O`zbekiston Oliy va O`rta maxsus ta`lim vazirligi Namangan Davlat universiteti

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar 
 
1. 
Qisuvchi akslantirish prinsipining umumlashmasini ayting. 
2. 
n
R   fazoni  o‘zini-o‘ziga  akslantiriuvchi 
b
Ax
y
+
=
  akslantirishning 
qisuvchilik shartlarini toping.  
3. 
]
,
[ b
a
C
  fazoda  (4.9)  tenglik  bilan  aniqlangan  akslantirishning  qisuvchilik 
shartlarini keltiring. 
 
 

 
76 
11-mavzu: Chiziqli fazolar 
 
5. Chiziqli fazolar va ularga misollar 
   
 
Chiziqli  fazo  tushunchasi  matematikada  asosiy  tayanch  tushunchalardan 
hisoblanadi.  Quyida 
C
  bilan  kompleks  sonlar,  R   bilan  haqiqiy  sonlar  to‘plamini 
belgilaymiz. 
 
5.1-ta'rif.  Agar  elementlari 
z
y,
x,
,…  bo‘lgan  L   to‘plamda  quyidagi  ikki 
amal aniqlangan bo‘lsa: 
 
I.  Ixtiyoriy  ikkita 
L
y
x,
∈
    elementlarga  ularning  yig‘indisi  deb  ataluvchi 
aniq  bir 
L
y
x
∈
+
    element  mos  qo‘yilgan  bo‘lib,  ixtiyoriy 
L
z
y
x,
∈
,
  elementlar 
uchun 
1) 
x
y
y
x
+
=
+
  (kommutativlik), 
2) 
z
y
x
z
y
x
+
+
=
+
+
)
(
)
(
 (assotsiativlik), 
3) L da shunday 
θ
 element mavjud bo‘lib, 
x
x
=
+
θ
 (nolning mavjudligi), 
4)  shunday 
L
x
∈
−
  element  mavjud  bo‘lib, 
θ
=
−
+
)
( x
x
  (qarama-qarshi 
elementning mavjudligi) aksiomalar bajarilsa; 
  
II.  ixtiyoriy 
L
x
∈
  element  va  ixtiyoriy 
α  son (
R
∈
α
  yoki 
C
∈
α
)  uchun  x 
elementning 
α  songa ko‘paytmasi  deb ataluvchi aniq  bir 
L
x
∈
α
  element  mos 
qo‘yilgan bo‘lib, ixtiyoriy 
L
y
x,
∈
 va ixtiyoriy 
β
α,  sonlar uchun 
5) 
,
x
x
)
(
)
(
β
α
β
α
=
  
6) 
x
x
=
⋅
1
,  
7) 
(
)
,
x
x
x
β
α
β
α
+
=
+
  
8) 
(
)
y
x
y
x
α
α
α
+
=
+
  
aksiomalar bajarilsa, u holda  L  to‘plam chiziqli fazo deb ataladi. 
 
Ta'rifda kiritilgan I va II amallar mos ravishda yig‘indi va songa ko‘paytirish 
amallari deb ataladi. 
 
Ta'rifda  foydalanilgan  sonlar  zahirasiga  (haqiqiy  sonlar  R   yoki  kompleks 
sonlar  C)  bog‘liq  holda  chiziqli  fazo  haqiqiy  yoki  kompleks  chiziqli  fazo  deb 
ataladi. 
 
Chiziqli fazolarga misollar keltiramiz. 
 
Misollar.  5.1. 
R
=
L
  haqiqiy  sonlar  to‘plami  odatdagi  qo‘shish  va 
ko‘paytirish  amallariga    nisbatan  haqiqiy  chiziqli  fazo  tashkil  qiladi. 
C
L
=
 
kompleks  sonlar  to‘plami  ham  kompleks  sonlarni  qo‘shish  va  ko‘paytirish 
amallariga  nisbatan kompleks chiziqli fazo tashkil qiladi. 
 
5.2. 
{
}
n
n
,
,
,
i
,
R
x
,x
,
,x
x
x
R
i
n
n
−
=
∈
=
≡
=
K
K
2
1
 
),
(
L
2
1
 ta haqiqiy sonlarning 
tartiblangan  guruhlari  to‘plami.  Bu  yerda  elementlarni  qo‘shish  va  songa 
ko‘paytirish  amallari  quyidagicha  aniqlanadi:  ixtiyoriy 
(
)
n
x
x
x
x
...,
,
,
2
1
=
  va 
(
)
n
n
R
y
y
y
y
∈
=
...,
,
,
2
1
  lar uchun 
(
)
,
...,
,
,
2
2
1
1
n
n
y
x
y
x
y
x
y
x
+
+
+
=
+
  
 
 
   (5.1) 
(
)
n
x
x
x
x
α
α
α
α
...,
,
,
2
1
=
.  
(5.2) 

 
77 
n
R   -  to‘plam  (5.1)  va  (5.2)  tengliklar  bilan  aniqlangan  qo‘shish  va  songa 
ko‘paytirish  amallariga    nisbatan  haqiqiy  chiziqli  fazo  tashkil  qiladi  va  u  n  - 
o‘lchamli haqiqiy chiziqli fazo deb ataladi. 
 
5.3. 
(
)
{
}
n
k
C
z
z
z
z
z
C
L
k
n
n
,...,
2
,
1
,
,
...,
,
,
2
1
=
∈
=
≡
=
.  Bu  yerda  ham 
elementlarni  qo‘shish  va  songa  ko‘paytirish  amallari  (5.1)  va  (5.2)  tengliklar 
ko‘rinishida  aniqlanadi. 
n
C
  -  to‘plam  kompleks  chiziqli  fazo  bo‘ladi  va  u  n- 
o‘lchamli kompleks chiziqli fazo deb ataladi. 
 
5.4. 
]
,
[
]
,
[
b
a
b
a
C
L
−
=
 kesmada aniqlangan  uzluksiz  funksiyalar  to‘plami. 
Funksiyalarni qo‘shish va funksiyani songa ko‘paytirish amallari mos ravishda  
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
f
+
=
+
                         (5.3) 
va  
   
( )( )
( )
x
f
x
f
α
α
=
             
                 (5.4) 
ko‘rinishda aniqlanadi. (5.3) va (5.4) tengliklar bilan aniqlangan qo‘shish va songa 
ko‘paytirish  amallari  chiziqli  fazoning  1-8  aksiomalarini  qanoatlantiradi.  Demak, 
]
,
[
b
a
C
 to‘plam chiziqli fazo tashkil qiladi. 
 
5.5. 
(
)




∞
<
=
≡
∑
∞
=
1
2
2
1
2
:
,...
...,
,
,
n
n
n
x
x
x
x
x
l
 - kvadrati bilan jamlanuvchi 
ketma-ketliklar  to‘plami.  Bu  yerda  elementlarni  qo‘shish  va  songa  ko‘paytirish 
amallari quyidagicha  aniqlanadi: 
(
)
,
,
y
x
,
,
y
x
,
y
x
y
x
n
n
K
K
+
+
+
=
+
2
2
1
1
  
 (5.5) 
(
) (
)
C
,
,...
x
...,
,
x
,
x
,...
x
...,
,
x
,
x
x
n
n
∈
=
=
α
α
α
α
α
α
2
1
2
1
.  (5.6) 
Yig‘indi 
2
l
∈
+
y
x
 ekanligi 
2
2
2
2
2
|
b
|
|
a
|
|
b
a
|
+
≤
+
 tengsizlikdan kelib chiqadi. 
(5.5)  va  (5.6)  tengliklar  bilan  aniqlangan  qo‘shish  va  songa  ko‘paytirish  amallari 
chiziqli  fazoning  1-8  aksiomalarini  qanoatlantiradi.  Demak, 
2
l
  -  to‘plam 
kompleks chiziqli fazo bo‘ladi. 
 
5.6. 
}
0
lim
:
)
,
,
,
,
(
{
2
1
0
=
=
≡
∞
→
n
n
n
x
x
x
x
x
c
K
K
-  nolga  yaqinlashuvchi 
ketma-ketliklar  to‘plami.  Bu  to‘plamda  ham  qo‘shish  va  songa  ko‘paytirish 
amallari  (5.5)  va  (5.6)  tengliklar  ko‘rinishida  aniqlanadi  va  ular  chiziqli  fazoning 
1-8 aksiomalarini qanoatlantiradi. Demak, 
0
c
 - to‘plam chiziqli fazo bo‘ladi. 
 
5.7. 
(
)
{
}
a
x
x
x
x
x
c
n
n
n
=
=
≡
→∞
lim
:
,...
...,
,
,
2
1
  -  yaqinlashuvchi  ketma-ketliklar 
to‘plami.  Bu  to‘plam  ham  5.5  -  misolda  kiritilgan  qo‘shish  va  songa  ko‘paytirish 
amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qiladi. 
 
5.8. 
m
L
=
  -  barcha  chegaralangan  ketma-ketliklar  to‘plami.  Bu  to‘plam 
ham  5.5-misolda  kiritilgan  qo‘shish  va  songa  ko‘paytirish  amallariga  nisbatan 
chiziqli fazo tashkil qiladi. 
 
Endi  haqiqiy  o‘zgaruvchining  funksiyalari  nazariyasi  fanida  xossalari 
o‘rganilgan  Lebeg  ma’nosida  integrallanuvchi  funksiyalar  va  o‘zgarishi 
chegaralangan funksiyalar to‘plamini qaraymiz. 

 
78 
 
5.9.  Berilgan 
]
,
[ b
a
  kesmada  Lebeg  ma'nosida  integrallanuvchi  funksiyalar 
to‘plamini 
]
,
[
~
1
b
a
L
  simvol  bilan  belgilaymiz.  Bu  to‘plamda  elementlarni    qo‘shish 
va elementni  songa ko‘paytirish amallari (5.3) va (5.4) tengliklar bilan aniqlanadi. 
]
,
[
~
1
b
a
L
 to‘plam  funksiyalarni qo‘shish  va songa ko‘paytirish amallariga  nisbatan 
yopiq.  Chunki,  integrallanuvchi  f   va 
g
  funksiyalar  yig‘indisi 
g
f
+
  ham 
integrallanuvchi va 
( ) ( )
[
]
( )
( )
∫
∫
∫
+
=
+
b
a
b
a
b
a
dt
t
g
dt
t
f
dt
t
g
t
f
 
tenglik  o‘rinli.  Xuddi  shunday  integrallanuvchi  funksiyaning  songa  ko‘paytmasi 
yana  integrallanuvchi  funksiyadir.  Funksiyalarni  qo‘shish  va  songa  ko‘paytirish 
amallari  esa  chiziqli  fazo  aksiomalarini  qanoatlantiradi.  Demak, 
]
,
[
~
1
b
a
L
  to‘plam 
chiziqli fazo bo‘ladi. 
 
5.10.  Berilgan 
]
,
[ b
a
  kesmada 
)
1
(
>
p
p
  -darajasi  bilan  Lebeg  ma'nosida 
integrallanuvchi  funksiyalar  to‘plamini 
]
,
[
~
b
a
L
p
  simvol  bilan  belgilaymiz.  Bu 
to‘plamda  ham  qo‘shish  va  songa  ko‘paytirish  amallari  (5.3)  va  (5.4)  tengliklar 
bilan  aniqlanadi  va 
]
,
[
~
b
a
L
p
  to‘plam  chiziqli  fazo  tashkil  qiladi.  Yig‘indi 
]
,
[
~
b
a
L
g
f
p
∈
+
 ekanligi Minkovskiy tengsizligi ((1.22) ga qarang)  
p
b
a
p
p
b
a
p
p
b
a
p
dt
|
)
t
(
g
|
dt
|
)
t
(
f
|
dt
|
)
t
(
g
)
t
(
f
|
1
1
1






+






≤






+
∫
∫
∫
 
dan kelib chiqadi. 
 
5.11.  Berilgan 
]
,
[ b
a
  kesmada  aniqlangan  va  o‘zgarishi  chegaralangan 
funksiyalar to‘plamini 
]
,
[ b
a
V
 bilan belgilaymiz.  Bu  to‘plamda  ham  funksiyalarni 
qo‘shish  va  songa  ko‘paytirish  amallari  5.4-misoldagidek  kiritiladi.  Ishonch  hosil 
qilish  mumkinki, 
]
,
[ b
a
V
  to‘plam  funksiyalarni  qo‘shish  va  songa  ko‘paytirish 
amallariga  nisbatan  chiziqli  fazo  tashkil  qiladi.  Hosil  qilingan  fazo  o‘zgarishi 
chegaralangan funksiyalar fazosi deyiladi va 
]
,
[ b
a
V
 simvol bilan belgilanadi. 
 
5.2-ta'rif.  Bizga  L   va 
*
L   chiziqli  fazolar  berilgan  bo‘lsin.  Agar  bu  fazolar 
o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatish mumkin bo‘lib, 
(
)
*
L
*
y
*,
x
,
L
y
,
x
*,
y
y
*
x
x
∈
∈
↔
↔
va
 
ekanligidan 
(
)
son
ixtiyoriy
va
−
↔
+
↔
+
α
α
α
*,
y
x
*
y
*
x
y
x
 
ekanligi  kelib  chiqsa,  u  holda  L   va 
*
L   chiziqli  fazolar  o‘zaro  izomorf  fazolar 
deyiladi. 
 
Izomorf fazolarni aynan bitta fazoning har xil ko‘rinishi deb qarash mumkin. 
 
5.3-ta'rif.  Agar  L   chiziqli  fazoning 
n
x
x
x
...,
,
,
2
1
  elementlar  sistemasi 
uchun  hech  bo‘lmaganda  birortasi  noldan  farqli  bo‘lgan 
n
a
a
a
...,
,
,
2
1
  sonlar 
mavjud bo‘lib, 

 
79 
0
...
2
2
1
1
=
+
+
+
n
n
x
a
x
a
x
a
                        (5.7) 
tenglik  bajarilsa,  u  holda 
n
x
x
x
...,
,
,
2
1
  elementlar  sistemasi  chiziqli  bog‘langan 
deyiladi. Aks holda, ya'ni (5.7) tenglikdan 
0
...
2
1
=
=
=
=
n
a
a
a
 
ekanligi kelib chiqsa, 
n
x
...,
,
x
,
x
2
1
 elementlar sistemasi chiziqli bog‘lanmagan yoki 
chiziqli erkli deyiladi. 
 
Agar 
K
,
...,
,
,
2
1
n
x
x
x
 cheksiz elementlar sistemasining ixtiyoriy chekli qism 
sistemasi chiziqli erkli bo‘lsa, u holda 
{ }
∞
=
1
n
n
x
 sistema chiziqli erkli deyiladi. 
 
5.4-ta'rif. Agar  L  chiziqli fazoda  n  elementli chiziqli erkli sistema mavjud 
bo‘lib,  bu  fazoning  ixtiyoriy 
1
+
n
  ta  elementdan  iborat  sistemasi  chiziqli 
bog‘langan bo‘lsa, u holda  L   n - o‘lchamli chiziqli fazo deyiladi va 
n
L
=
dim
 deb 
yoziladi.  n -o‘lchamli  L  chiziqli fazoning ixtiyoriy  n  ta elementdan iborat chiziqli 
erkli sistemasi shu fazoning bazisi deyiladi. 
 
5.5-ta'rif. Agar  L  chiziqli fazoda ixtiyoriy 
N
n
∈
 uchun  n  elementli chiziqli 
erkli sistema mavjud bo‘lsa,  u holda  L  cheksiz o‘lchamli chiziqli fazo deyiladi va 
∞
=
L
dim
 ko‘rinishda yoziladi. 
 
n
R   va 
n
C   fazolar  n -o‘lchamli  chiziqli  fazolardir. 
]
,
[ b
a
C
L
=
  fazodan 
boshlab 5.4-5.11 misollarda keltirilgan barcha fazolar cheksiz o‘lchamli fazolardir. 
Masalan, 
2
l
 fazoda  
∞
1
=
)}
,0,
,1
0,0,
(
=
{
n
n
n
e
K
K
4
4 3
4
4 2
1
 
sistema cheksiz chiziqli erkli sistemaga misol bo‘ladi.  
 
5.1. Chiziqli fazoning qism fazosi 
 
 
Bizga  L  chiziqli fazoning bo‘sh bo‘lmagan 
L
′
 qism to‘plami berilgan bo‘lsin. 
 
5.6-ta'rif.  Agar 
L
′
  ning  o‘zi  L   da  kiritilgan  amallarga  nisbatan  chiziqli 
fazoni tashkil qilsa, u holda 
L
′
 to‘plam  L  ning qism fazosi deyiladi. 
 
Boshqacha  qilib  aytganda,  agar  ixtiyoriy 
L
y
x
′
∈
,
  va 
)
(
,
R
C
b
a
∈
  sonlar 
uchun 
L
by
ax
′
∈
+
 bo‘lsa, 
L
′
 qism fazo deyiladi. 
 
Har qanday  L  chiziqli fazoning faqat nol elementdan iborat 
{ }
θ  qism fazosi 
bor.  Ikkinchi  tomondan,  ixtiyoriy  L   chiziqli  fazoni  o‘zining  qism  fazosi  sifatida 
qarash mumkin. 
 
5.7-ta'rif.  L   chiziqli  fazodan  farqli  va  hech  bo‘lmaganda  bitta  nolmas 
elementni saqlovchi qism fazo xos qism fazo deyiladi. 
 
Misollar.  5.12. 
m
c
c
⊂
⊂
⊂
0
2
l
  fazolarning  har  biri  o‘zidan  keyingilari 
uchun xos qism fazo bo‘ladi. 
 
5.13.  Endi 
]
,
[ b
a
  kesmada 
)
1
(
>
p
p
-darajasi  bilan  integrallanuvchi 
funksiyalar  fazosi 
[ ]
b
a
L
p
,
~
  ni  qaraymiz.  Bu  fazoning  deyarli  hamma  yerda  nolga 
teng  (nolga  ekvivalent)  funksiyalaridan  tashkil  bo‘lgan  qism  to‘plamni 
[ ]
b
,
a
L
~
)
(
p
0
 

 
80 
ko‘rinishda  belgilaymiz.  Ma’lumki,  nolga  ekvivalent  funksiyalar  yig‘indisi  yana 
nolga  ekvivalent  bo‘lgan  funksiya  bo‘ladi.  Nolga  ekvivalent  funksiyaning  songa 
ko‘paytmasi  ham  nolga  ekvivalent  funksiya  bo‘ladi.  Demak, 
[ ]
b
,
a
L
~
)
(
p
0
  to‘plam 
[ ]
b
,
a
L
~
p
 fazoning xos qism fazosi bo‘ladi. 
 
5.14.  O‘zgarishi  chegaralangan  funksiyalar  fazosi 
]
,
[ b
a
V
  ni  qaraymiz. 
Ma'lumki, 
]
,
[ b
a
 kesmada absolyut uzluksiz funksiyalar to‘plami 
]
,
[ b
a
V
 ning qism 
to‘plami bo‘ladi. Absolyut uzluksiz funksiyalar to‘plami funksiyalarni qo‘shish va 
songa  ko‘paytirish  amallariga  nisbatan  yopiq  to‘plam.  Suning  uchun  u 
]
,
[ b
a
V
 
fazoning qism fazosi bo‘ladi va u 
[ ]
b
,
a
AC
 simvol bilan belgilanadi. 
 
5.15. 
]
,
[ b
a
V
  fazoda 
0
)
(
=
a
f
  shartni  qanoatlantiruvchi  funksiyalar 
to‘plamini  qaraymiz.  Bu  to‘plam  funksiyalarni  qo‘shish  va  songa  ko‘paytirish 
amallariga  nisbatan  yopiq  to‘plamdir.  Shuning  uchun  u 
]
[ b
,
a
V
  fazoning  qism 
fazosi bo‘ladi va u 
]
[ b
,
a
V
0
 simvol bilan belgilanadi.