O`zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi

1.1-misol. Ushbu
dxdy
(D)
integral hisoblansin. bunda
(D )={(x,y) R²:x²+y²<1,y>0}
markazi (0.0) nuqtada, radiusi 1 ga teng bo'lgan yuqori tekislikdagi yarim doira.
‣Berilgan integralda o'zgaruvchilarni quyidagicha almashtiramiz:
X= cosφ
Y= sinφ
Bu almashtirish ushbu
(∆)={( ) R²:0<φ< ,0< <1}
to 'g 'ri to'rtburchakni (D ) sohaga akslantiradi va u l°-3°-shartlarni qanoatlantiradi. Unda
φ(u,v),ψ(u,v)) dudv (1.8)
(D) (∆)
formulaga ko'ra
dxdy= d dφ
(D) (∆)

bo'ladi. Bunda yakobian J( = bo'ladi. Bu tenglikning o’ng tomondagi

integralni hisoblab topamiz:
d dφ= d = =
(D)
= ( -2)
Demak.
d dφ= ( -2)
1.2-misol. Ushbu

integral hisoblansin, quyidagi
, , ,
chiziqlar bilan chegaralangan.
◄ Berilgan chiziqlar bilan chegaralangan. Ushbu
(1)
akslantirishda ning aksi

Ravshanki,ikki karrali integrallarda o’zgaruvchini almashtirish formulasi o‘zaro bir qiymatli akslan­ti­rish bo‘lib, unga teskari akslantirish
(a’)
bo‘ladi.
(6) sistemaning yakobianini topamiz:

Endi ekanini e'tiborga olib, berilgan integralda (a’) almashtirish bajarsak, unda yuqoridagi formulaga ko‘ra

bo‘ladi. Keyingi integralni hisoblaymiz.
.
Demak,
.

2.Jismning hajmini hisoblash da ham yakobiandan foydalanamiz.
2.1-misol. Ushbu
+ + 1
ellipsoidning hajmi topilsin
‣Bu ellipsoid z=0 tekislikka nisbatan simmetrikdir. Yuqori qismini (z 0) o'rab turgan sirt
z=c
bo'ladi. Ellipsoidning hajmi
V=2c dxdy
(D)
bo'ladi, bunda
(D)={(x,y) R²: + 1}
Integralda
X=a cosφ
Y= sinφ (2.1)
almashtirishni bajaramiz. Bu sistemaning yakobiani
J( )= =ab
bo'ladi. (2.1) sistema (∆)={( ) R²:0<φ<2 ,0< <1}sohani (D) sohaga akslantiradi. (1.8) formulaga ko'ra
dxdy= ab d dφ
(D) (∆)
bo'ladi Demak,
V=2abc ab d dφ=2abc d =
=4 abc abc
Shunday qilib, ellipsoidning hajmi
V= abc bo'ladi. ►