O`zbekiston Oliy va O`rta maxsus ta`lim vazirligi Namangan Davlat universiteti

14.1-natija.  X -  Banax  fazosi  va  A
∈
)
( X
L
  bo‘lib, 
1
<
≤
q
A
  bo‘lsa,  u  holda 
A
I
+
 operator uchun chegaralangan teskari operator mavjud. 
14.1-lemma.  Agar 
B
A,
∈
)
( X
L
  bo‘lib, 
( )
X
L
B
A
∈
−
−
1
1
,
  bo‘lsa,  u  holda  AB  
operatorga  chegaralangan  teskari  operator  mavjud  va 
( )
1
1
1
−
−
−
=
A
B
B
A
  tenglik 
o‘rinli. 
14.6-teorema.  A
∈
)
( X
L
  operatorga  chegaralangan  teskari  operator  mavjud 
bo‘lsin.  Agar  
X
A :'
→
X  operatorning normasi  
1
1
'
−
<
A
A
 
tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda 
A
A
B
′
−
=
 operatorga chegaralangan teskari 
operator mavjud. 
Isbot.  B   operatorni  quyidagicha  yozib  olamiz: 
(
)
'
'
1
A
A
I
A
A
A
−
−
=
−
.  Endi 
'
1
A
A
−
 operatorning normasini baholaymiz: 

 
198 
1
'
'
1
1
<
⋅
≤
−
−
A
A
A
A
. 
14.5-teoremaga ko‘ra 
A
A
I
1
−
−
 operatorga chegaralangan teskari operator mavjud. 
U holda 14.1-lemmaga ko‘ra, 
(
)
'
1
A
A
I
A
−
−
 operator ham teskarilanuvchan bo‘ladi, 
hamda 
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
1
1
'
,
'
−
−
−
−
−
−
−
−
⋅
−
≤
−
=
A
A
A
I
B
A
A
A
I
B
 
munosabatlar o‘rinli. ∆ 
Misollar. 14.8. Parametr 
R
∈
λ
 ning qanday qiymatlarida  
(
) ( )
( )
( )
[
]
π
π
λ
λ
π
π
;
,
sin
cos
2
−
∈
−
=
−
∫
−
L
f
dy
y
f
y
x
x
f
x
f
A
I
 
operatorga 14.5-teoremani va uning 14.1-natijasini qo‘llash mumkin? 
Yechish. 
[
]
(
)
π
π ;
2
−
∈
L
L
A
  ekanligini  tekshiramiz.  Shu  maqsadda  ixtiyoriy 
[
]
π
π ;
,
2
−
∈
L
g
f
  elementlarni  va  ixtiyoriy 
C
∈
β
α,
  sonlarni  olamiz  va  A  
operatorning 
g
f
β
α
+
 elementga ta’sirini qaraymiz: 
(
)
(
)( )
(
)( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
.
sin
cos
sin
cos
sin
cos
x
g
A
x
f
A
dy
y
y
g
y
x
dy
y
y
f
y
x
dy
y
g
f
y
x
x
g
f
A
β
α
β
α
β
α
β
α
π
π
π
π
π
π
+
=
+
+
=
+
=
+
∫
∫
∫
−
−
−
 
Biz bu yerda integralning additivlik va bir jinslilik xossalaridan foydalandik. Endi 
A  operatorning chegaralangan ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun 
f
A
 norma 
kvadratini baholaymiz:  
( )
( )
2
2
2
2
sin
cos
sin
cos
∫
∫
∫ ∫
−
−
− −
⋅
=
=
π
π
π
π
π
π
π
π
dy
y
f
y
dx
x
dx
dy
y
f
y
x
f
A
.   (14.11) 
Endi Koshi-Bunyakovskiy - 
(
)
g
f
g
f
⋅
≤
,
 tengsizligidan hamda 
(
)
(
)
x
x
x
x
2
cos
1
2
1
sin
,
2
cos
1
2
1
cos
2
2
−
=
+
=
 
ayniyatlardan va 
x
2
cos
 ning 1 ga ortogonalligidan foydalansak (14.11) dan  
2
2
2
f
f
A
π
≤
                 (14.12) 
tengsizlik kelib chiqadi. (14.12) dan  
π
π
≤
⇒
≤
A
f
f
A
           (14.13) 
tengsizlikka ega bo‘lamiz. Ikkinchi tomondan 
( )
x
x
f
sin
0
=
 desak, u holda  
( )( )
x
x
Af
cos
0
π
=
   va   
0
0
0
,
f
f
A
f
π
π
=
=
 
bo‘ladi. Ma’lumki,  
π
=
≥
0
0
f
f
A
A
 
va  (14.13)  dan  foydalansak, 
π
=
A
  tenglikka  ega  bo‘lamiz.  Bu  yerdan  barcha 





−
∈
π
π
λ
1
;
1
 lar uchun 
1
<
A
λ
 tengsizlikning bajarilishi kelib chiqadi. Demak, 

 
199 
14.5-teorema  va  uning  natijasiga  ko‘ra  barcha 





−
∈
π
π
λ
1
;
1
  larda 
A
I
λ
−
 
operatorga  teskari  operator  mavjud  va  chegaralangan.  14.5-teorema  shartlarining 
bajarilishi 
A
I
λ
−
 operatorga teskari operator mavjud va chegaralangan bo‘lishini 
taminlaydi.  Lekin 





−
∉
π
π
λ
1
;
1
  ekanligidan 
A
I
λ
−
  operatorga  chegaralangan 
teskari operator mavjud emas degan xulosa kelib chiqmaydi. ∆ 
Navbatdagi misolimiz bu fikrimizni tasdiqlaydi. 
14.9. Parametr 
λ
 ning 





−
∈
π
π
λ
1
;
1
 qiymatlarida  
(
) ( )
( )
( )
[
]
π
π
λ
λ
π
π
;
,
sin
cos
2
−
∈
−
=
−
∫
−
L
f
dy
y
f
y
x
x
f
x
f
A
I
 
operatorga 14.5-teoremani qo‘llab, unga teskari operatorni toping. 
Yechish.  14.8-misolda 





−
∈
π
π
λ
1
;
1
  qiymatlar  uchun 
A
I
λ
−
  operatorga 
teskari  operator  mavjudligi  ko‘rsatilgan  edi.  Bu  misolga  14.5-teoremani 
qo‘llashimiz  uchun  A   operatorning  darajalarini  hisoblashimiz  kerak.  Dastlab  A  
operator kvadratini hisoblaymiz:  
( )
( )
( )( )
( )
=






=
=
∫
−
π
π
dy
y
f
y
x
A
x
f
A
A
x
f
A
sin
cos
2
 
( )
∫
∫
−
−






=
π
π
π
π
dt
dy
y
f
y
t
t
x
sin
cos
sin
cos
.                  (14.14)   
(14.14) tenglikda  t  bo‘yicha integralni hisoblash mumkin. Agar biz  
0
sin
cos
=
∫
−
π
π
dt
t
t
 
tenglikni hisobga olsak, 
0
2
=
A
 ga ega bo‘lamiz. Bu tenglikdan barcha 
2
≥
n
 larda 
0
=
n
A
  ekanligi  kelib  chiqadi.  Natijada  biz, 
(
)
1
−
−
=
+
=
A
I
A
I
S
λ
λ
  ga  ega 
bo‘lamiz. Haqiqatan ham,  
(
)(
)
I
A
A
A
I
A
I
A
I
=
−
−
+
=
+
−
2
2
λ
λ
λ
λ
λ
 
va  
(
)(
)
I
A
A
A
I
A
I
A
I
=
−
+
−
=
−
+
2
2
λ
λ
λ
λ
λ
 
tengliklar  o‘rinli.  Isbot  jarayonidan  ma’lum  bo‘ldiki,  barcha 
R
∈
λ
  larda 
A
I
λ
−
 
operatorga teskari operator mavjud va chegaralangan bo‘lar ekan. 
14.10. Parametr 
R
∈
λ
 ning qanday qiymatlarida 
( )( )
(
)
( )
( )
[
]
1
;
1
,
1
2
1
1
2
−
∈
−
+
=
∫
−
L
f
dy
y
f
y
x
x
f
x
x
Bf
λ
    (14.15) 
operatorga 14.6-teoremani qo‘llash mumkin? 
Yechish. 
[
]
1
;
1
2
−
∈
L
A
 operator sifatida (14.7-misolga qarang) 
( )( )
(
)
( )
x
f
x
x
Af
1
2
+
=
,   
[
]
1
;
1
2
−
∈
L
f
 

 
200 
ni, 
[
]
1
;
1
'
2
−
∈
L
A
 operator sifatida esa  
( )( )
( )
[
]
1
;
1
,
'
2
1
1
−
∈
=
∫
−
L
f
dy
y
f
y
x
x
f
A
 
ni  olamiz.  14.7-misolda  A   operatorning  teskarisi  mavjud  va 
1
1
=
−
A
  ekanligi 
ko‘rsatilgan  edi.  14.6-teoremani  (14.15)  tenglik  bilan  aniqlangan 
'
A
A
B
λ
−
=
 
operatorga qo‘llashimiz uchun  
1
1
'
1
=
<
−
A
A
λ
               (14.16) 
tengsizlik  o‘rinli  bo‘ladigan 
λ
  ning  barcha  qiymatlarini  topishimiz  kerak.  Shu 
maqsadda 
'
A   operatorning  normasini  topamiz.  Buning  uchun 
f
A'
  norma 
kvadratini baholaymiz: 
=
2
' f
A
( )
( )
2
2
2
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
3
2
f
dy
y
f
y
dx
x
dx
dy
y
f
y
x






≤
⋅
=
∫
∫
∫ ∫
−
−
−
−
.    (14.17) 
Biz bu yerda Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan hamda 
3
2
1
1
2
=
∫
−
dx
x
 
tenglikdan foydalandik. (14.17) dan  
≤
'
A
3
2
                          (14.18) 
tengsizlik kelib chiqadi. Ikkinchi tomondan 
( )
x
x
f
=
0
 desak, u holda  
(
)( )
( )
x
f
x
x
f
A
0
0
3
2
3
2
'
⋅
=
⋅
=
   va   
3
2
3
2
0
0
0
=
⋅
=
f
f
f
A
,
'
 
bo‘ladi. Ma’lumki,  
3
2
'
'
0
0
=
≥
f
f
A
A
.                     (14.19) 
(14.18)  va  (14.19)  lardan   
3
2
'
=
A
    tenglikka  ega  bo‘lamiz.  Bu  yerdan  barcha 





 −
∈
2
3
;
2
3
λ
  lar  uchun  (14.16)  ning,  ya’ni 
1
'
<
A
λ
  tengsizlikning  bajarilishi 
kelib  chiqadi.  14.6-teoremaga  ko‘ra  barcha 





 −
∈
2
3
;
2
3
λ
  larda  B   operatorga 
teskari  operator  mavjud  va  chegaralangan.  14.8-misoldagidek 





 −
∉
2
3
;
2
3
λ
 
ekanligidan  B   operatorga  chegaralangan  teskari  operator  mavjud  emas  degan 
xulosa kelib chiqmaydi. ∆ 
14.11. Quyidagi operatorning teskarilanuvchan emasligini ko‘rsating  
[ ]
[ ]
( )( )
( )
( )
2
1
0
,
1
;
0
1
;
0
:
x
f
x
f
x
Af
C
C
A
+
=
→
.       (14.20) 

 
201 
Yechish.  Ma’lumki,  chiziqli  operator  teskarilanuvchan  bo‘lishi  uchun 
0
=
Af
 
tenglama  faqat 
0
)
(
≡
x
f
  yechimga  ega  bo‘lishi  zarur  va  yetarli.  (14.20)  formula 
bilan 
berilgan 
A  
operator 
uchun 
( ) (
)
x
x
x
f
−
=
1
0
 
funksiyani 
olsak, 
( )
( )
0
1
0
0
0
=
=
f
f
 bo‘lgani uchun  
( )( )
( )
( )
0
1
0
2
0
≡
+
=
x
f
x
f
x
Af
. 
Demak, 
0
=
Af
  tenglama  nolmas 
0
f
  yechimga  ega,  14.3-teoremaga  ko‘ra  A  
operator teskarilanuvchan emas. ∆ 
 
Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar 
 
1. 
Teskarilanuvchan  operator ta’rifini keltiring. 
2. 
Chiziqli operatorga teskari operator har doim chiziqli bo‘ladimi? 
3. 
Chiziqli chegaralangan operatorga teskari operator mavjud bo‘lsa, u chiziqli 
chegaralangan  bo‘ladimi?  Misollarda  tushuntiring.  14.5,  14.6-misollarga 
qarang. 
4. 
A  - chiziqli operatorning yadrosi 
KerA
  nolmas elementni saqlasa,  u holda 
A   ga teskari operator mavjud bo‘lishi mumkinmi? 
5. 
14.10-misoldagi  B  operatorga teskari operatorni toping. 
6. 
14.5-misolda  keltirilgan  B   operatorga  teskari  operatorni  toping. 
1
−
B
 
operatorning  aniqlanish  sohasini  toping. 
)
(
1
−
B
D
[ ]
1
,
0
C
=
  tenglik  to‘g‘rimi? 
Agar  bu  tenglik  to‘g‘ri  bo‘lmasa, 
)
(
1
−
B
D
  to‘plam 
[ ]
1
0,
C
    fazoning  hamma 
yerida zichmi? 
7. 
Ko‘paytirish  operatori 
( )
n
n
n
x
a
x
A
A
=
→
,
:
2
2
l
l
  ning  teskarilanuvchan 
bo‘lishligining zarur va yetarli shartini toping. 
8. 
Ko‘paytirish  operatori 
( )
n
n
n
x
a
x
A
A
=
→
,
:
2
2
l
l
  ga  chegaralangan  teskari 
operator mavjud  bo‘lishligining zarur va yetarli shartini toping. 
9. 
Ko‘paytirish  operatori 
( )
n
n
x
n
x
A
A
1
2
2
,
:
−
=
→
l
l
  ga  teskari  operatorni 
toping. U chegaralangan operator bo‘ladimi? 
10.  Ko‘paytirish  operatori 
[
]
[
] ( )( ) [ ] ( )
x
f
x
x
f
A
L
L
A
=
−
→
−
,
1
;
1
1
;
1
:
2
2
  ga  
teskari operator mavjudmi?  Bu operorning yadrosini  toping. 
∞
=
KerA
dim
 
tenglik to‘g‘rimi? Bu yerda 
[ ]
x  deb  x  sonining butun qismi belgilangan. 
 
21-mavzu: Banax fazosida qo‘shma operatorlar 
 
X  chiziqli normalangan fazoni  Y  chiziqli normalangan fazoga  
akslantiruvchi chiziqli uzluksiz  A  operator berilgan bo‘lsin, ya’ni  
.
=
)
(
=
,
:
X
A
D
,
Y
Ax
y
Y
X
A
∈
→
 
Bizga  ixtiyoriy 
C
Y
g
→
:
  chiziqli  chegaralangan  funksional  berilgan 
bo‘lsin.  Bu  funksionalning 
Ax
y =
  elementga  ta’sirini  qaraymiz 
).
(
=
)
(
Ax
g
y
g
 

 
202 
Osongina ko‘rsatish  mumkinki, 
)
( Ax
g
 funksional  X  da aniqlangan biror chiziqli 
f  funksionalni aniqlaydi. Shunday qilib,  
).
(
=
)
(
x
f
Ax
g
                             (15.1) 
Endi  (15.1)  tenglik  bilan  aniqlangan  f   funksionalning  chiziqli  ekanligini 
ko‘rsatamiz:  
 
=
)
(
=
))
(
(
=
)
(
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
Ax
Ax
g
x
x
A
g
x
x
f
α
α
α
α
α
α
+
+
+
 
).
(
)
(
=
)
(
)
(
=
2
2
1
1
2
2
1
1
x
f
x
f
Ax
g
Ax
g
α
α
α
α
+
+
             (15.2) 
(15.2)  tenglik  barcha 
X
x
x
∈
2
1
,
  va  ixtiyoriy 
C
∈
2
1
,
α
α
  lar  uchun  o‘rinli.  Demak, 
f   chiziqli  funksional  ekan.  Endi  uning  chegaralangan  ekanligini  (uzluksizligini) 
ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy 
X
x
∈
 uchun  
 
x
A
g
Ax
g
x
f
⋅
⋅
≤
|
)
(
|=|
)
(
|
 
tengsizlik o‘rinli. Bu yerdan  f  funksionalning chegaralanganligi kelib chiqadi.  
Agar  f  funksionalning  x  nuqtadagi qiymatini 
)
,
(
x
f
 deb belgilasak, u holda  
).
,
(
=
)
,
(
Ax
g
x
f
 
(15.3)