O`zbekiston Oliy va O`rta maxsus ta`lim vazirligi Namangan Davlat universiteti

13.2-ta’rif.  Agar  ixtiyoriy 
X
x
∈
  uchun 
0
→
−
x
A
x
A
n
  bo‘lsa, 
}
{
n
A
 
operatorlar  ketma-ketligi  A   operatorga  kuchli  yoki  nuqtali  yaqinlashadi  deyiladi 
va 
A
A
s
n
→

 shaklda belgilanadi. 
13.3-ta’rif.  Agar  ixtiyoriy 
*
Y
f
∈
  va  ixtiyoriy 
X
x
∈
  uchun 
( )
( )
x
A
f
x
A
f
n
→
 
bo‘lsa, 
}
{
n
A
  operatorlar  ketma-ketligi  A   operatorga  kuchsiz  yoki  kuchsiz 
ma’noda (
A
A
w
n
→

) yaqinlashuvchi deyiladi. 
13.3-ta’rif Hilbert fazosida quyidagicha bo‘ladi. 

 
170 
13.4-ta’rif.  Agar  ixtiyoriy 
H
y
x
∈
,
  uchun 
(
) (
)
y
x
A
y
x
A
n
,
,
→
  bo‘lsa, 
}
{
n
A
 
operatorlar ketma-ketligi  A  operatorga kuchsiz yaqinlashuvchi deyiladi. 
Misollar. 13.1. 
2
2
:
l
l
→
n
A
, 








=
,...
,
,
,
0
,
.
.
.
,
0
,
0
3
2
1
x
x
x
x
A
n
n
4
3
42
1
 
operatorlar  ketma-ketligining  kuchli  va  kuchsiz  ma’noda  nol  operatorga 
yaqinlashishini teksiring. 
Yechish. 
2
l   Hilbert  fazosi  bo‘lganligi  uchun 
2
2
:
l
l
→
n
A
  operatorlar  ketma-
ketligining  kuchsiz  ma’noda  nol  operatorga  yaqinlashishini  13.4-ta’rifdan 
foydalanib teksiramiz. Ixtiyoriy 
(
)
2
2
1
.
.
.
,
,
l
∈
=
y
y
y
  uchun 
(
) (
)
∑
∑
∞
+
=
∞
=
+
≤
=
Θ
−
1
2
2
2
1
2
,
,
n
k
k
k
k
n
k
n
y
x
y
x
y
x
y
x
A
  (13.1)  
munosabat o‘rinli. 
2
l
∈
y
 bo‘lganligi uchun 
.
1
2
2
∞
<
=
∑
∞
=
k
k
y
y
 
Shunday ekan yaqinlashuvchi qatorning qoldig‘i  
∑
∞
+
=
1
2
n
k
k
y
 
∞
→
n
  da  nolga  intiladi.  Bundan  (13.1)  ga  ko‘ra  ixtiyoriy 
2
,
l
∈
y
x
  larda 
(
) (
)
y
x
y
x
A
n
,
,
Θ
−
  ning 
∞
→
n
  da  nolga  intilishi  kelib  chiqadi.    Demak, 
}
{
n
A
 
operatorlar  ketma-ketligi    nol  operator 
Θ
  ga  kuchsiz  ma’noda  yaqinlashar  ekan. 
}
{
n
A
  operatorlar  ketma-ketligi  nol  operatorga  kuchli  ma’noda  yaqinlashmaydi, 
chunki 
.
0
lim
lim
≠
=
=
Θ
−
∞
→
∞
→
x
x
x
x
A
n
n
n
 
13.2.  Quyida  berilgan 
( )
2
,
l
L
Q
P
n
n
∈
  operatorlar  ketma-ketligining  kuchli  va 
tekis ma’noda birlik va nol operatorlarga yaqinlashishini teksiring. 
(
)
...
,
0
...,
,
0
,
,
,
,
:
2
1
2
2
n
n
n
x
x
x
x
P
P
=
→
l
l
, 
(
)
...
,
,
,
0
...,
,
0
,
0
,
3
2
1
+
+
+
=
−
=
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
Q
P
I
Q
 
Yechish. Ixtiyoriy  
2
l
∈
x
   uchun 
∑
∞
=
+
∞
→
→
=
1
2
2
,
0
k
k
n
n
n
x
x
Q
. 
Chunki 
2
l
∈
x
, ya’ni 
∑
∞
=
∞
<
=
1
2
2
k
k
x
x
. 
Shunday ekan, oxirgi qatorning qoldig‘i 
∑
∞
=
+
1
2
k
k
n
x
 
∞
→
n
  da  nolga  intiladi.  Demak 
}
{
n
Q   operatorlar  ketma-ketligi  nol  operatorga 
kuchli  ma’noda  yaqinlashar  ekan.  Bundan 
{
}
n
n
Q
I
P
−
=
  operatorlar  ketma-

 
171 
ketligining  birlik  operator  I   ga  kuchli  ma’noda  yaqinlashishi  kelib  chiqadi.  Endi 
}
{
n
Q   operatorlar  ketma-ketligi  nol  operatorga  tekis  ma’noda  yaqinlashadimi  yoki 
yo‘qmi, shuni tekshiramiz. 
∑
∞
=
+
≤
=
1
2
2
2
k
k
n
n
x
x
x
Q
. 
Bundan  
1
≤
n
Q
 
 
 
 
 
(13.2) 
ekanligini olamiz. Ikkinchi tomondan, 
1
1
+
+
=
n
n
n
e
e
Q
. Bundan  
1
1
=
≥
+
n
n
n
e
Q
Q
.                    (13.3) 
(13.2)  va  (13.3)  dan  ixtiyoriy 
N
n
∈
  uchun 
1
=
n
Q
  ga  kelamiz.  Demak, 
n
Q  
operatorlar  ketma-ketligi  nol  operatorga  tekis  (norma  bo‘yicha)  yaqinlashmaydi. 
Bu  yerdan 
{ }
n
P   operatorlar  ketma-ketligi  birlik  operator 
I   ga  tekis 
yaqinlashmasligi kelib chiqadi. 
13.3. 
[
]
2
/
1
,
2
/
1
2
−
L
 Hilbert fazosini o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi va  
(
)
( )
x
f
x
f
A
n
n
=
 
formula  bilan  aniqlanuvchi 
n
A   operatorlar  ketma-ketligining  nol  operatorga  tekis 
yaqinlashishini teksiring.  
Yechish. Ixtiyoriy 
[
]
2
/
1
,
2
/
1
2
−
∈
L
f
 uchun 
( )
( )
2
2
2
/
1
2
/
1
2
2
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
2
1
max
f
dt
x
f
x
dt
x
f
x
f
A
n
n
x
n
n
⋅
≤
≤
=
∫
∫
−
≤
≤
−
−
.   (13.4) 
Bundan 
n
n
A
2
1
≤
  tengsizlikni  olamiz.  Agar  biz 
n
A
≤
0
  ekanligini  hisobga  olib, 
∞
→
n
 da limitga o‘tsak, 
0
=
Θ
−
∞
→
n
n
A
lim
. 
Shunday ekan, 
n
A  operatorlar ketma-ketligi nol operatorga tekis yaqinlashadi. 
Yuqorida  kuchsiz  yaqinlasuvchi  operatorlar  ketma-ketligi  kuchli  ma’noda 
yaqinlashmasligiga  (13.1-misol)  va  kuchli  ma’noda  yaqinlashuvchi  operatorlar 
ketma-ketligi norma bo‘yicha yaqinlashmasligiga (13.2-misol) misol keltirildi. 
Quyida  biz  tekis  yaqinlashuvchi  operatorlar  ketma-ketligining  kuchli  ma’noda 
ham  yaqinlashuvchi  bo‘lishini  va  kuchli  ma’noda  yaqinlashuvchi  operatorlar 
ketma-ketligining kuchsiz ma’noda ham yaqinlashuvchi bo‘lishini isbotlaymiz. 
13.1-lemma.  Agar 
{ }
)
,
(
Y
X
L
A
n
⊂
  operatorlar  ketma-ketligi  biror 
(
)
Y
X
L
A
,
∈
 
operatorga  tekis  yaqinlashsa,  u  holda 
{ }
n
A   operatorlar  ketma-ketligi  A  
operatorga kuchli ma’noda ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. 
Isbot.  Lemma  shartiga  ko‘ra 
∞
→
→
−
n
A
A
n
,
0
.  U  holda  ixtiyoriy 
X
x
∈
 
uchun 
x
A
A
x
A
x
A
n
n
⋅
−
≤
−
. 
sonli  tengsizlikka  ega  bo‘lamiz.  Matematik  analizdan  ma’lumki,  tengsizliklarda 
limitga o‘tish mumkin. Bunga ko‘ra 

 
172 
0
lim
lim
0
=
⋅
−
≤
−
≤
∞
→
∞
→
x
A
A
x
A
x
A
n
n
n
n
. 
Demak, 
{ }
n
A   operatorlar  ketma-ketligi  A   operatorga  kuchli  ma’noda  ham 
yaqinlashar ekan. 
Shunga  o‘xshash  quyidagi  tasdiqni,  bevosita  ta’rifdan  foydalanib  isbotlash 
mumkin. 
13.2-lemma.  Agar 
{ }
)
,
(
Y
X
L
A
n
⊂
  operatorlar  ketma-ketligi  biror 
(
)
Y
X
L
A
,
∈
 
operatorga kuchli ma’noda yaqinlashsa, u holda 
{ }
n
A  operatorlar ketma-ketligi  A  
operatorga kuchsiz ma’noda ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. 
Isbot. Lemma shartiga ko‘ra ixtiyoriy  
X
x
∈
  uchun  
∞
→
→
−
n
x
A
x
A
n
,
0
. 
U holda ixtiyoriy 
X
x
∈
 va 
*
Y
f
∈
 uchun 
(
)
f
Ax
x
A
x
A
x
A
f
x
A
f
x
A
f
n
n
n
⋅
−
≤
−
=
−
≤
)
(
)
(
0
 
sonli tengsizlikka ega bo‘lamiz. Bu tengsizlikda 
∞
→
n
 da limitga o‘tib,  
0
lim
)
(
)
(
lim
0
=
⋅
−
≤
−
≤
∞
→
∞
→
f
Ax
x
A
x
A
f
x
A
f
n
n
n
n
 
munosabatni olamiz. Demak, 
{ }
n
A  operatorlar ketma-ketligi kuchsiz ma’noda ham 
A  operatorga  yaqinlashar ekan. 
13.1-teorema. Agar  Y  to‘la fazo bo‘lsa, u holda 
)
,
(
Y
X
L
 fazo ham to‘la, ya’ni 
Banax fazosi bo‘ladi. 
Isbot. 
{ }
)
,
(
Y
X
L
A
n
⊂
  ixtiyoriy  fundamental  ketma-ketlik  bo‘lsin,  ya’ni 
∞
→
m
n,
 da 
0
→
−
m
n
A
A
. U holda ixtiyoriy 
X
x
∈
 uchun  
∞
→
→
⋅
−
≤
−
m
n
x
A
A
x
A
x
A
m
n
m
n
,
,
0
. 
Shuning  uchun  ixtiyoriy 
X
x
∈
  da 
{ }
Y
x
A
n
⊂
  ketma-ketlik  fundamentaldir.  Y  
to‘la  fazo bo‘lgani  uchun 
{ }
x
A
n
 ketma-ketlik biror 
Y
y
∈
 elementga  yaqinlashadi. 
Demak,  har  bir 
X
x
∈
  ga 
{ }
x
A
n
  ketma-ketlikning  limiti  bo‘lgan    yagona 
Y
y
∈
 
element mos qo‘yilyapti. Bu moslikni 
Y
X
A
→
:
 orqali belgilaymiz: 
y
x
A
x
A
n
n
=
=
∞
→
lim
. 
Endi  
)
,
(
Y
X
L
A
∈
 ekanligini ko‘rsatamiz. Chiziqliligi: 
(
)
(
)
(
)
.
lim
lim
lim
lim
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
Ax
Ax
y
y
x
A
x
A
x
A
x
A
x
x
A
x
x
A
n
n
n
n
n
n
n
n
n
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
+
=
+
=
+
=
=
+
=
+
=
+
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
 
Endi A ning chegaralangan ekanligini  ko‘rsatamiz. Shartga ko‘ra  
0
→
−
m
n
A
A
,   
∞
→
m
n,
. 
Demak, (11-§ ning 6-topshirig‘iga qarang) 
∞
→
→
−
≤
−
m
n
A
A
A
A
m
n
m
n
,
,
0
. 
Bundan 
{ }
n
A
  sonli  ketma-ketlikning  fundamentalligi  kelib  chiqadi.  Haqiqiy 
sonlar 
fazosi 
R  
to‘la 
bo‘lganligi 
uchun, 
{ }
n
A
 
sonli 
ketma-ketlik 
yaqinlashuvchidir,  yaqinlashuvchi  ketma-ketlik  esa  chegaralangan  bo‘ladi.  Ya’ni 
shunday 
0
>
K
 son mavjudki, ixtiyoriy  
N
n
∈
 uchun  

 
173 
K
A
n
≤
 
tengsizlik bajariladi. Norma ta’rifidan  
x
K
x
A
x
A
n
n
⋅
≤
⋅
≤
. 
Bundan esa 
x
K
x
A
x
A
x
A
n
n
n
n
⋅
≤
=
=
∞
→
∞
→
lim
lim
. 
Bu  yerda  biz  normaning  uzluksizligidan  foydalandik.  Endi 
{ }
n
A   ketma-ketlikni 
chiziqli operatorlar fazosi 
(
)
Y
X
L
,
 da  A  ga yaqinlashishini ko‘rsatamiz. 
Ixtiyoriy 
0
>
ε
 son uchun shunday 
0
n  son mavjudki, barcha 
,
0
n
n
>
 
N
p
∈
 va 
1
≤
x
 lar uchun 
ε
<
−
+
x
A
x
A
n
p
n
 
tengsizlik  bajariladi.  Agar  so‘nggi  tengsizlikda 
∞
→
p
  da  limitga  o‘tsak  va 
normaning uzluksizligidan foydalansak, ixtiyoriy 
0
n
n
>
 va 
1
≤
x
 lar uchun  
ε
≤
−
x
A
x
A
n
 
tengsizlikka ega bo‘lamiz. Shuning uchun ixtiyoriy 
0
n
n
>
 da  
ε
≤
−
=
−
≤
x
A
Ax
A
A
n
x
n
1
sup
 
Demak, 
(
)
Y
X
L
,
 fazodagi norma ma’nosida 
A
A
n
n
=
∞
→
lim
. 
Shunday qilib, 
(
)
Y
X
L
,
 fazo to‘la fazo ekan. 
13.1-natija.  X   chiziqli  normalangan  fazoga  qo‘shma  bo‘lgan 
)
,
(
*
C
X
L
X
=
 
fazo Banax fazosidir. 
Isbot.  Kompleks  sonlar  to‘plami 
C
  to‘la  fazo,  shuning  uchun  13.1-teoremaga 
ko‘ra 
)
,
(
C
X
L
 Banax fazosi bo‘ladi.  ∆ 
Misollar. 13.4. 
[ ] [ ]
(
)
b
a
C
b
a
C
L
,
,
,
2
 fazoni to‘lalikka tekshiring. 
Yechish. 
[ ]
b
a
C
Y
,
=
  to‘la  fazo  bo‘lganligi  uchun    13.1-teoremaga  ko‘ra 
[ ] [ ]
(
)
b
a
C
b
a
C
L
,
,
,
2
 to‘la fazo, ya’ni Banax fazosi bo‘ladi.  ∆ 
13.5. 
[ ] [ ]
(
)
b
a
C
b
a
C
L
,
,
,
2
  fazo  uchun  13.1-teorema  sharti  bajariladimi?  U 
to‘lami? 
Yechish. 
[ ]
b
a
C
Y
,
2
=
  fazo  to‘la  bo‘lmagan  (3.8  va  8.12-misollarga  qarang) 
normalangan  fazo  bo‘lganligi  uchun  13.1-teorema  sharti  bajarilmaydi.  Shuning 
uchun  biz 
[ ] [ ]
(
)
b
a
C
b
a
C
L
,
,
,
2
  fazoni  to‘la  fazo  deya  olmaymiz.  Aniqlik  uchun 
1
,
1
=
−
=
b
a
  deymiz  va 
[ ] [ ]
(
)
1
1
1
1
2
,
,
,
−
−
C
C
L
  fazoning  to‘la  emasligini 
ko‘rsatamiz.  Buning  uchun 
[ ]
1
,
1
2
−
C
  fazoning  to‘la  emasligini  ko‘rsatishda 
qo‘llanilgan (3.8-misolga qarang), uzluksiz funksiyalarning 
( )
[
]
(
)
[
]




∈
−
∈
−
−
∈
−
=
1
,
/
1
,
1
/
1
,
/
1
,
,
/
1
,
1
,
1
n
x
n
n
x
nx
n
x
x
f
n
  
 
(13.5) 

 
174 
ketma-ketligidan  foydalanib, 
[ ] [ ]
(
)
1
;
1
,
1
;
1
2
−
−
∈
C
C
L
A
n
N
n
∈
,
  operatorlar  ketma-
ketligini quyidagicha quramiz:  
(
)( )
( ) ( )
x
f
x
f
x
f
A
n
n
=
.  
 
 
(13.6)  
n
A  operatorning chiziqli va uzluksizligi oson tekshiriladi. 
{ }
n
A  operatorlar ketma-
ketligining 
[
] [ ]
(
)
1
1
1
1
2
;
,
;
−
−
C
C
L
  fazoda  fundamental  ekanligini  ko‘rsatamiz. 
Buning uchun 
m
n
A
A
−
 normani hisoblaymiz: 
( )
( )
( )
dx
x
f
x
f
x
f
f
A
f
A
A
A
m
n
m
n
f
m
n
∫
−
≤
−
=
−
=
−
1
1
2
2
1
sup
.   (13.7) 
(13.7) va 
( )
1
1
1
≤
=
≤
≤
−
x
f
f
x
max
 
ekanligidan foydalansak, 
( )
( )
[ ]
1
;
1
1
1
2
2
−
−
−
=
−
≤
−
∫
C
m
n
m
n
m
n
f
f
dx
x
f
x
f
A
A
       (13.8) 
tengsizlikni  olamiz. 
{ }
n
f
  ketma-ketlikning 
[ ]
1
,
1
2
−
C
  fazoda  fundamentalligi  3.8-
misolda  isbotlangan.  (13.8)  dan  hamda 
{ }
n
f
  ketma-ketlikning  fundamentalligidan 
{ }
n
A   operatorlar  ketma-ketliginining  fundamentalligi  kelib  chiqadi.  Lekin 
{ }
n
A  
operatorlar  ketma-ketligi 
[ ] [ ]
(
)
1
,
1
,
1
,
1
2
−
−
C
C
L
  fazoda  yaqinlashuvchi  emas. 
Teskaridan 
faraz 
qilaylik, 
{ }
n
A  
operatorlar 
ketma-ketligi 
 
biror 
∈
A
[ ] [ ]
(
)
1
,
1
,
1
,
1
2
−
−
C
C
L
  operatorga  yaqinlashsin.  U  holda    ixtiyoriy   
[ ]
b
a
C
f
,
∈
 
uchun 
0
=
−
∞
→
Af
f
A
n
n
lim
 tenglik o‘rinli. Ikkinchidan 
( )
1
0
≡
x
f
 uchun 
(
)( )
( )
N
n
x
f
x
f
A
n
n
∈
=
,
0
 
tenglik  o‘rinli  va 
( )( )
( )
x
g
x
Af
0
0
=
  deylik.  3.8-misolda 
{ }
n
f
  ketma-ketlikning 
birorta  ham  uzluksiz  funksiyaga 
[ ]
1
,
1
2
−
C
  fazo  normasida  yaqinlasha  olmasligi 
ko‘rsatilgan  edi,  jumladan 
{
}
n
n
f
f
A
=
0
  ketma-ketlik 
0
0
Af
g
=
  funksiyaga  ham 
yaqinlasha  olmaydi.  Bu  qarama  qarshilik 
{ }
n
A   operatorlar  ketma-ketligining 
yaqinlashuvchi  emasligini  bildiradi.  Demak, 
[ ] [ ]
(
)
1
1
1
1
2
,
,
,
−
−
C
C
L
  to‘la  bo‘lmagan 
normalangan fazo ekan.  ∆ 
Banax-Shteynxaus teoremasi yordamida ko‘rsatish mumkinki, agar  X  va  Y  lar 
Banax  fazolari  bo‘lsa,  u  holda 
)
,
(
Y
X
L
  fazo  kuchli  yaqinlashishga  nisbatan  ham 
to‘la bo‘ladi.