O’zbekiston respublikasi oliy va o‟rta maxsus ta‟lim vazirligi buxoro davlat universiteti

1.2.2-teorema: kompleks soni o’z-o’ziga qo’shma bo’ladigan operatorning regulyar qiymatidir.
1.2.3-teorema: O’z-o’ziga qo’shma bo’lgan operatorning spektri haqiqiy sonlar o’qidagi kesmada yotadi, bu yerda

1.2.4-teorema: Agar operator o’z-o’ziga qo’shma operator bo’lsa, unda sonlari ning spektriga tegishli bo’ladi.
Isbot: soni uchun isbotini keltiramiz. Shuni aytib o’tish kerakki, agar operatori operatoriga almashtirilsa, unda uning spektri birlik chapga siljiydi.
sonlari esa mos ravishda va sonlariga o’zgaradi. Shuning uchun umumiy holatni buzmagan holatda deb hisoblash mumkin. Bu holatda o’rinli bo’ladi. soni operatorning spektriga tegishli bo’lishini ko’rsatamiz.
sonini aniqlanishiga ko’ra shunday ketma-ketlik topib, va

bo’ladi. Bundan tashqari

bo’ladi. Shuning uchun

yoki bo’ladi.
1.2.1-teoremaning natijasiga ko’ra soni ning spektriga tegishli bo’ladi. holatda ham shu kabi isbotlanadi.
1.2.1-natija: Ixtiyoriy o’z-o’ziga qo’shma operator bo’sh bo’lmagan spektrga ega bo’ladi.
1.2.1-misol: fazoni o’z-o’ziga aks ettiruvchi va

formula bilan aniqlangan operatorni ko’ramiz. operatorning spektri va rezolventasini topamiz.
Yechish: Avval operatorni va unga teskari operator bo’lgan rezolventasini topamiz. Har qanday uchun

bo’lgani uchun tenglik tenglikka teng kuchli bo’ladi. Ixtiyoriy uchun tenglama yaqona aynan nolga teng uzluksiz bo’lgan yechimga ega, shuning uchun operatorning xos qiymati mavjud emas. Unda teoremaga ko’ra istalgan uchun operator teskarilanuvchan bo’ladi. Lekin, bo’lganda,

formula bilan berilgan operator aniqlangan elementlar to’plami fazoning qizmi bo’lib, unga teng kuchli emas. Misol uchun deb olsak, lekin bo’ladi. Bulardab tashqari, uchun chegaralanmagan operator. Buni isbotlsymiz.
Agar yetarlicha katta bo’lsa unda bo’ladi va

funksiyalar ketma-ketligi toplamga tegishli bo’ladi. Bunda . Qurilishiga ko’ra ga teng. Ana endi quyidagi normani hisoblaymiz:

Shunday ekan, bo’lganda chegaralanmagan operator bo’ladi. Demak, . Endi holni qaraymiz, bu holatda istalgan uchun uzluksiz funksiya bo’lgani uchun operator fazoning hamma elementlarida aniqlangan va

tengsizlik o’rinli. Shunday ekan, istalgan son operator uchun regulyar nuqta bo’la oladi. Spektri yopiq to’plam bo’lgani uchun berilgan operatorning spektri kesmadan iborat bo’ladi. to’plam esa operatorning rezolventasi to’plami bo’ladi. ning nuqtadagi rezolventasi:

formula asosida aniqlanadi.