O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi buxoro davlat universiteti fizika-matematika fakulteti “matematika” kafedrasi «Oddiy differensial tenglamalar» fanidan kurs ishi mavzu

5)Lagranj tenglamasi. x va y ga nisbatan chiziqli bo’lgan ,ya’ni y= φ(y')x+ ψ(y') (16) ko’rinishga ega bo’lgan tenglama shunday ataladi. φ(y') y' deb faraz qilamiz. φ(y')≡y' hol keyinroq qaraladi.Lagranj tenglamasini integrallash uchun ham parametrik usulni qo’llaymiz. y'=p deymiz.U holda tenglama y= φ(p)x+ ψ(p) (17) ko’rinishida yoziladi.x bo’yicha differensiallab quyidagini hosil qilamiz: (18) yoki y' ni p bilan almashtirib, ga ko’paytirish va algebraik almashtirishlardan so’ng: (19).Bu x funksiya va hosilaga nisbatan chiziqli tenglama.Uning umumiy integrali Ф(x, p, c)=0 (20) ko’rinishga ega.U (17) tenglama bilan birgalikda Lagranj tenglamasining parametrik shakldagi umumiy integralini beradi.(17) va (20) tengliklardan p ni yo’qotib,Lagranj tenglamasining umumiy integrali Ф₁(x, y, c)=0 ni hosil qilamiz.(18) tenglamani o’zgartirishimiz p- φ(p) ≠0 bo’lgandagina mumkin ekanligini qayd qilib o’taylik.Agar p- φ(p)=0 tenglama p=p_i ildizlarga ega bo’lsa,u holda ular y=x φ(p_i)+ ψ(p_i) (i=1,2,…,k) yechimlarni ham beradi.

Misol:y=x tenglamaning umumiy yechimini topamiz.

y'=p deymiz.U holda y=xp²+p² yoki y=(x+1)p².Buni x bo’yicha differensiallab,topamiz: y'=p²+2(x+1)p.Bir qator sodda o’zgartirishlardan so’ng quyidagini hosil qilamiz:1-p-2(x+1) yoki , bu yerdan . Potensirlasak: x+1=c²/(1-p)².Demak,umumiy yechim parametrik shaklda ushbu ko’rinishda bo’ladi :



p parametrni yo’qotamiz.Buning uchun p²=(1-(1-p))²=(1-)²= ifodani topamiz va y=(x+1)p² tenglamaga qo’yamiz.Shunday qilib,umumiy yechim quyidagicha bo’ladi: y .

6)Klero tenglamasi.Klero tenglamasi deb Lagranj tenglamasining φ(y')= y' bo’lgan xususiy holiga aytiladi.Klero tenglamasining umumiy ko’rinishi: y=xy'+ ψ(y'). (21)

y'=p deymiz.U holda y=xp+ ψ(p). (22) x bo’yicha differensiallab,quyidagini topamiz: y'=p+x+ ψ '(p), ya’ni (x+ ψ'(p))=0, bu yerdan =0 yoki x+ψ'(p)=0 (23). =0 tenglamadan p=c kelib chiqadi, (22) da p o’rniga c ni qo’yib,Klero tenglamasining parametrik shakldagi yechimini beradi: