O`zbekiston Oliy va O`rta maxsus ta`lim vazirligi Namangan Davlat universiteti

 
7.1-teorema.  Istalgan  sondagi  qavariq  to‘plamlarning  kesishmasi  yana 
qavariq to‘plamdir. 
 
Isbot. Faraz qilaylik,  
I
α
α
M
M
=
 
bo‘lib,  barcha 
α
M   lar  qavariq  to‘plamlar  bo‘lsin,  x   va 
y
  lar  M   ning  ikkita 
ixtiyoriy nuqtalari bo‘lsin. U holda  x  va 
y
 nuqtalarni tutashtiruvchi  
]
,
[
y
x
  kesma  
α
M   larning  har biriga  qarashli  va demak  M  ga  ham  qarashli.  Shunday qilib,  M  
haqiqatan ham qavariq to‘plam ekan.  ∆ 

 
89 
 
Shuni  eslatib  o‘tamizki,  qavariq  jismlarning  kesishmasi  yana  qavariq  jism 
bo‘lavermaydi. Bunga quyidagi misolda ishonch hosil qilish mumkin. 
 
7.3. Tekislikdagi 
( )
{
}
1
0
,
1
0
:
,
≤
≤
≤
≤
=
y
x
y
x
P
 va 
( )
{
}
2
1
,
1
0
:
,
≤
≤
≤
≤
=
y
x
y
x
Q
 qavariq jismlarning kesishmasi  
( )
{
}
1
,
1
0
:
,
=
≤
≤
=
y
x
y
x
Q
P I
 
kesmadan iborat bo‘lib, u qavariq jism emas (7.2-misolga qarang). 
 
Qavariq  to‘plam  tushunchasi  qavariq  funksional  tushunchasi  bilan  uzviy 
bog‘langan. 
 
7.4-ta'rif.  Agar 
L
  haqiqiy  chiziqli  fazoda  aniqlangan  manfiymas 
p
 
funksional  
1) 
(
) ( ) ( )
L
y
x
y
p
x
p
y
x
p
∈
∀
+
≤
+
,
,
, 
2) 
( )
( )
L
x
va
a
x
p
a
x
a
p
∈
∀
≥
∀
=
0
,
 
shartlarni qanoatlantirsa,  
p
  ga qavariq funksional deyiladi. 
 
Biz bu yerda 
)
(x
p
 miqdorni chekli deb faraz qilmaymiz, ya'ni ayrim 
L
x
∈
 
lar  uchun 
∞
=
)
(x
p
  ham  bo‘lishi  mumkin.  Agar  barcha 
L
x
∈
  lar  uchun   
)
(x
p
 
chekli bo‘lsa, 
p
 chekli funksional deyiladi. 
 
Misollar. 7.4. 
[ ]
R
b
a
C
p
→
,
:
 va 
( )
dt
t
x
x
p
b
a
∫
=
|
)
(
|
 
akslantirishning chekli qavariq funksional ekanligini isbotlang. 
 
Yechish.  Integralning  monotonlik  xossasidan,  ixtiyoriy 
[ ]
b
a
C
x
,
∈
  uchun 
0
)
(
≥
x
p
  ekanligi  kelib  chiqadi.  Endi  bizga 
]
,
[
b
a
C
  fazoning  ixtiyoriy  x   va 
y
 
elementlari berilgan bo‘lsin. U holda 
(
)
( ) ( )
y
p
x
p
dt
t
y
dt
t
x
dt
t
y
t
x
y
x
p
b
a
b
a
b
a
+
=
+
≤
+
=
+
∫
∫
∫
|
)
(
|
|
)
(
|
|
)
(
)
(
|
 
tengsizlik o‘rinli. Xuddi shunday ixtiyoriy  x  va 
0
≥
α
 uchun 
( )
( )
x
p
dt
t
x
dt
t
x
x
p
b
a
b
a
α
α
α
α
=
=
=
∫
∫
|
)
(
|
|
)
(
|
 
tenglik  o‘rinli.  Demak, 
p
  qavariq  funksional  ekan.  Uning  chekli  qavariq 
funksional ekanligi 
( ) (
)
( )
∞
<
−
≤
t
x
a
b
x
p
max
 tengsizlikdan kelib chiqadi. ∆ 
 
7.5. 
[ ]
R
C
q
→
1
,
0
:
 va 
( )
[ ]
x
V
x
q
1
0
=
 
akslantirish chekli bo‘lmagan qavariq funksional bo‘lishligini isbotlang. 
 
Yechish. 
q
  funksionalning  manfiymasligi  va  qavariq  funksional  ta'rifidagi 
1-2  shartlarning  bajarilishi  funksiya  to‘la  o‘zgarishi  xossalaridan  kelib  chiqadi. 
Haqiqiy  o‘zgaruvchining  funksiyalari  nazariyasi  fanidan  ma'lumki, 
]
1
,
0
[
C
 

 
90 
fazoning 
( )
)
/
1
sin(
0
t
t
t
x
=
 elementi uchun 
[ ]
+∞
=
0
1
0
x
V
 tenglik o‘rinli. Demak, 
q
 
chekli bo‘lmagan qavariq funksional ekan. ∆ 
 
Endi  qavariq  to‘plamlar  bilan  qavariq  funksionallar  orasidagi  bog‘lanishni 
qaraymiz. 
 
7.2-teorema. Agar 
+
→
R
L
p:
 qavariq funksional va 
0
>
k
 bo‘lsa, u holda 
( )
{
}
k
x
p
L
x
E
≤
∈
=
:
 
qavariq  to‘plam  bo‘ladi.  Agar 
p
  funksional  chekli  bo‘lsa,  u  holda  E   to‘plam 
yadrosi nol elementni saqlaydigan, 
( )
( )
{
}
k
x
p
L
x
E
J
<
∈
=
:
 
yadroli qavariq jism bo‘ladi. 
 
Isbot. Agar 
E
y
x
∈
,
 va 
0
,
,
1
≥
=
+
β
α
β
α
 bo‘lsa, u holda 
(
) ( ) ( )
( )
( )
k
k
k
y
p
x
p
y
p
x
p
y
x
p
=
+
<
+
=
+
≤
+
β
α
β
α
β
α
β
α
, 
ya'ni  E  - qavariq to‘plam.  Endi 
p
 chekli  funksional, 
0
,
)
(
>
<
t
k
x
p
 va 
L
y
∈
 
bo‘lsin. U holda 
(
)
( )
( )
y
p
t
x
p
y
t
x
p
±
+
≤
±
 
Agar 
0
)
(
)
(
=
=
−
y
p
y
p
  bo‘lsa,  u  holda  ixtiyoriy  t   uchun 
E
y
t
x
∈
±
  bo‘ladi. 
Agar 
)
(
,
)
(
y
p
y
p
−
  sonlardan  hech  bo‘lmaganda  birortasi  noldan  farqli  bo‘lsa,  u 
holda 
( )
( ) ( )
(
)
y
p
y
p
x
p
k
t
−
−
<
,
max
 
shartda 
E
y
t
x
∈
±
  bo‘ladi.  Qavariq  funksionalning 
θ
  nuqtadagi  qiymati  nolga 
teng bo‘lgani uchun 
)
(E
J
∈
θ
. ∆  
 
Endi 
1
=
k
 holni qaraymiz. U holda har qanday chekli 
p
 qavariq funksional 
L
 da 
)
(E
J
∈
θ
 bo‘ladigan yagona 
( )
{
}
1
:
≤
∈
=
x
p
L
x
E
 
qavariq jismni aniqlaydi. Aksincha,  E  - yadrosi nol elementni saqlaydigan qavariq 
jism bo‘lsin. U holda har bir 
L
x
∈
 ga 






∈
>
=
E
r
x
r
x
p
E
:
0
inf
)
(
 
sonni  mos  qo‘yuvchi  akslantirish  qavariq  funksional  bo‘ladi  (mustaqil  isbotlang). 
Bu funksional  E  qavariq jism uchun Minkovskiy funksionali deyiladi. 
 
7.5-ta'rif. 
L
 - haqiqiy chiziqli fazo va 
0
L
 - uning biror qism fazosi bo‘lsin. 
0
L
  qism  fazoda 
0
f
  chiziqli  funksional  va 
L
  fazoda 
f
  chiziqli  funksional 
berilgan bo‘lsin. Agar ixtiyoriy 
0
L
x
∈
 uchun 
( ) ( )
0
x
f
x
f
=
 
tenglik  bajarilsa, 
f
  chiziqli  funksional 
0
f
  funksionalning 
L
  fazoga  davomi 
deyiladi. 

 
91 
 
Funksionalning davomi bir qiymatli emas. Funksionalning  ixtiyoriy davomi 
maqsadga  muvofiq  emas.  Odatda  funksionalni  qandaydir  shartni  saqlab  qolgan 
holda davom ettirish talab qilinadi. 
 
7.3-teorema.  (Xan-Banax).  Aytaylik, 
p
  - 
L
  haqiqiy  chiziqli  fazoda 
aniqlangan  qavariq  funksional  va 
0
L
  - 
L
  ning  qism  fazosi  bo‘lsin.  Agar 
0
L
  da 
aniqlangan 
0
f
  chiziqli funksional 
        
( ) ( )
0
0
,
L
x
x
p
x
f
∈
≤
                                 (7.1) 
shartni  qanoatlantirsa,  u  holda 
0
f
  ni 
L
  da  aniqlangan  va 
L
  da  (7.1)  shartni 
qanoatlantiruvchi  
f
 chiziqli funksionalgacha davom ettirish mumkin. 
 
Isbot. 
L
L
≠
0
  bo‘lgan  holda 
0
f
  chiziqli  funksionalni 
0
L
  dan  kengroq 
bo‘lgan 
)
1
(
L
  qism  fazogacha  (7.1)  shartni  saqlagan  holda  chiziqli  davom  ettirish 
mumkinligini  ko‘rsatamiz. 
0
L
  ga  qarashli  bo‘lmagan  ixtiyoriy 
L
z
∈
  elementni 
olamiz. 
)
1
(
L
 bilan 
0
L
 va 
z
 elementlardan tashkil topgan qism fazoni belgilaymiz. 
)
1
(
L
 quyidagicha ko‘rinishdagi elementlardan tashkil topgan 
)
1
(
0
}
,
,
{
L
L
x
R
t
x
tz
=
∈
∈
+
 
 
Agar 
1
f
  funksional 
0
f
 ning 
)
1
(
L
 qism  fazogacha chiziqli  davomi  bo‘lsa, u 
holda 
(
)
( )
( )
( )
( )
x
f
z
f
t
x
f
z
t
f
x
z
t
f
0
1
1
1
1
+
=
+
=
+
, 
yoki 
( )
c
z
f
=
1
 deb olsak, 
(
)
( )
x
f
c
t
x
z
t
f
0
1
+
=
+
 
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Endi  c  ni shunday tanlaymizki, 
1
f
 funksional (7.1) shartni 
qanoatlantirsin, ya'ni 
(
)
( ) (
)
x
z
t
p
x
f
c
t
x
z
t
f
+
≤
+
=
+
0
1
 
 
   
 
  (7.2) 
tengsizlik bajarilsin. Agar 
0
>
t
 bo‘lsa, (7.2) shart quyidagi shartga teng kuchli: 






−





 +
≤





 +
≤






+
t
x
f
t
x
z
p
c
t
x
z
p
t
x
f
c
0
0
yoki
, 
0
<
t
  bo‘lsa, 






−






−
−
−
≥






−
−
−
≥






+
t
x
f
t
x
z
p
c
t
x
z
p
t
x
f
c
0
0
yoki
. 
Bu  ikkala  shartni  qanoatlantiruvchi  c   son  har  doim  mavjudligini  ko‘rsatamiz. 
0
L
 qism fazodan olingan ixtiyoriy  y
′
 va  y
′′
 elementlar uchun 
( ) (
)
( ) (
)
z
y
p
y
f
z
y
p
y
f
−
−
−
−
≥
+
+
−
'
'
"
"
0
0
                   (7.3) 
tengsizlik  o‘rinli.  Haqiqatan  ham,  bu  tengsizlik  quyidagi  tengsizlikdan  bevosita 
kelib chiqadi: 
( ) ( )
(
) (
)
=
−
≤
−
=
−
'
y
"
y
p
'
y
"
y
f
'
y
f
"
y
f
0
0
0
 
(
) (
)
(
) (
) (
)
z
'
y
p
z
"
y
p
z
'
y
z
"
y
p
−
−
+
+
≤
−
−
+
+
=
. 

 
92 
Endi 
(
)
(
)
)
'
(
)
'
(
sup
'
,
)
"
(
)
"
(
inf
"
0
'
0
"
z
y
p
y
f
c
z
y
p
y
f
c
y
y
−
−
−
−
=
+
+
−
=
 
deb  olamiz.  y
′
  va  y
′′
  lar  ixtiyoriy  bo‘lgani  uchun  (7.3)  tengsizlikdan 
c
c
′
≥
′′
 
ekanligi kelib chiqadi. Agar  c  sonini 
c
c
c
′
≥
≥
′′
 
tengsizliklarni qanoatlantiradigan qilib tanlasak, u holda 
(
)
( )
x
f
c
t
x
z
t
f
0
1
+
=
+
 
formula bilan aniqlanadigan 
1
f
 funksional chiziqli va (7.1) shartni qanoatlantiradi. 
 
Shunday qilib, biz 
0
f
 funksionalni 
0
L
 qism fazodan undan kengroq bo‘lgan 
)
1
(
L
 qism fazogacha (7.1) shartni saqlagan holda chiziqli davom ettirdik. 
 
Agar 
L
  chiziqli  fazoda  sanoqlita 
,...
...,
,
,
2
1
n
x
x
x
  elementlar  sistemasi 
mavjud bo‘lib, bu sistemani saqlovchi 
{ }
(
)
k
x
L
 minimal qism fazo 
L
 ning o‘ziga 
teng bo‘lsa, u holda 
0
f
 funksionalni 
( )
( )
K
,
x
,
L
L
,
x
,
L
L
)
(
}
{
}
{
2
1
2
1
0
1
=
=
 
kengayib  boruvchi  qism  fazolarda  yuqoridagidek  aniqlab, 
0
f
  funksionalni 
L
 
fazogacha (7.1) shartni saqlagan holda davom ettirish mumkin. 
 
Agar  chiziqli  qobig‘i 
L
  ga  teng  bo‘ladigan  sanoqli  sistema  mavjud 
bo‘lmasa,  u  holda  teoremaning  isboti  Sorn    lemmasi  yordamida  nihoyasiga 
etkaziladi ([1] ga qarang). ∆ 
 
7.6. 
]
,
[
1
1
−
=
C
L
  uzluksiz  funksiyalar  fazosi  va  uning  qism  fazosi 
[
]
}
]
[
)
(
{
0
1
0
1
1
0
,
t
,
t
x
:
,
C
x
L
−
∈
≡
−
∈
=
 ni qaraymiz. 
0
L  qism  fazoda 
0
f  chiziqli 
funksionalni quyidagicha aniqlaymiz: 
( )
( )
.
,
0
1
1
0
L
x
dt
t
x
x
f
∈
=
∫
−
 
]
1
,
1
[
−
=
C
L
 chiziqli fazoda  f  va 
p
 funksionallarni esa quyidagicha aniqlaymiz: 
( )
( )
( )
L
x
,
t
x
x
p
,
dt
t
x
dt
t
y
t
x
x
f
t
∈
=
+
=
≤
≤
−
−
∫
∫
)
(
max
)
(
)
(
1
1
1
0
0
1
0
2
 
Quyidagicha savol qo‘yamiz. 
1) 
0
f
 funksional (7.1) tengsizlikni qanoatlantiradimi? 
2)  f  funksional 
0
f
 funksionalning 
L
 fazogacha davomi bo‘ladimi? 
3) 
]
,
[
0
1
0
−
∈
C
y
  qanday  tanlanganda  f   funksional  Xan-Banax  teoremasining 
shartlarini qanoatlantiradi? 
 
Yechish. 
0
f
 funksional (7.1) tengsizlikni qanoatlantiradi. Haqiqatan ham, 
( )
( )
( )
( )
( )
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
2
L
x
x
p
t
x
dt
t
x
dt
t
x
x
f
t
t
∈
=
=
≤
=
≤
≤
−
−
≤
≤
−
−
∫
∫
,
max
max
. 

 
93 
Agar 
0
L
x
∈
, u holda  
( )
0
0
1
0
=
∫
−
dt
t
y
t
x
)
(
 
bo‘ladi.  Shuning  uchun,  barcha 
]
,
[
0
1
0
−
∈
C
y
  larda 
( )
( )
0
0
,
L
x
x
f
x
f
∈
=
  tenglik 
o‘rinli.  Demak,  barcha 
0
y   lar  uchun 
f
  funksional 
0
f
  funksionalning 
L
 
fazogacha davomi bo‘ladi. Nihoyat,  
( )
( )
( )
( )
( )
( )
L
x
x
p
t
x
dt
t
x
dt
t
y
t
x
x
f
t
t
t
∈
=
≤
+
≤
≤
≤
−
≤
≤
−
≤
≤
−
∫
∫
,
max
max
max
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
2
 
tengsizlik,  
( )
1
0
1
0
≤
=
∫
−
c
dt
t
y
 
shartni  qanoatlantiruvchi  barcha 
]
,
[
0
1
0
−
∈
C
y
  larda  o‘rinli.  Demak, 
]
,
[ 1
0
∈
c
 
bo‘lsa,  Xan-Banax  teoremasining  shartlari  bajariladi.  Shunday  qilib 
0
f
 
funksionalni (7.1) shartni saqlagan  holda cheksiz  ko‘p (kontinuum)  usul bilan 
L
 
fazogacha davom ettirish mumkin ekan. 
 
Endi Xan-Banax teoremasining kompleks variantini isbot qilamiz.