O’zbekiston respublikasi oliy va o‟rta maxsus ta‟lim vazirligi buxoro davlat universiteti

1.1.2-natija. chiziqli operator chegaralangan bo‘lishi uchun uning uzluksiz bo‘lishi zarur va yetarli.
1.1.15-ta’rif. Bizga chiziqli normalangan fazolar va chiziqli chegaralangan operator berilgan bo‘lsin. Agar biror operator va ixtiyoriy lar uchun

tenglik o‘rinli bo‘lsa, operator ga qo‘shma operator deyiladi.
1.1.5-Misol. A:
Ax=( ) o’z o’ziga qo’shma operator ekanligini isbotlang.
Ixtiyoriy x,y uchun
(x,y)=
(Ax,y)= = = =(x,Ay) bu tenglikdan kelib chiqadiki A operator o’z o’ziga qo’shma operator ekan.
Demak, har bir funksionalga tenglik bilan aniqlanuvchi funksionalni mos qo‘yuvchi operator operatorga qo‘shma operator deb ataladi.
Qo‘shma operatorlar quyidagi xossalarga ega:
1. operator chiziqli.
2.
3. Ixtiyoriy son uchun
4. Agar uzluksiz bo‘lsa, u holda ham uzluksiz bo‘ladi.
1.1.4-teorema. Agar bo‘lsa, u holda va

tenglik o‘rinli.
1.1.16-ta’rif. Hilbert fazosi va operator berilgan bo‘lsin. Agar biror operator va ixtiyoriy lar uchun

tenglik o‘rinli bo‘lsa, operator ga qo‘shma operator deyiladi.
1.1.6-misol: A:
(Ax)(t)=t operatorning o’z o’ziga qo’shma operator ekanligini ko’rsating.
Yechish
A:
(Ax)(t)=t operatorni o’z - o’ziga qo’shmalikka tekshiring.
Yechish.
(Ax,y)= =
(

Demak A operator o’z –o’ziga qo’shma operator ekan.
1.1.7-ta’rif. Agar bo‘lsa, ya’ni ixtiyoriy uchun

tenglik o‘rinli bo‘lsa, operator o‘z-o‘ziga qo‘shma operator deyiladi.
1.1.7-misol. A,B :
(Ax)(t)=tx(t)
(Bx)(t)= A va B operatorlarning o’z o’ziga qo’shma operator bo’lishini isbotlang.
Yechish. Birinchi bo’lib A operatorning o’z-o’ziga qo’shma operator bo’lishini ko’rsatamiz.
(Ax,y)=
(Ax,y)= (x,Ay) bu tenglikdan kelib chiqadiki A operator o’z–o’ziga qo’shma operator bo’ladi.
Endi B operatorning o’z-o’ziga qo’shma operator ekanligini ko’rsatamiz
(Bx)(t)=
(Bx,y)= = bu tenglikdan kelib chiqadiki B operator ham o’z-o’ziga qo’shma operator bo’ladi.
Hilbert fazosida qo‘shma operatorlar quyidagi xossalarga ega: