O’zbekiston respublikasi oliy va o‟rta maxsus ta‟lim vazirligi buxoro davlat universiteti

1.1.1-lemma. Agar bo‘lsa, u holda
1)
2)
3) tengliklar o‘rinli.
1.1.8-misol. Berilgan A:
(Ax)(t)=( operatorga qo’shma operatorni toping.
Yechish. A:
(Ax)(t)=(
(x,y)=
(Ax,y)=(x, )
(Ax,y)= =
(Ax,y)=
(Ax,y)=
( bu tenglikdan kelib chiqadiki A demak A operator o’z-o’ziga qo’shma operator emas ekan.
2. O’z-o’ziga qo’shma operatorlar va uning spektri
Bizga - Gilbert fazosi va operator berilgan bo’lsin. Agar elementlari uchun quyidagi

shartni qanoatlantiruvchi operatorga ning qo’shmasi deyiladi va agar tenglik o’rinli bo’lsa, ya’ni elementlar uchun

tenglik o’rinli bo’lsa, operatorga o’z-o’ziga qo’shma operator deyiladi.
1.2.1-lemma: - kompleks Gilbert fazosida o’z-o’ziga qo’shma bo’lgan chegaralangan operatorning barcha xos qiymatlari haqiqiy bo’ladi.
Isboti: Chindan ham, tenglama yechimga ega bo’lsin, unda:

tenglik o’rinli bo’ladi. Bu tenglikdan shrt o’rinli ekanligi kelib chiqadi.
1.2.2.-lemma: Operator o’z-o’ziga qo’shma chegaralangan bo’lsa, u holda har qanday xos qiymatlarga mos keluvchi xos vektorlari o’zaro ortogonal bo’ladi.
Isboti: Chindan ham, agar , va bo’lsa, unda

bo’ladi.
Bunga ko’ra esa ekanligi, ya’ni kelib chiqadi.
o’z-o’ziga qo’shma operator va kompleks soni uchun operatorlarning oilasini ko’ramiz.
Bizga ma’lumki, agar ya’ni bo’lsa, unda soni operator uchun regulyar qiymat bo’ladi. Shuning uchun operator spektri doiraning ichida va chegarasida joylashadi. Bu tasdiq Banax fazosida ta’sir etuvchi ixtiyoriy operator uchun operator spektrini joylashgan o’rnini aniq tavsiflash mumkin bo’ladi.
1.2.1-teorema: kompleks soni o’z-o’ziga qo’shma bo’lgan operator regulyar qiymati bo’lishi uchun shunday son topilib, hamma nuqtalarda

tengsizlik ning bajarilishi zarur va yetarkidir.
1.2.1-natija: kompleks soni o’z-o’ziga qo’shma operator spektriga tegishli bo’lishi uchun ketma-ketlik topilib, quyidagi

shart bajarilishi zarur va yetarlidir.

munosabatda deb olish mumkin, unda

bo’ladi.