O`zbekiston Oliy va O`rta maxsus ta`lim vazirligi Namangan Davlat universiteti
Download 1.75 Mb. Pdf ko'rish
|
fumksional matematika
- Bu sahifa navigatsiya:
- 6.1. Chiziqli funksionalning geometrik manosi
- Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar 1. Chiziqli funksionalning geometrik manosini tushuntiring. 2.
6.3-ta'rif. Additiv va bir jinsli funksional chiziqli funksional deyiladi. Additiv va qo‘shma bir jinsli funksional qo‘shma chiziqli (yoki antichiziqli) funksional deyiladi. Chiziqli funksionallarga misollar keltiramiz. 6.1. ( ) { } R x x x x R i n n ∈ = ≡ , ..., , 1 -- n -o‘lchamli vektor fazo va ( ) n n R a a a a ∈ = , , , 2 1 K belgilangan element bo‘lsin. U holda R R f n → : , ( ) ∑ = = n i i i x a x f 1 moslik n R da chiziqli funksional bo‘ladi. ( ) ∑ = = n k k k z a z u 1 tenglik bilan aniqlanuvchi C C u n → : akslantirish qo‘shma chiziqli funksionalni aniqlaydi. 6.2. ∫ = b a dt t x x I ) ( ) ( , ∫ = b a dt t x x I ) ( ) ( * integrallar [ ] b a C , fazoda mos ravishda chiziqli va qo‘shma chiziqli funksionallarga misol bo‘ladi. 6.3. [ ] b a C y , 0 ∈ berilgan element bo‘lsin. Har bir [ ] b a C x , ∈ funksiyaga ∫ = b a dt t y t x x F ) ( ) ( ) ( 0 sonni mos qo‘yamiz. Bu funksionalning chiziqliligi integrallash amalining asosiy xossalaridan kelib chiqadi. 85 dt t y t x x F b a ) ( ) ( ) ( * 0 ∫ = funksional [ ] b a C , fazoda qo‘shma chiziqli funksional bo‘ladi. 6.4. 2 l fazoda chiziqli funksionalga misol keltiramiz. k - belgilangan natural son bo‘lsin. 2 l dagi har bir ) , , , , ( 2 1 K K k x x x x = uchun k k x x f = ) ( deymiz. Bu funksionalning chiziqliligi ko‘rinib turibdi. 6.1. Chiziqli funksionalning geometrik ma'nosi Bizga L chiziqli fazoda aniqlangan, nolmas f chiziqli funksional berilgan bo‘lsin. Bu f funksional uchun 0 = ) (x f shartni qanoatlantiruvchi barcha L x ∈ nuqtalar to‘plami uning yadrosi deyiladi va } ) ( { 0 = ∈ = x f : L x f Ker ko‘rinishda belgilanadi. f Ker to‘plam L ning qism fazosi bo‘ladi. Haqiqatan ham, agar f Ker y , x ∈ bo‘lsa, u holda ixtiyoriy b a, sonlar uchun ( ) ( ) ( ) 0 = + = + y f b x f a y b x a f tenglik o‘rinli. f Ker qism fazoning koo‘lchami birga teng. Haqiqatan ham, f Ker ga qarashli bo‘lmagan, ya'ni 0 ) ( 0 ≠ x f bo‘ladigan qandaydir 0 x elementni olamiz. Bunday element mavjud, chunki 0 ) ( ≠ x f (aynan nolga teng emas). Umumiylikni chegaralamasdan hisoblashimiz mumkinki, 1 ) ( 0 = x f (aks holda biz ) ( / 0 0 x f x ni olgan bo‘lar edik, chunki 1 )) ( / ( 0 0 = x f x f ). Ixtiyoriy x element uchun ( ) x f x x y ⋅ − = 0 desak, u holda ( ) ( ) 0 0 = ⋅ − = x f x x f y f ) ( , ya'ni f Ker y ∈ . Qaralayotgan x element , y x x + = 0 α f Ker y ∈ ko‘rinishda tasvirlanadi va bu tasvir yagonadir. Haqiqatan ham, , y x x + = 0 α f Ker y ∈ va f Ker y , y x x ∈ ′ ′ + ′ = 0 α bo‘lsin. U holda y y x a a − ′ = ′ − 0 ) ( tenglik o‘rinli. Agar a a ′ = bo‘lsa, y y ′ = ekanligi ko‘rinib turibdi. Agar 0 ≠ ′ − a a bo‘lsa, u holda f Ker a a y y x ∈ ′ − − ′ = 0 ekanligi kelib chiqadi. Bu esa f Ker x ∉ 0 shartga zid. Bu qarama-qarshilik tasdiqni isbotlaydi. 86 Bu yerdan kelib chiqadiki, ikkita 1 x va 2 x elementlar f Ker qism fazo bo‘yicha bitta qo‘shni sinfda yotishi uchun ) ( ) ( 2 1 x f x f = shartning bajarilishi yetarli va zarur. Haqiqatan ham, ( ) ( ) f Ker y , y x x f x , f Ker y , y x x f x ∈ + = ∈ + = 2 2 0 2 2 1 1 0 1 1 tenglikdan ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0 2 1 2 1 y y x x f x f x x − + − = − tenglik kelib chiqadi. Bu yerdan ko‘rinib turibdiki, f Ker x x ∈ − 2 1 bo‘lishi uchun ( ) ( ) 0 2 1 = − x f x f bo‘lishi yetarli va zarur. f Ker qism fazo bo‘yicha har qanday ξ sinf o‘zining ixtiyoriy vakili bilan bir qiymatli aniqlanadi. Bunday vakil sifatida a 0 x ko‘rinishdagi elementni olish mumkin. Bu yerdan ko‘rinadiki, f Ker / L qism fazoning o‘lchami birga teng ekan, ya'ni f Ker ning koo‘lchami birga teng. Chiziqli funksionalning yadrosi f Ker o‘zida nolga aylanadigan funksionalni o‘zgarmas ko‘paytuvchi aniqligida bir qiymatli aniqlaydi. Haqiqatan ham, f va g funksionallar yadrolari teng bo‘lsin, ya'ni g Ker f Ker = . U holda f uchun L x ∈ 0 elementni shunday tanlaymizki, 1 ) ( 0 = x f bo‘lsin. Ko‘rsatamizki, 0 ) ( 0 ≠ x g . Ixtiyoriy L x ∈ uchun ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 x g x f y g x g x f x g f Ker y , y x x f x = + = ∈ + = va tengliklarga egamiz. Agar 0 ) ( 0 = x g bo‘lsa, 0 ) ( ≡ x g bo‘lar edi. ) ( ) ( ) ( 0 x f x g x g = tenglikdan f va g funksionallarning proporsional ekanligi kelib chiqadi. Koo‘lchami birga teng bo‘lgan ixtiyoriy L ′ qism fazo berilgan bo‘lsin. U holda shunday f chiziqli funksional mavjudki, L f Ker ′ = bo‘ladi. Buning uchun L ′ qism fazoda yotmaydigan ixtiyoriy L x ∈ 0 elementni olamiz va ixtiyoriy L x ∈ elementni L y y x a x ′ ∈ + = , 0 ko‘rinishda yozamiz. Bunday yoyilma yagona. a x f = ) ( tenglik yordamida aniqlanuvchi chiziqli funksionalning yadrosi L f Ker ′ = bo‘ladi. L chiziqli fazoda koo‘lchami birga teng bo‘lgan qandaydir L ′ qism fazo berilgan bo‘lsin. U holda L fazoning L ′ qism fazo bo‘yicha har qanday qo‘shni sinfi L ′ qism fazoga parallel bo‘lgan gipertekislik deyiladi (xususan, L ′ qism fazoning o‘zi θ elementni saqlovchi, ya'ni "koordinata boshidan o‘tuvchi" gipertekislik hisoblanadi). Boshqacha aytganda, L ′ qism fazoga parallel bo‘lgan M ′ gipertekislik - bu L ′ qism fazoni qandaydir L x ∈ 0 vektorga parallel ko‘chirishdan paydo bo‘ladigan to‘plam, ya'ni { } L x x x y y x L M ′ ∈ + = = + ′ = ′ , : 0 0 . Ko‘rinib turibdiki, agar L x ′ ∈ 0 bo‘lsa, L M ′ = ′ bo‘ladi, agarda L x ′ ∉ 0 bo‘lsa, u holda L M ′ ≠ ′ . 87 Agar f - L chiziqli fazoda aniqlangan chiziqli funksional bo‘lsa, } 1 ) ( : { = ∈ = x f L x M f to‘plam f Ker qism fazoga parallel gipertekislik bo‘ladi. Haqiqatan ham, 1 ) ( 0 = x f bo‘ladigan 0 x elementni tanlab, ixtiyoriy elementni f Ker y , y x x ∈ + = 0 α ko‘rinishda yozishimiz mumkin. Ikkinchi tomondan, agar M ′ - koo‘lchami birga teng bo‘lgan L ′ qism fazoga parallel va koordinata boshidan o‘tmaydigan gipertekislik bo‘lsa, u holda shunday yagona f chiziqli funksional mavjudki, } 1 ) ( : { = = ′ x f x M bo‘ladi. Haqiqatan ham, L x x L M ∈ + ′ = ′ 0 0 , bo‘lsin. U holda har qanday L x ∈ element yagona ravishda L y y x a x ′ ∈ + = , 0 ko‘rinishda tasvirlanadi. a x f = ) ( tenglik yordamida aniqlanadigan chiziqli funksional izlanayotgan funksional bo‘ladi. Uning yagonaligi quyidagidan kelib chiqadi: Agar M x ′ ∈ da 1 ) ( = x g bo‘lsa, u holda L y ′ ∈ da 0 = ) ( y g bo‘ladi. Bundan ) ( ) ( 0 0 y x a f a y x a g + = = + tenglik kelib chiqadi. Shunday qilib, L chiziqli fazoda aniqlangan noldan farqli barcha chiziqli funksionallar bilan koordinata boshidan o‘tmaydigan L dagi barcha gipertekisliklar o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatildi. Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar 1. Chiziqli funksionalning geometrik ma'nosini tushuntiring. 2. ] , [ b a C fazoda gipertekislikka misol keltiring. 3. ] , [ b a C fazoda ) ( ) ( b x x f = chiziqli funksionalni qaraymiz. ] , [ b a C fazoda } 1 ) ( : ] , [ { = ∈ = x f b a C f M to‘plam gipertekislik bo‘ladimi? 4. ) ( ) ( , ] , [ : a x x f R b a V f = → chiziqli funksionalning yadrosini toping. ] [ b , a V f Ker 0 = tenglik to‘g‘rimi? 5. R C f → − ] 1 , 1 [ : va ( ) ( ) ∫ − = 1 1 dt t x x f funksionalning chiziqli ekanligini ko‘rsating. } ) ( ) ( : ] 1 , 1 [ { ] 1 , 1 [ t x t x C x C − = − − ∈ = − − toq funksiyalar to‘plami uchun f Ker , C ⊂ − − ] [ 1 1 munosabat to‘g‘rimi? 6. ( ) 1 3 , : x x f R R f = → chiziqli funksionalning yadrosini toping. Bu fazoda } 1 ) ( : { 3 = ∈ x f R x gipertekislikni chizmada tasvirlang. 88 7. Qavariq to‘plamlar va qavariq funksionallar L - haqiqiy chiziqli fazo, x va y uning ikki nuqtasi bo‘lsin. U holda [ ] 1 , 1 , 0 , , = + ∈ + β α β α β α y x shartni qanoatlantiruvchi barcha elementlar to‘plami x va y nuqtalarni tutashtiruvchi kesma deyiladi va u ] , [ y x bilan belgilanadi, ya'ni [ ] [ ] { } 1 , 1 , 0 , : , = + ∈ + = β α β α β α y x y x . 7.1-ta'rif. Agar L M ⊂ to‘plam o‘zining ixtiyoriy M y x ∈ , nuqtalarini tutashtiruvchi ] , [ y x kesmani ham o‘zida saqlasa, M ga qavariq to‘plam deyiladi. 7.2-ta'rif. Agar biror E x ∈ nuqta va ixtiyoriy L y ∈ uchun shunday 0 ) ( > = y ε ε son mavjud bo‘lib, barcha ε < | | , t t larda E ty x ∈ + munosabat bajarilsa, E x ∈ nuqta L E ⊂ to‘plamning yadrosiga qarashli deyiladi. L E ⊂ to‘plamning yadrosi - ) (E J bilan belgilanadi, ya'ni ( ) { } E ty x t R t y L y E x E J ∈ + < ∈ ∀ > = ∃ ∈ ∀ ∈ = , , , 0 ) ( , : ε ε ε . 7.3-ta'rif. Yadrosi bo‘sh bo‘lmagan qavariq to‘plam qavariq jism deyiladi. Misollar. 7.1. 3 R fazoda kub, shar, tetrayedr, tekislikda to‘g‘ri to‘rtburchak, doira, uchburchak qavariq jism bo‘ladi. 2 l fazodagi ≤ ∈ = ∑ ∞ = 1 2 2 1 | | : ] 1 , 0 [ n n x x B l birlik shar qavariq jism bo‘ladi. 7.2. 2 R da to‘g‘ri chiziq (kesma) qavariq to‘plam bo‘ladi, lekin qavariq jism bo‘lmaydi. Chunki, uning yadrosi bo‘sh to‘plam (mustaqil isbotlang). Agar M qavariq to‘plam bo‘lsa, u holda uning yadrosi ) (M J ham qavariq to‘plamdir. Haqiqatan ham, ( ) M J y , x ∈ va 1 0 = + ≥ + = β α β α β α , , , y x z bo‘lsin. U holda ixtiyoriy L a ∈ uchun shunday 0 , 0 2 1 > > ε ε sonlar mavjudki, 2 2 1 1 , ε ε < < t t shartni qanoatlantiruvchi barcha 2 1 , t t larda a t x 1 + va a t y 2 + elementlar M to‘plamda yotadi. Bundan kelib chiqadiki, barcha ε < | | t , ( ) 2 1 , min ε ε ε = larda ( ) ( ) ( ) M J z , M a t z a t a t y x a t y a t x ∈ ∈ + = + + + = + + + ni ya' β α β α β α . Download 1.75 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling