O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi buxoro davlat universiteti fizika-matematika fakulteti “matematika” kafedrasi «Oddiy differensial tenglamalar» fanidan kurs ishi mavzu

Misol: y=(y')²+2(y')³ tenglamaning umumiy yechimini parametrik shaklda topamiz.

y'=p deymiz; u holda y=p²+2p³.Buni x bo’yicha differensiallasak: y'=(2p+6p²) yoki y'=p bo’lgani va p ga qisqartirish mumkin bo’lgani uchun:1=(2+6p). Bu yerdan dx=(2+6p)dp va x=2p+3p²+c. Umumiy yechim bunday yoziladi: Bu yerda biz p≠0 deb faraz qildik. Agar p=0 bo’lsa, y=c ga egamiz; bu yechim esa tenglamani c=0 bo’lgandagina qanoatlantirishini ko’rish oson.

3) x ga nisbatan yechilgan va y qatnashmagan tenglama.

Bu holda tenglama x= φ(y') (11) ko’rinishga ega.Yuqoridagidek ish ko’ramiz. y'=p deymiz.Tenglama quyidagi ko’rinishda yoziladi: x=φ(p) (12). y'=p tenglikni bunday yozib olamiz: dy=pdx. Bu yerdan , yoki y=p φ(p)- (13). (12)va (13) tenglamalar sistemasi (11) tenglamaning parametrik shakldagi umumiy yechimidir.Ulardan p parametrni yo’qotib, Ф(x, y, c)=0 umumiy integralni hosil qilamiz.Shuni qayd qilib o’tish kerakki,(9),(10),(12) va (13) tengliklardagi p o’zgaruvchi ixtiyoriy parameter rolini o’ynaydi va istalgan boshqa harf bilan almashtirilishi mumkin.

Misol. x= y'sin y' tenglamaning umumiy yechimini parametrik shaklda topamiz.

y'=p deymiz;u holda x=psinp.Endi tenglikni dy=pdx kabi yozib olamiz.So’ngra bo’lgani uchun y=px+pcosp-sinp+c. Umumiy yechim quyidagicha yoziladi: x=psinp, y=p²sinp+pcosp-sinp+c.

4) x yoki y qatnashmagan,biroq y yoki x ga nisbatan yechilgan bo’lishi shart bo’lmagan tenglama.Tenglama ushbu ko’rinishga ega:F(y, y')=0 (14) yoki F(x, y')=0, shu bilan birga tenglamadan y ni (birinchi tenglamada) yoki x ni (ikkinchi tenglamada),shuningdek,p= y' ni t parameter orqali ifodalash mumkin deb faraz qilamiz.2) va 3) hollardagi kabi bu yerda ham tenglamaning umumiy yechimi parametrik shaklda hosil bo’ladi.Masalan,F(y, p)=0 tenglama bo’lgan holni ko’raylik.y=φ(t) deb,tenglamadan p=ψ(t) ni yoki,aksincha,p=ψ(t) deb tenglamadan y=φ(t) ni topdik deb faraz qilaylik.U holda,bir tomondan,dy=pdx=ψ(t)dx,ikkinchi tomondan,dy= φ '(t)dt.Bu dy uchun ikkala ifodani taqqoslab, ψ(t)dx= φ '(t)dt ni hosil qilamiz,bu yerdan va .Umumiy yechim parametrik shaklda quyidagicha yoziladi:

(15)

Misol: y= tenglamaning umumiy yechimini topaylik.

p=y'=sht deymiz; u holda y= .Ushbu tenglikdan dx= ni topamiz.dy=asht dt bo’lgani uchun dx=adt va x=at-c.Umumiy yechim parametrik shaklda quyidagicha yoziladi:. t parametrni yo’qotamiz.Buning uchun birinchi tenglamadan t ni topib,ikkinchi tenglamaga qo’yamiz.Natijada t=(x+c)/a va y=ach(x+c)/a.