O`zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi

3.Uch karrali integrallarda o’zgaruvchilarni almashtirishda ham yakobiandan foydalanamiz. Aytaylik,
x=
y=ψ(u,v,w)
z=χ(u,v,w) (3.1)
Sistema x;y;z Dekart koordinatalari vositasida berilgan uch o‘lchovli chekli diametrli va o‘lchanuvchi bo‘lgan D sohani egri chiziqli u,v,w koordinatalar vositasida aniqlanuvchi sohaga o‘zaro bir qiymatli ravishda akslantirsin (3.1). Buning uchun (3.1) almashtirish Yakobiani
J(u,v,w)=
uzluksiz va noldan farqli bo‘lishini talab qilish yetarli bo‘lib, bu holda (3.1) almashtirish D sohaning har bir elementar bo‘lagini D' sohaning biror elementar bo‘lagiga akslantirishini va ularning mos ravishda o‘lchovlari bo‘lgan ∆ va ∆ 'lar uchun
=
munosabat bajarilishini aytamiz (isbotsiz). Bu holda
= ψ(u,v,w)χ(u,v,w) dudvdw (3.2)
(D) (D’)
tenglik o‘rinli ekanligi isbotlangandir. (3.2) uchlangan integralda
o‘zgaruvchilarni almashtirish formulasi deb yuritiladi. Bu yerda (3.2)
formulaning amaliy jihatdan ko‘p qo‘llaniladigan ikkita holini qarash bilan
cheklanamiz.
 (3.1-rasm)

4.Uch karrali integralda silindrik koordinatalarga o’tish.Agar Oxyz Dekart koordinata fazosida M(x,y,z) nuqtani olsak, uning Oxy koordinata tekisligidagi proyeksiyasi M₀(x,y,0)nuqtadan iborat bo‘lib, uning Shu tekislikdagi qutb koordinatalarini va desak (4.1-rasmga qarang), u holda larni nuqtaning silindrik koordinatalari deyiladi va M( ) kabi yoziladi.4.1-rasmdan ko‘rinadiki, nuqtaning Dekart va silindrik koordinatalari orasida
x= cos
y= sin
z=z (4.2)
bog‘lanish bo‘lib, bu sistemani Dekart koordinatalaridan silindrik koordinatalarga o‘tish almashtirishi deb yuritiladi. Bu almashtirish uchlangan integralda D sohani biror D' sohaga akslantiradi deb faraz qilgan holda uning Yakobianini hisoblaylik
J( )= =
. Bundan ko‘rinadiki, (4.2) almashtirish Yakobiani uzluksiz va bo‘lganda noldan farqlidir va (4.2) natijasida (4.1) formula
= cos , sin ,z) d d dz (4.3)
(D) (D’)
ko‘rinishni oladi. (4.3) uchlangan integralda silindrik koordinatalarga o‘tish
formulasi deyiladi.

4.1-rasm 4.2-rasm