O`zbekiston Oliy va O`rta maxsus ta`lim vazirligi Namangan Davlat universiteti

9.3-ta’rif.  Agar  ixtiyoriy 
β
α
≠
  da 
(
)
0
=
β
α
x
,
x
  bo‘lsa,  u  holda  nolmas 
{ }
α
x
 
vektorlar  sistemasiga  ortogonal  sistema  deyiladi.  Agar  bu  holda  har  bir 
elementning  normasi  birga  teng  bo‘lsa, 
{ }
α
x
  ortogonal  normalangan  sistema, 
qisqacha ortonormal sistema deyiladi. 
Agar 
{ }
α
x
  vektorlar  ortogonal  sistemani  tashkil  qilsa,  u  holda 
{ }
α
x
  chiziqli 
bog‘lanmagan bo‘ladi. Haqiqatan ham, 
θ
α
α
α
=
+
+
+
n
n
x
...
x
x
2
2
1
1
 
bo‘lsin.  Bu  tenglikning  ikkala  qismini 
i
x   ga  skalyar  ko‘paytirib,  quyidagiga  ega 
bo‘lamiz 
(
)
(
)
n
,...,
,
i
,
x
,
x
x
...
x
x
,
x
i
i
i
n
n
i
2
1
0
2
2
1
1
=
=
=
+
+
+
α
α
α
α
 
(
)
0
,
≠
i
i
x
x
 bo‘lgani uchun, barcha 
}
,...,
2
,
1
{
n
i
∈
 larda 
0
=
i
α
 bo‘ladi. 
9.4-ta’rif. Agar 
{ }
E
x
⊂
α
 sistemani o‘zida saqlovchi minimal yopiq qism fazo 
E  fazoning o‘ziga teng bo‘lsa, u holda 
{ }
α
x
 sistema to‘la deyiladi. 
9.5-ta’rif.  Agar 
{ }
α
x
  ortonormal  sistema  to‘la  bo‘lsa,  u  holda  bu  sistema  E  
fazodagi ortonormal (ortogonal normalangan) bazis deyiladi. 
Ravshanki, agar 
{ }
α
x
 - ortogonal sistema bo‘lsa, u holda 






α
α
x
x
 
ortonormal sistema bo‘ladi. 

 
113 
Misollar.  9.1. 
(
)
{
}
R
x
,
x
...,
,
x
,
x
x
R
i
n
n
∈
=
=
2
1
  -  n -  o‘lchamli  Evklid  fazosi.  Bu 
fazoda skalyar ko‘paytma quyidagicha kiritiladi 
( ) ∑
=
=
n
i
i
i
y
x
y
,
x
1
. 
Bu fazoda  
n
k
k
k
,
e
1
=
0)}
,0,
,1
0,0,
(
=
{
K
K
4
4 3
4
4 2
1
 
vektorlar sistemasi ortonormal bazisni tashkil qiladi. 
9.2.  Kvadrati  bilan  jamlanuvchi  ketma-ketliklar  fazosi 
2
l
  ni  qaraymiz.  Bu 
fazoda skalyar ko‘paytma quyidagicha kiritiladi 
( )
∑
∞
=
=
1
,
i
i
i
y
x
y
x
. 
2
l
 fazoda ortonormal bazis sifatida 
∞
1
=
)}
,0,
,1
0,0,
(
=
{
n
n
n
e
K
K
4
4 3
4
4 2
1
 
vektorlar sistemasini olish mumkin. 
9.3. 
]
,
[
2
b
a
C
 fazoda skalyar ko‘paytma quyidagicha kiritiladi 
( )
( ) ( )
∫
=
b
a
dt
t
g
t
f
g
f ,
                         (9.4) 
Bu fazoda  rthogonal (normalanmagan) bazisga 
K
,
2
,
1
,
2
sin
,
2
cos
,
2
1
=
−
−
n
a
b
t
n
a
b
t
n
π
π
 
funksiyalardan tashkil topgan trigonometrik sistema misol bo‘la oladi. 
9.4. 
]
,
[
2
b
a
L
  fazoda  ham  f   va 
g
  elementlarning  skalyar  ko‘paytmasi  (9.4) 
tenglik bilan aniqlanadi. 
9.6-ta’rif.  Agar  E   Evklid  fazosining  hamma  yerida  zich  bo‘lgan  sanoqli 
to‘plam mavjud bo‘lsa,  E   rthogona Evklid fazosi deyiladi. 
Yuqorida keltirilgan 
n
R , 
2
l
, 
]
,
[
2
b
a
C
  va 
]
,
[
2
b
a
L
  fazolar  (2.3-2.6  misollarga 
qarang)  separabel  Evklid  fazolariga  misol  bo‘ladi.  Har  qanday  separabel  Evklid 
fazosidagi ixtiyoriy ortonormal sistema ko‘pi bilan sanoqlidir. Mustaqil isbotlang. 
9.1-teorema.  (Ortogonallashtirish  jarayoni).  Bizga  E   Evklid  fazosida  chiziqli 
bog‘lanmagan 
...
,
f
...,
,
f
,
f
n
2
1
                    (9.5) 
elementlar  sistemasi    berilgan  bo‘lsin.  U  holda  E   Evklid  fazosida  quyidagi 
shartlarni  qanoatlantiruvchi 
...
,
...,
,
,
n
φ
φ
φ
2
1
                   (9.6) 
sistema mavjud:  
1) (9.6) ortonormal sistema.  
2)  Har  bir 
n
φ   element 
...
,
f
...,
,
f
,
f
n
2
1
  elementlarning  chiziqli  kombinatsiyasidan 
iborat, ya’ni 

 
114 
;
a
,
f
a
...
f
a
f
a
nn
n
nn
n
n
n
0
2
2
1
1
>
+
+
+
=
φ
 
3) har bir  
n
f  element 
0
2
2
1
1
>
+
+
+
=
nn
n
nn
n
n
n
b
,
b
...
b
b
f
φ
φ
φ
 
ko‘rinishda tasvirlanadi.  
4) (9.6) sistemaning har bir elementi 1-3 shartlar bilan bir qiymatli aniqlanadi. 
Isbot. 
1
φ
 element 
1
11
f
a
 ko‘rinishda izlanadi va 
11
a
  
(
)
(
)
1
1
1
2
11
2
1
=
=
f
,
f
a
,
φ
φ
 
shartdan aniqlanadi. Bu yerdan 
(
)
1
2
1
11
1
1
f
f
,
f
a
=
=
 
Ko‘rinib  turibdiki, 
1
φ
  bir  qiymatli  aniqlanadi.  Faraz  qilaylik,  1-3  shartlarni 
qanoatlantiruvchi 
}
1
,...
2
,
1
{
,
−
∈
n
k
k
φ
 elementlar qurilgan bo‘lsin. Ushbu  
(
) (
)
(
)
1
1
2
2
1
1
−
−
−
−
−
−
=
n
n
n
n
n
n
n
,
f
...
,
f
,
f
f
φ
φ
φ
φ
φ
φ
ψ
 
elementni  kiritamiz.  Ko‘rinib  turibdiki,  agar 
{
}
1
...,
,
2
,
1
−
∈
n
k
  bo‘lsa, 
(
)
0
=
k
n
,
φ
ψ
 
va 
(
)
0
>
n
n
,
ψ
ψ
  bo‘ladi.  Chunki 
(
)
0
=
n
n
,
ψ
ψ
  tenglik  (9.5)  sistemaning  chiziqli 
erkli ekanligiga zid. 
(
)
n
n
n
n
,
ψ
ψ
ψ
φ
=
 
deymiz. 
n
ψ   vektorning  qurilishiga  ko‘ra  u 
n
f
...,
,
f
,
f
2
1
  vektorlarning  chiziqli 
kombinatsiyasi va demak, 
n
φ
 ham ularning chiziqli kombinatsiyasi, ya’ni 
n
nn
n
n
n
f
a
...
f
a
f
a
+
+
+
=
2
2
1
1
φ
,   bu yerda   
(
)
0
1
>
=
n
n
nn
,
a
ψ
ψ
 
Bundan tashqari 
(
)
1
=
k
k
,
φ
φ
,  
(
)
(
)
n
k
k
n
<
=
,
0
,
φ
φ
  va  
(
)
0
2
2
1
1
>
=
+
+
+
=
n
n
nn
n
nn
n
n
n
,
b
,
b
...
b
b
f
ψ
ψ
φ
φ
φ
, 
ya’ni 
n
φ
  teorema  shartlarini  qanoatlantiradi.  (9.5)  sistemadan  1-3  shartlarni 
qanoatlantiruvchi  (9.6)  sistemaga  o‘tish  ortogonallashtirish  jarayoni  deyiladi. 
Ko‘rinib  turibdiki,  (9.5)  va  (9.6)  sistemalardan  hosil  bo‘lgan  qism  fazolar  ustma-
ust tushadi. Bundan kelib chiqadiki, bu sistemalar bir vaqtda to‘la bo‘ladi.  ∆ 
9.1-natija.  Har  qanday  separabel  Evklid  fazosida  sanoqli  ortonormal  bazis 
mavjud. 
Isbot. 
n
φ
  -  E   Evklid  fazosining  hamma  yerida  zich  sanoqli  to‘plam  bo‘lsin.  
Undan    chiziqli    bog‘langan  elementlarni  chiqarib  tashlab,  qolgan 
{ }
n
f   sistemaga 
ortogonallashtirish jarayonini qo‘llab, ortonormal bazisni hosil qilamiz. ∆  
 
 
 

 
115 
9.1. Bessel tengsizligi. Yopiq ortogonal sistema 
 
Bizga  n   -  o‘lchamli 
E
  Evklid  fazosi  va  uning 
n
e
e
e
...,
,
,
2
1
  ortonormal  bazisi  
berilgan bo‘lsin. U holda ixtiyoriy  
E
x
∈
 elementni 
∑
=
=
n
k
k
k
e
c
x
1
                         (9.7) 
yoyilma ko‘rinishda yozish mumkin, bu yerda 
(
)
,
,
k
k
e
x
c
=
{
}
n
k
....,
,
2
,
1
∈
. 
Bu  yoyilmani  cheksiz  o‘lchamli  Evklid  fazolari  uchun  qanday  umumlashtirish 
mumkinligini ko‘rib chiqamiz. Bizga 
E
 Evklid fazosining 
...
,
...,
,
,
2
1
n
φ
φ
φ
                     (9.8) 
ortonormal sistemasi va 
E
f
∈
 ixtiyoriy elementi berilgan bo‘lsin.  f  elementga 
(
)
,...
....,
,
2
,
1
,
,
n
k
f
c
k
k
=
=
φ
             (9.9) 
sonlar ketma-ketligini mos qo‘yamiz va 
k
c  sonlarni  f  elementning koordinatalari 
yoki 
}
{
n
φ
 sistemadagi Fur’e koeffitsiyentlari deb ataymiz. 
∑
∞
=
1
k
k
k
c
φ                                (9.10) 
formal qatorni esa  f  elementning 
}
{
n
φ
 ortonormal sistema bo‘yicha  Fur’e qatori 
deb ataymiz. 
Quyidagicha  savol  tug‘iladi.  (9.10)  qator  yaqinlashuvchimi?  Ya’ni  qatorning 
qismiy yig‘indilar ketma-ketligi  
∑
=
=
n
k
n
k
k
f
c
1
φ
 
biror elementga yaqinlashadimi? Agar 
}
{
n
f
 ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lsa, u 
holda (9.10) qatorning yig‘indisi  f  ga teng bo‘ladimi? 
Bu  savollarga  javob  berish  uchun  quyidagi  masalani  qaraymiz.  Berilgan  n  
natural son uchun 
}
{
n
,...
,
k
,
k
2
1
∈
α
 koeffitsiyentlarni shunday tanlash kerakki, 
f  va 
∑
=
=
n
k
k
k
n
S
1
φ
α
                   (9.11) 
yig‘indi  orasidagi 
n
S
f
−
  masofa  minimal  bo‘lsin.  Bu  masofa  kvadratini 
hisoblaymiz. (9.8) ortonormal sistema bo‘lgani uchun 
(
)
(
)
(
)
(
)
.
c
c
f
c
c
c
f
,
f
f
,
f
,
f
,
,
f
f
,
f
f
,
f
S
f
n
k
k
n
k
k
k
n
k
k
n
k
k
n
k
k
n
k
k
k
n
k
k
n
k
k
k
n
j
j
j
n
k
k
k
n
k
k
k
n
k
k
k
n
k
k
k
n
k
k
k
n
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
+
=
−
+
+
+
−
=
+
−
=






+
+






−






−
=






−
−
=
−
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
α
α
α
α
φ
α
φ
α
φ
α
φ
α
φ
α
φ
α
φ
α
 
Bu ifoda 

 
116 
}
{
n
,...,
,
k
,
c
k
k
2
1
∈
∀
=
α
                           (9.12) 
bo‘lgan holda minimumga erishadi. Bu holda 
.
1
2
2
2
∑
=
−
=
−
n
k
k
n
c
f
S
f
                           (9.13) 
Biz  isbotladikki,  (9.11)  ko‘rinishdagi  yig‘indilar  ichida  f   elementdan  Fur’e 
qatorining  
∑
=
=
n
k
k
k
n
c
f
1
φ  
qismiy yig‘indisi eng kam chetlanar ekan. 
Bu tasdiqning  rthogona ma’nosi shundan iboratki, 
∑
=
−
n
k
k
k
f
1
φ
α
 
 rthog 
n
φ
φ
φ
...,
,
,
2
1
  vektorlarning  barcha  chiziqli  kombinatsiyalariga 
 rthogonal, ya’ni 
n
S
f
−
 element 
n
φ
φ
φ
...,
,
,
2
1
 vektorlardan hosil bo‘lgan qism 
fazoga  rthogonal bo‘lishi uchun (9.12) shartning bajarilishi zarur va yetarlidir. 
0
2
≥
−
n
S
f
 bo‘lgani uchun (9.13) tenglikka ko‘ra  
2
1
2
f
c
n
k
k
≤
∑
=
. 
Bu tengsizlik ixtiyoriy 
N
n
∈
 uchun o‘rinli, shunday ekan,  
∑
∞
=
1
2
k
k
c
 
qator yaqinlashuvchi va  
2
1
2
f
c
k
k
≤
∑
∞
=
.                             (9.14) 
So‘nggi (9.14) tengsizlik Bessel tengsizligi deyiladi. 
9.7-ta’rif. Agar ixtiyoriy 
E
f
∈
 uchun 
2
1
2
f
c
k
k
=
∑
∞
=
,  
(
)
k
k
f
c
φ
,
=
                    (9.15) 
tenglik  o‘rinli  bo‘lsa, 
}
{
n
φ
  ortonormal  sistema  yopiq  sistema  deyiladi.  (9.15) 
tenglik Parseval tengligi deyiladi. 
(9.13)  tenglikdan  kelib  chiqadiki, 
}
{
n
φ
  ortonormal  sistemaning  yopiq  bo‘lishi 
uchun, har bir 
E
f
∈
 da  
∑
∞
=
1
k
k
k
c
φ  
Fur’e qatorining qismiy yig‘indilar ketma-ketligi  f  elementga yaqinlashishi kerak. 
9.2-teorema.  Separabel  Evklid  fazosida  har  qanday  to‘la  ortonormal  sistema 
yopiq va aksincha. 
Isbot.  E   dan  olingan  ixtiyoriy 
}
{
n
φ
  to‘la  ortonormal  sistemani  qaraymiz. 
Istalgan 
E
f
∈
  uchun 
(
)
,...
....,
,
2
,
1
,
,
n
k
f
c
k
k
=
=
φ
  Fur’e  koeffitsiyentlarini 

 
117 
olamiz. 
}
{
n
φ
  sistema  to‘la  bo‘lgani  uchun  ixtiyoriy 
0
>
ε
  songa  ko‘ra  shunday 
∑
=
N
k
k
k
1
φ
α
 chekli yig‘indi mavjud bo‘lib, 
ε
φ
α
<
−
∑
=
2
1
N
k
k
k
f
 
tengsizlik bajariladi. U holda  
N
n
≥
  bo‘lganda  
ε
φ
α
φ
<
−
≤
−
=
−
≤
−
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
2
1
2
1
1
2
2
1
2
2
k
N
k
k
k
N
k
k
N
k
k
n
k
k
f
c
f
c
f
c
f
. 
Olingan bu munosabatlardan  
∑
∞
=
=
1
2
2
k
k
c
f
 
Parseval tengligi kelib chiqadi, ya’ni 
}
{
n
φ
 sistema yopiq ekan.  
Endi 
}
{
n
φ
 - 
E
 dan olingan ixtiyoriy yopiq ortonormal sistema bo‘lsin. 
E
f
∈
 
vektor  qanday  bo‘lmasin,  uning  Fur’e  qatori 
∑
∞
=
1
k
k
k
c
φ   ning  qismiy  yig‘indilar 
ketma-ketligi   f   elementga yaqinlashadi, chunki 
0
lim
lim
1
2
2
2
1
=






−
=
−
∑
∑
=
∞
→
=
∞
→
n
k
k
n
n
k
k
k
n
c
f
c
f
φ
. 
Shuning  uchun 
}
{
n
φ
  -  sistemaning  barcha  chekli  kombinatsiyalari  to‘plami 
E
 
ning hamma yerida zich bo‘ladi. Ya’ni 
}
{
n
φ
 to‘la ortonormal sistema bo‘ladi. ∆