziqli  chegaralangan  operatorga  qo‘shma  operator  har  doim  chiziqli 
chegaralangan bo‘ladimi? 
7. 
)
,
,
,
,
(
=
,
:
2
2
1
1
2
2
K
K
l
l
n
n
x
a
x
a
x
a
Ax
A
→
  operatorga  qo‘shma  operatorni 
toping. Bu yerda 
.
,
N
n
C
a
n
∈
∈
 
8. 
)
(
)
(
=
)
)(
(
[0;1],
[0;1]
:
2
2
x
f
x
u
x
Bf
L
L
B
→
  operatorga  qo‘shma  operatorni 
toping. Bu yerda 
C
b
a
u
→
]
;
[
:
 uzluksiz funksiya. 
9. 
O‘z-o‘ziga qo‘shma 
[0;1]
[0;1]
:
,
2
2
L
L
B
A
→
 operatorlar berilgan:  
.
)
(
=
)
)(
(
),
(
=
)
)(
(
1
0
∫
dy
y
f
y
x
x
Bf
x
xf
x
Af
 
       AB  va  BA  operatorlarni toping. Ular o‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘ladimi? 
10. 
1;1]
[
1;1]
[
:
2
2
−
→
−
L
L
A
 operator berilgan:  
∫
−
+
1
1
2
2
.
)
(
)
(
=
)
)(
(
dy
y
f
y
i
x
x
Af
 
     Uning  invariant  qism  fazolarini  toping.  Juft  funksiyalardan  iborat 
)}
(
=
)
(
:
1;1]
[
{
=
1;1]
[
2
2
x
f
x
f
L
f
L
−
−
∈
−
+
  qism  fazo 
A
  operator  uchun 
invariant qism fazo bo‘ladimi? 
 
22-mavzu: Chiziqli operatorning spektri va rezolventasi 
 
16. Chiziqli operatorning spektri va rezolventasi 
  
    Operatorlar nazariyasida spektr tushunchasi eng muhim tushunchalardan biridir. 
Chiziqli  operator  spektrini  o‘rganish  matematik  fizika  uchun  muhimdir.  Masalan, 
kvant  mexanikasida  sistema  Hamiltoniani  -  bu  Hilbert  fazosidagi  o‘z-o‘ziga 
qo‘shma  operatordir,  uning  spektrini  o‘rganish  sistema  fizik  xususiyatlarini 
o‘rganish  uchun  muhimdir.  Spektr  tushunchasini  dastlab  chekli  o‘lchamli 
fazolardagi chiziqli operatorlar uchun eslatamiz.  
    Faraz qilaylik, 
n
n
C
C
A
→
:
 chiziqli operator berilgan bo‘lsin. Agar biror 
λ
 son 
uchun  
 
x
Ax
λ
=
 
tenglama nolmas 
n
C
x
∈
 yechimga ega bo‘lsa, u holda 
λ
 son  A  operatorning xos 
qiymati  deyiladi,  unga  mos  keluvchi  nolmas  x   yechim  esa  xos  vektor  deyiladi. 
Ma’lumki,  har  bir 
n
n
C
C
A
→
:
  chiziqli  operatorga 
n
n
a
ij
×
−
}
{
  matritsa  mos 
keladi  va  aksincha.  Chiziqli  algebra  kursidan  ma’lumki,  agar 
λ
  son  A  
operatorning  xos  qiymati  bo‘lsa, 
0
=
)
(
I
A
det
λ
−
  bo‘ladi  va  aksincha. 
n
n
×
 
matritsa determinanti 
),
(
I
A
det
λ
−
 parametr 
λ
 ning 
−
n
 darajali ko‘phadi bo‘ladi 

 
208 
va 
0
=
)
(
I
A
det
λ
−
  tenglama  ko‘pi  bilan  n   ta  ildizga  ega,  ya’ni 
n
n
C
C
A
→
:
 
chiziqli  operator  ko‘pi  bilan  n   ta  xos  qiymatga  ega.  Agar 
λ
  son  A   operatorning 
xos  qiymati bo‘lsa 
I
A
λ
−
 ga  teskari operator  mavjud emas  va aksincha.  Agar 
λ
 
son  A  operator uchun xos qiymat bo‘lmasa, ya’ni 
0
)
(
≠
−
I
A
det
λ
 bo‘lsa, u holda 
I
A
λ
−
  ga  teskari  operator  mavjud  va  u 
n
C   fazoning  hamma  yerida  aniqlangan 
bo‘ladi.  
    16.1-teorema. 
n
n
C
C
A
→
:
 chiziqli operator chegaralangandir. 
    Isbot. 
n
C   fazoda 
n
e
e
e
,
,
,
2
1
K
  ortonormal  bazisni  tanlaymiz.  U  holda  har  bir 
n
C
x
∈
 vektor yagona usulda  
 
i
i
n
i
e
x
x
⋅
∑
=1
=
 
ko‘rinishda  tasvirlanadi.  Agar  A   operator 
n
C   da  aniqlangan  chiziqli  operator 
bo‘lsa, u holda  
 
)
(
=
1
=
i
i
n
i
e
A
x
Ax
⋅
∑
 
bo‘ladi.  Shunday  ekan,  chiziqli  operator  o‘zining 
,
,
,
,
2
1
n
e
e
e
K
  bazis 
vektorlardagi  qiymatlari  bilan  bir  qiymatli  aniqlanadi.  Endi 
Ax
  ning  normasini 
baholaymiz:  
 
.
)
(
|
|
)
(
|
|
2
1
2
=1
2
1
2
=1
=1
x
M
e
A
x
e
A
x
Ax
i
n
i
i
n
i
i
i
n
i
⋅
≤






⋅






≤
⋅
≤
∑
∑
∑
 
Bu yerda  
 
.
)
(
=
2
1
2
=1






∑
i
n
i
e
A
M
 
Demak,  chekli  o‘lchamli  fazoda  aniqlangan  har  qanday  chiziqli  operator 
chegaralangan bo‘lar ekan. 
∆
 
    Yuqorida  aytilganlarning  natijasi  sifatida  shuni  ta’kidlash  lozimki,  chekli 
o‘lchamli  fazolardagi  chiziqli  operatorlar  uchun  quyidagi  ikki  holat  sodir  bo‘lishi 
mumkin: 
    1) 
λ
  son  uchun 
x
Ax
λ
=
  tenglama  nolmas  yechimga  ega,  ya’ni 
λ
  son  A  
operator uchun xos qiymat, bu holda 
I
A
λ
−
 ga teskari operator mavjud emas; 
    2) 
λ
  son  uchun 
n
C   fazoning  hamma  yerida  aniqlangan 
1
)
(
−
−
I
A
λ
  operator 
mavjud va demak, chegaralangan. 
    Chekli  o‘lchamli  fazolarda  chiziqli  operatorning  xos  qiymatlari  to‘plami  uning 
spektri deb ataladi.  Agar 
C
∈
λ
 son  A  operator  uchun  xos qiymat  bo‘lmasa, u  A 
operatorning  regulyar  nuqtasi  deyiladi.  Umuman  aytganda,  chekli  o‘lchamli 
fazolarda spektr termini kam ishlatiladi. 
    Agar  A  operator cheksiz o‘lchamli  X  fazoda berilgan bo‘lsa, u holda yuqorida 
keltirilgan 1 va 2 holatlardan farqli bo‘lgan uchinchi holat ham bo‘ladi, ya’ni: 

 
209 
    3) 
1
)
(
−
−
I
A
λ
 operator mavjud, ya’ni 
x
Ax
λ
=
 tenglama faqat nol yechimga ega, 
lekin 
1
)
(
−
−
I
A
λ
  operator 
X   ning  hamma  yerida  aniqlanmagan  yoki 
.
=
)
(
X
I
A
Im
/
−
λ
 
    16.1-ta’rif. Agar 
C
∈
λ
 son uchun 
I
A
λ
−
 ga teskari operator mavjud bo‘lib u 
X   ning  hamma  yerida  aniqlangan  bo‘lsa, 
λ
  soni  A   operatorning  regulyar 
nuqtasi deyiladi,  
 
1
)
(
=
)
(
−
−
I
A
A
R
λ
λ
 
operator esa  A  operatorning 
λ
 nuqtadagi rezolventasi deyiladi. Barcha regulyar 
nuqtalar to‘plami 
)
( A
ρ
 orqali belgilanadi. 
    16.2-ta’rif.  A   operatorning  regulyar  bo‘lmagan  barcha  nuqtalari  to‘plami  A  
operatorning spektri deyiladi va 
)
( A
σ
 orqali belgilanadi. 
    16.3-ta’rif.  Agar  biror 
C
∈
λ
  son  uchun 
0
=
)
(
x
I
A
λ
−
  tenglama  nolmas 
0)
=
(
/
x
 yechimga ega bo‘lsa, 
λ
 son  A  operatorning xos qiymati deyiladi, nolmas 
yechim  x  esa xos vektor deyiladi. 
    Ko‘rinib turibdiki, barcha xos qiymatlar to‘plami spektrda yotadi, chunki 
λ
 xos 
qiymat bo‘lsa, 
I
A
λ
−
 operatorning teskarisi mavjud emas. 
    Spektr quyidagi qismlarga ajratiladi. 
    16.4-ta’rif.  a)  Barcha  xos  qiymatlar  to‘plami  A   operatorning  nuqtali  spektri 
deyiladi va 
)
( A
pp
σ
 bilan belgilanadi. 
    b) Agar 
λ
 xos qiymat bo‘lmasa va 
,
)
(
X
I
A
Im
≠
−
λ
 ya’ni 
I
A
λ
−
 operatorning 
qiymatlar  sohasi  X   ning  hamma  yerida  zich  emas.  Bunday 
λ
  lar  to‘plami  A  
operatorning qoldiq spektri deyiladi va 
)
( A
qol
σ
 bilan belgilanadi. 
    Endi o‘z-o‘ziga qo‘shma operatorlar uchun muhim spektr ta’rifini keltiramiz. 
    16.5-ta’rif.  Agar  biror 
)
( A
σ
λ
∈
  son  uchun  nolga  kuchsiz  yaqinlashuvchi 
H
f
n
∈
 birlik vektorlar ketma-ketligi mavjud bo‘lib  
 
0
=
)
(
lim
n
n
f
I
A
λ
−
∞
→
 
bo‘lsa, u holda 
λ
 son 
*
= A
A
 operatorning muhim spektriga qarashli deyiladi.  A  
operatorning muhim spektri 
)
( A
ess
σ
 bilan belgilanadi. 
    Operatorning nuqtali va qoldiq spektrlari o‘zaro kesishmaydi. Nuqtali va muhim 
spektrlar o‘zaro kesishishi mumkin. 
    16.2-teorema.  Agar 
)
( X
L
A
∈
  va 
A
|>
|
λ
  bo‘lsa,  u  holda 
λ
  regulyar  nuqta 
bo‘ladi. 
    Isbot. 
I
A
λ
−
 operatorni quyidagicha yozib olamiz:  
).
1
(
=
A
I
I
A
λ
λ
λ
−
−
−
                        (16.1) 
Teorema shartidan 
A
λ
1
 operatorning normasi  1 dan kichik ekanligi kelib chiqadi, 
shuning uchun 14.5-teoremaga ko‘ra 
A
I
λ
1
−
 operatorning chegaralangan teskarisi 

 
210 
mavjud.  Bundan  va  (16.1)  tenglikdan 
I
A
λ
−
  operatorning  teskarisi  mavjud  va 
chegaralangan ekanligi kelib chiqadi. 
∆
  
    Shunday  qilib,  chegaralangan 
X
X
A
→
:
  operatorning  spektri  markazi 
koordinatalar boshida va radiusi 
A
 ga teng yopiq doirada saqlanar ekan. 
    16.3-teorema. Agar 
)
( X
L
A
∈
 bo‘lsa, u holda 
)
( A
σ
 yopiq to‘plamdir. 
    Isbot.  Operatorning  spektri 
)
( A
σ
  regulyar  nuqtalar  to‘plamining  to‘ldiruvchi 
to‘plami  bo‘lgani  uchun, 
)
( A
ρ
  ning  ochiq  to‘plam  ekanligini  ko‘rsatish  yetarli. 
Endi 
)
( A
ρ
λ
∈
 ixtiyoriy nuqta bo‘lsin, ya’ni 
I
A
λ
−
 operatorning teskarisi mavjud 
va 
chegaralangan 
bo‘lsin. 
U 
holda 
14.6-teoremaga 
ko‘ra, 
barcha 
(
)
1
1
)
(
<
,
−
−
−
I
A
λ
δ
δ
  lar  uchun 
I
I
A
δ
λ
−
−
  operatorning  ham  chegaralangan 
teskarisi  mavjud.  Demak, 
)
( A
ρ
λ
∈
  nuqta  o‘zining 
(
)
0
>
)
(
=
1
1
−
−
−
I
A
λ
ε
  atrofi 
bilan 
)
( A
ρ
 ga qarashli ekan. Bu esa 
λ
 nuqtaning 
)
( A
ρ
 to‘plam uchun ichki nuqta 
ekanligini  bildiradi. 
λ
  ning  ixtiyoriyligidan 
)
( A
ρ
  ning  ochiq  to‘plam  ekanligi 
kelib chiqadi. Demak, 
)
(
\
=
)
(
A
C
A
ρ
σ
 yopiq to‘plam. 
∆
 
    Quyidagi tasdiqni isbotsiz keltiramiaz. 
    16.4-teorema.
)
(H
L
A
∈
 o‘z-o‘ziga qo‘shma operator bo‘lsin: U holda: 
(a) 
)
( A
qol
σ
 bo‘sh to‘plam. 
(b) 
)
( A
σ
 to‘plam  R  ning qismi, ya’ni 
.
)
(
R
A
⊂
σ
  
(c)  A   operatorning  har  xil  xos  qiymatlariga  mos  keluvchi  xos  vektorlari 
o‘zaro ortogonaldir. 
    Misollar.  16.1. 
]
,
[
2
b
a
L
  Hilbert  fazosida  erkin  o‘zgaruvchi  x   ga  ko‘paytirish 
operatori (15.3-misolga qarang), ya’ni  
 
)
(
=
)
)(
(
],
,
[
]
,
[
:
2
2
x
xf
x
Af
b
a
L
b
a
L
A
→
 
operatorni qaraymiz. Uning nuqtali, qoldiq va muhim spektrini toping. 
    Yechish.  15.3-misol  natijasiga  va 
)
(
=
=
=
)
(
x
u
x
x
x
u
  tenglikka  ko‘ra 
.
=
*
A
A
 
16.4-teoremaning (a) tasdig‘iga ko‘ra 
.
Ш
=
)
( A
qol
σ
 Ma’lumki,  
)
(
=
)
)(
(
x
f
x
Af
λ
   ya’ni   
0
=
)
(
)
(
x
f
x
λ
−
      (16.2) 
tenglama ixtiyoriy 
C
∈
λ
 uchun yagona nol yechimga ega. Demak,  A  operator xos 
qiymatlarga ega emas, ya’ni 
.
Ш
=
)
( A
pp
σ
 (16.2) tenglama  faqat  nol  yechimga ega 
ekanligidan  14.3-teoremaga  ko‘ra 
)
(
=
)
(
)
(
x
g
x
f
I
A
λ
−
  tenglamaning  ixtiyoriy 
A
g
Im
∈
  da  yagona  yechimga  ega  ekanligi  kelib  chiqadi.  Ko‘rsatish  mumkinki 
I
A
λ
−
 operatorga teskari operator  
 
)
(
)
(
=
)
(
)
(
1
1
x
g
x
x
g
I
A
−
−
−
−
λ
λ
 
(16.3) 
formula  bilan  aniqlanadi.  Agar 
]
,
[ b
a
∈/
λ
  bo‘lsa,  u  holda 
0,
≠
−
λ
x
  natijada 
1
)
(
−
−
I
A
λ
  operator 
]
,
[
2
b
a
L
  fazoning  hamma  yerida  aniqlangan  va  Banax 
teoremasiga ko‘ra u chegaralangan bo‘ladi. Demak, 
]
,
[ b
a
∈/
λ
 regulyar nuqta, ya’ni 
].
;
[
)
(
b
a
A
⊂
σ
  Lekin  (16.3)  formula  bilan  aniqlangan  teskari  operator 
]
,
[ b
a
∈
λ
 
bo‘lganda 
]
,
[
2
b
a
L
  fazoning  hamma  yerida  aniqlanmagan.  Demak, 
).
(
]
,
[
A
b
a
σ
⊂
 

 
211 
Bulardan, 
].
,
[
=
)
(
b
a
A
σ
  Endi  A   operatorning  spektridagi  ixtiyoriy  nuqta  uning 
muhim spektriga qarashli ekanligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy 
)
,
[ b
a
∈
λ
 uchun  




∈
+
+
+
∈
+
n
n
n
A
b
a
x
n
n
A
x
n
n
x
f
\
]
;
[
agar
0,
),
1
;
1
1
[
:=
agar
,
1)
(
=
)
(
λ
λ
 
deymiz.  Ma’lum  nomerdan  boshlab 
b
n
<
1
+
λ
  bo‘ladi  va  bunday  nomerlar  uchun 
1
=
n
f
  tenglik  o‘rinli.  Bundan  tashqari  har  xil  n   va  m   lar  uchun 
∅
=
m
n
A
A I
 
bo‘lgani  uchun 
0
=
)
,
(
m
n
f
f
  tenglik  o‘rinli,  ya’ni 
}
{
n
f
  ortonormal  sistema  ekan. 
Ma’lumki,  ixtiyoriy  ortonormal  sistema  nolga  kuchsiz  ma’noda  yaqinlashadi, 
shuning  uchun 
}
{
n
f
  ketma-ketlik  ham  nolga  kuchsiz  ma’noda  yaqinlashadi.  Endi 
n
f
I
A
)
(
λ
−
 normani baholaymiz:  
.
0,
1)
(
1)
3
1)(3
(
=
)
(
1)
(
=
)
(
3
3
2
2
1
1
1
∞
→
→
−
+
+
+
−
+
−
∫
+
+
+
n
n
n
n
n
n
n
dt
t
n
n
f
I
A
n
n
n
λ
λ
λ
λ
 
Demak,  ta’rifga  ko‘ra 
)
,
[ b
a
∈
λ
  son  A   operatorning  muhim  spektriga  qarashli 
ekan. 
b
=
λ
  nuqtani  A   operatorning  muhim  spektriga  qarashli  bo‘lishligini 
o‘quvchiga  mustaqil  isbotlash  uchun  qoldiramiz.  Shunday  qilib,  A   operatorning 
spektri  faqat  muhim  spektrdan  iborat  bo‘lib,  u 
]
;
[ b
a
  kesma  bilan  ustma-ust 
tushadi. Xulosa  
∆
].
,
[
=
)
(
=
)
(
,
Ш
=
)
(
=
)
(
b
a
A
A
A
A
ess
pp
qol
σ
σ
σ
σ