O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi buxoro davlat universiteti fizika-matematika fakulteti “matematika” kafedrasi «Oddiy differensial tenglamalar» fanidan kurs ishi mavzu

. Bu tenglamani o’zgartirishlardan so’ng:

y=x y±ly/ (29).Bu Klero tenglamasidir.Uning y=cx±cl/ umumiy yechimi koordinata o’qlari orasidagi kesmalari l ga teng uzunlikka ega bo’lgan to’g’ri chiziqlar oilasidan iborat.Yechimni c bo’yicha differensiallaymiz va parametrik shakldagi maxsus integralni ifodalaydigan ushbu tenglamalar sistemasini tuzamiz:

C parametrni yo’qotish uchun ikkinchi ifodadagi x ning qiymatini birinchi ifodaga qo’yamiz:

Agar oxirgi ikkita tenglikning ikkala qismini 2/3 darajaga ko’tarsak va qo’shsak, ushbu tenglamani hosil qilamiz: x^2/3+y^2/3=l^2/3. Shunday qilib, maxsus integral astroidadan iborat ekan; u integral to’g’ri chiziqlar oilasining o’rovchi chizig’i bo’ladi.

2-misol. Shunday egri chiziqlarni topingki,ular uchun berilgan ikkita nuqtadan istalgan urinmagacha bo’lgan masofalar ko’paytmasi o’zgarmas bo’lib, b² ga teng bo’lsin.Berilgan nuqtalar orasidagi masofa 2c ga teng.

Yechilishi: Koordinata o’qlarini shunday tanlab olamizki, berilgan F₁ va F₂ nuqtalar Ox o’qda, koordinatalar boshi O esa bu nuqtalarning o’rtasida joylashgan bo’lsin, bu sistemada berilgan nuqtalar bunday yoziladi: F₁(c;0) va F₂(-c;0).Egri chiziqning istalgan M(x;y) nuqtasidagi urinma tenglamasini yX-Y-(x y-y)=0 ko’rinishda yozamiz, bu yerda X va Y_urinma nuqtalarining o’zgaruvchi koordinatalari.Urinma tenglamasini normal ko’rinishga keltirib, berilgan nuqtalardan urinmagacha bo’lgan p₁ va p₂ masofalarni topamiz:

, .

Shartga ko’ra p₁p₂=b², shuning uchun yoki , (30) bu yerda c²b²=a² deb olingan.Bu Klero tenglamasi.Uning umumiy yechimi to’g’ri chiziqlar oilasidan iborat.Maxsus integralni topamiz.Buning uchun umumiy yechimni c bo’yicha differensiallaymiz va ushbu tenglamalar sistemasini tuzamiz: