O‘zbеkiston rеspublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi

1-ta`rif. ta noma`lumlarning kvadratik formasi deb har bir hadi bu no`malumlarning kvadrati yoki ikkita noma`lumning ko`paytmasidan iborat bo`lgan yig`indiga aytiladi.

Kvadratik formaning koeffitsiyentlaridan foydalanib kvadrat matritsani tuzish mumkin. Bu yerda matritsaning barcha xarakteristik ildizlari haqiqiy bo`lishi uchun deb faraz qilinadi. matritsaning rangi kvadratik formaning rangi deyiladi. matritsa aynimagan bo`lsa, kvadratik forma xosmas deyiladi. Kvadratik formaning koeffitsientlari haqiqiy yoki kompleks sonlar bo`lishiga bo`g`liq holda, kvadratik forma haqiqiy yoki kompleks deyiladi.
Teorema. matritsali noma`lumli kvadratik forma ustida matritsali chiziqli almashtirish bajarilgandan so`ng u matritsali yangi noma`lumli kvadratik formaga aylanadi.
Annotatsiya: Har qanday kvadratik forma biror xosmas chiziqli almashtirish orqali kanonik ko'rinishga keltirilishi mumkin. Bu teoremani matematik induksiya metodi yordamida isbotlash mumkin. Demak, matematik induksiya metodi yordamida kvadratik formani kanonik ko'rinishga keltirish mumkin. Berilgan kvadratik forma keltiriladigan kanonik ko'rinish bir qiymatli aniqlangan emas, ya'ni har qanday kvadratik forma turli usullar bilan turli ko'rinishdagi kanonik ko'rinishga keltirilishi mumkin. Agarda kvadratik formada o'zgaruvchining kvadrati ishtirok etmasa, u holda chiziqli almashtirish yordamida uni hech bo'lmaganda bitta o'zgaruvchining kvadrati qatnashgan kvadratik formaga keltirish mumkin. Kvadratik formalarni o'rganishda ularning kanonik ko'rinishlarini klassifikatsiyaga ajratib o'rganish kerak bo'ladi. Biz quyida ularning bir necha turlarini keltirib o'tamiz.
Kalit so'zlar: kvadratik formalar, kanonik ko'rinish, inersiya qonuni, ortogonal almashtirish, xos va xosmas kvadratik formalar, xos va xosmas chiziqli almashtirishlar, ikkinchi tartibli chiziqlar.
Tayanch soʻz va iboralar: kvadratik formalar, kanonik ko`rinish, inersiya qonuni, ortogonal almashtirish, xos va xosmas kvadratik formalar, xos va xosmas chiziqli almashtirishlar.
Kvadratik formalar nazariyasining manbalari ikkinchi tartibli chiziqlar va sirtlar nazariyasida yotadi. Ma`lumki, markazi koordinata boshida bo`lgan egri chiziqda almashtirish bajarib, ya`ni koordinata o`qlarini burchakka burib, egri chiziq tenglamasini quyidagi “kanonik” ko`rinishga keltirish mumkin. almashtirish xosmas chiziqli almashtirish deb ataladi, chunki Kvadratik formaning koeffitsiyentlaridan foydalanib
kvadrat matritsani tuzish mumkin. Bu yerda matritsaning barcha xarakteristik ildizlari haqiqiy bo`lishi uchun deb faraz qilinadi. matritsaning rangi kvadratik formaning rangi deyiladi. matritsa aynimagan bo`lsa, kvadratik forma xosmas deyiladi.Kvadratik formaning koeffitsientlari haqiqiy yoki kompleks sonlar bo`lishiga bo`g`liq holda, kvadratik forma haqiqiy yoki kompleks deyiladi. matritsa formada quyidagacha yozish mumkin. Bu yerda va o`zaro transponirlangan matritsalar bo`lib. Ikkita no’malumli kvadratik forma quyidagi ko`rinishda bo`ladi: