O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi namangan davlat universiteti oliy ma’lumotli kadrlarni pedagogik va kasbiy qayta tayorlash markazi

O`ZBEKISTON RESPUBLIKASI

OLIY VA O`RTA MAXSUS TA`LIM VAZIRLIGI
NAMANGAN DAVLAT UNIVERSITETI

OLIY MA’LUMOTLI KADRLARNI PEDAGOGIK VA KASBIY QAYTA TAYORLASH MARKAZI
UMUM TA’LIM MAKTABIDA MATEMATIKA FANINI O’QITISH HUQUQINI BERISH BO’YICHA PEDAGOGIK QAYTA TAYYORLASH KURSI

MK-09-19/04 GURUH TINGLOVCHISI

___________________________________

Mavzu: Ikki o’zgaruvchili tenglama va tengsizliklarni o’qitish metodikasi
TAQRIZCHI: _________________


MUNDARIJA

KIRISH............................................................................................................

I BOB. Ikki o’zgaruvchili tenglama va tengsizliklar haqida tushuncha

1. 
   Bir o’zgaruvchili-chiziqli tengsizliklar sistemasi…………………………….
   

1.2 Ikki o’zgaruvchili tengsizliklar sistemasi ………………………………….

1.3 Ikki o’zgaruvchili tenglamalar sistemasi ……………………………………………
II BOB Ikki o’zgaruvchili tenglama va tengsizliklar o’qitish metodikasi

2.1 Ikki o’zgaruvchili tenglama va tengsizliklarni intervallar metodi bilan yechishdan foydalanish ………………………………………………………………

2.2 “Ikki o’zgaruvchili tenglama va tengsizliklar “ mavzusidagi mashg’ulotning

ishlanmasi va teхnologik xaritasi …………………...............................................................

Xulosa

Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati

Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati

ANNOTATSIYA

Ikki o’zgaruvchili tenglama va tengsizliklarning tatbiq doirasi kengdir. Jumladan, Ikki o’zgaruvchi, bir o’zgaruvchi, Tenglama ,Tengsizliklar va boshqalarni topish masalalari Vektorlarning chiziqli bogliqligi yordamida hal etiladi. Undan keyin Ikki o’zgaruvchili tenglama va tengsizliklarni hayotdagi boshqa sohalarga tatbiq etish mumkin va bu hozirda keng ko‘lamda qo‘llanadi.

АННОТАЦИЯ

Объем двумерных уравнений и неравенств широк. В частности, задачи нахождения двух переменных, одной переменной, уравнений, неравенств и т. Д. Решаются с помощью линейной связи векторов. Тогда двумерные уравнения и неравенства можно будет применить к другим областям жизни, и сейчас это широко используется.

ANNOTATION

The volume of two-dimensional equations and inequalities is wide. In particular, the problems of finding two variables, one variable, equations, inequalities, etc. are solved using a linear relationship between vectors. Then two-dimensional equations and inequalities can be applied to other areas of life, and now it is widely used.

K I R I SH

Yoshlarimizning mustaqil fikrlaydigan, yuksak intelektual

va ma’naviy salohiyatga ega bo‘lib, dunyo miqyosida

o‘z tengdoshlariga hech qaysi sohada bo‘sh kelmaydigan

insonlar bo‘lib kamol topishi, baxtli bo‘lishi uchun

davlatimiz va jamiyatimizning bor kuch va

imkoniyatlarni safarbor etamiz.

Sh.M.Mirziyoyev

Mavzuning dolzarbligi. Mamlakatimizda mustaqillik yillarida amalga oshirilgan keng ko‘lamli islohotlar milliy davlatchilik va suverenitetni mustahkamlash, xavfsizlik va huquq-tartibotni, jamiyatda qonun ustuvorligini, inson huquq va erkinliklarini, millatlararo totuvlik va diniy bag‘rikenglik muhitini ta’minlash uchun muhim poydevor bo‘ldi, xalqimizning munosib hayot kechirishi, jahon talablari darajasida ta’lim olishi va kasb egallashi, fuqarolarimizning bunyodkorlik salohiyatini ro‘yobga chiqarish uchun zarur shart-sharoitlar yaratdi. Yangi sharoitlardan kelib chiqib, “Ta’lim to‘g‘risida”gi va “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi to‘g‘risida”gi O‘zbekiston Respublikasi qonunlariga, 2017-2021- yillarga mo‘ljallangan “O‘zbekiston Respublikasini yanada rivojlantirish bo‘yicha Harakatlar strategiyasi”, O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining “Pedagog kadrlarni tayyorlash, xalq ta’limi xodimlarini qayta tayyorlash va ularning malakasini oshirish tizimini yanada takomillashtirish chora-tadbirlari to‘g‘risida”gi Qaroriga muvofiq, ta’lim bosqichlarining uzluksizligi va izchilligini ta’minlash, ta’limning zamonaviy metodologiyasini yaratish, davlat ta’lim standartlarini kompetensiyaviy yondashuv asosida takomillashtirish, o‘quv-metodik majmualarning yangi avlodini ishlab chiqish va amaliyotga joriy etish hamda pedagog xodimlarini qayta tayyorlash va ularning malakasini oshirish tizimini yanada takomillashtirish taqozo etadi.

geometric figuralarni yuzasi va hajmini topishda qo'llagan. Nyuton barcha fizikaviy hodisalar differensiallash va integrallash amallarining ketma-ket takrorlanish natijasida ro'y berishini kuzatadi. Shu prinsipni qo'llab ko'pgina natijalarga erishadi. Shu sababli ham integral va differensial tushunchalari nyuton nomi bilan bo'g'liq.

Vektor tushunchasi geometrik analizning asosiy tushunchalaridan biri bo’lib matematika, fizika, mexanika va boshqa fanlarning eng kuchli quroli hisoblanadi. Egri chiziqlar bilan chegaralangan yuzlarni, egri chiziq yoylari va uzunliklarini, hajmlarni, ishlarni, tezliklarni, yo’llarni, inersiya momentlarini va hokazolarni hisoblashga ishlarining hammasi integral hisoblashga keltiriladi.

BMIning maqsadi: O‘quv jarayonida interfaol xorijiy usullarni qo‘llash kurs ishining to‘liq o‘zlashtirilishini kafolatlaydi. Bu jarayonda nazariy mashg‘ulotlarni olib boorish pedagogik texnologiyalarga asoslangan. Shuningdek, ma’ruza matnlari va amaliy mashg‘ulotlarga oid fan materiallari bilan birgalikda testlar, va videomateriallar bilan boyitish fanni sifatli o‘qitish uchun eng dolzarb muammolardan biri hisoblanadi.

BMIning ob’ekti: Matematika kursini Ikki o’zgaruvchili tenglama va tengsizliklar bo’limini o’qitish jarayoni.

BMIning predmeti: Matematika kursida Ikki o’zgaruvchili tenglama va tengsizliklar boshqa fanlarga tadbiqini maqsadi, mazmuni, metodlari, vositalari va shakllaridan iborat.

BMIning vazifalari:

1. 
   Mavzuga oid metodik adabiyotlarni, me’yoriy xujjatlarni, o’quv darsliklarni, metodik qo’llanmalarni o’rganish, taxlil qilish, umumlashtirish.
   
2. 
   Maktablar Matematika kursida Ikki o’zgaruvchili tenglama va tengsizliklar i moxiyatini aniqlashtirish va o’qitishda interfaol metodlaridan foydalanishning samaradorligini ham nazariy, ham amaliy jihatdan o’rganib chiqish.
   
3. 
   Ikki o’zgaruvchili tenglama va tengsizliklari xisoblashni metodlarini egallash bilan bog’liq bo’lgan bilim ko’nikma va malakalar tizimini aniqlash.
   
4. 
   BMI ni yozish davomida olingan natijalarni xulosa va tavsiyalar tarzida shakllantirish va taqdim etish.
   

I BOB. Ikki o’zgaruvchili tenglama va tengsizliklar haqida tushuncha

1. 
   Bir o’zgaruvchili-chiziqli tengsizliklar sistemasi
   

Bir o’zgaruvchili ikki yoki undan ortiq chiziqli tengsizliklar to’plamiga bir o’zgaruvchili chiziqli tengsizliklar sistemasi deyiladi.

Tengsizliklar sistemasini yechish, bu o’zgaruvchining-sistemaning har bir tengsizligini qanoatlantiradigan barcha qiymatlari to’plamini topish demakdir.

Bir o’zgaruvchili (noma’lumli) ikkita chiziqli tengsizliklar sistemasini

(2)

qaraymiz. Bu sistemaning har bir tengsizligini alohida-alohida yechganda, quyidagi hollar bo’lishi mumkin.

1. Har bir tengsizlikning yechimida bir xil ma’noli tengsizlik bo’ladi, ya’ni

a)

Bunda bo’lsa, sistemaning yechimlarini topish uchun sonlar o’qini olib, unda birinchi (yuqorida) va ikkinchi (pastda) tengsizliklarning yechimlarini belgilaymiz. Bu tengsizliklar yechimlarining umumiy qismiga mos qiymatlar sistemaning yechimi bo’ladi. Uni deb yozamiz.

b)

Bunda bo’lsa, sistemaning yechimlari , ya’ni to’plamdan iborat.

2. Har bir tengsizlikning yechimida qarama-qarshi ma’noli tengsizliklar bo’ladi,

ya’ni

a)

Bunda bo’lsa, sistemaning yechimlari , ya’ni to’plamdan iborat bo’ladi.

b)

Bunda bo’lsa, sistemaning tengsizliklari bir-biriga zid yechimlarga ega bo’lib, sistema yechimga ega bo’lmaydi, ya’ni yechimlar to’plami bo’sh to’plam bo’ladi.

Eslatma. 2 sistemada tengsizlik belgilari har xil bo’lishi ham mumkin, masalan, birinchisida ikkinchisida , yoki va , va va hokozo. Bunday hollarda ham sistema yuqoridagiga o’xshash yechiladi.

Bir o’zgaruvchili chiziqli tengsizliklar sistemasini va tengsizliklar to’plamini yechish.

1. 
   Ta’rif. Agar bir nechta bir o’zgaruvchili tengsizliklar berilib, o’zgaruvchining ularning har birini qanoatlantiradigan barcha qiymatlari to’plamini toppish nazarda tutilganda, bir o’zgaruvchili tengsizliklar sistemasi
   

ЛОО V 0

f₂(x)V 0 (1) f_n(x) V 0

berilgan deyiladi.

a_tx + b-i V 0

• 
  ^ x n , ~ n , а-л x + Ь_л V 0 , , _
  

Agar f₁(x)=a_ix+b_i (bunda i=1,2,.,n) ya ni ,_ а₂х + Ь₂У 0 va

CLoX тО? VI) . _{7 л}

^{z z} a₃x + b₃ V 0

h.k. bo’lsa, (1) bir o’zgaruvchili chiziqli tengsizliklar sistemasidan iborat bo’ladi.

2. 
   Ta’rif. Bir o’zgaruvchili tengsizliklar sistemasining yechimi deb o’zgaruvchining shu sistemani tashkil etuvchi barcha tengsizliklarni qanoatlantiradigan qiymatiga aytiladi.
   
3. 
   Ta’rif. Tengsizliklar sistemasini yechish deb uning barcha yechimlar to’plamini topishga aytiladi.
   

Tengsizliklar sistemalari to’plami sistemani tashkil qiluvchi har bir tengsizliklarning yechimlari to’plamlarining kesishmasidan iborat bo’ladi.

1. 
   - misol. Tengsizliklar sistemasini yeching.
   

x+3 _ 1

• 
  > 3x + -
  

ishlanmasi va teхnologik xaritasi …………………............................................................... 2

1.1.Tengkuchli tengsizliklar va ularning xossalar 14

l) iH>0 ~ xx + A>0 « x£-4~ x>3' 25

li

Yechim har ikkala tengsizlikning yechimlari to’plamlarining kesishmasidan

iborat, ya’ni — —; +oo n -8;- =(— — ;-]. Javob : (- — ;-].

11 2 ^v ll'2^{J v} ll'2^J

4x — 1 > 0,5 — x

1. 
   Misol. Tengsizliklar sistemasini yeching. 7x — 9 < 3 — 5x
   

9. 
   — x > 5 + x
   

4x — 1 > 0,5 — x Sx > 1,5 x > 0,3

Yechish: 7x — 9 < 3 — 5x 12x < 12 <=> x <1

1.2 Ikki o’zgaruvchili tengsizliklar sistemasi

Endi ikki noma’lumli tengsizliklar sistemasini qaraymiz. Bunday sistemalarning umumiy ko’rinishi

dan iborat (tengsizlik belgilari har xil bo’lishi mumkin). Bu yerdagi har bir tengsizlik tekislikda qandaydir sohani tasvirlaydi. Berilgan sistemaning yechimlar to’plami shu sohalarning umumiy qismidan iborat bo’ladi(bo’sh to’plam bo’lishi ham mumkin). Masalan, ushbu

sistemani qaraymiz. U berilgan tengsizliklar kon’yunksiyasidan iborat: . Osongina ko’rish mumkinki, bu sistemaning grafigi markazi koordinata boshida va radiusi 6 ga teng bo’lgan doira bilan y=2 to’g’ri chiziqdan yuqorida joylashgan tekislikning umumiy qismidan iborat. Yuqoridagi (3) sistemaning xususiy holi bo’lgan ikki o’zgaruvchili chiziqli tengsizliklar sistemasini qaraymiz.

Bu sistemada va to’g’ri chiziqlar o’zaro parallel emas deb olamiz. Faraz qilaylik, bu sistemaning har bir tengsizligini y ka nisbatan yechib,

sistemani hosil qilgan bo’laylik. x o’zgaruvchining biror qiymatida bu sistema tengsizliklari o’rinli bo’lishi uchun

yoki bajarilishi zarur va yetarli(tranzitivlik qonuniga binoan).

Demak, p>k bo’lganda, va pbo’lganda, bo’lib sistemaning umumiy yechimi esa quyidagidan iborat.

, px+qagar p>k bo’lsa va

px+qbo’lsa.

Ravshanki, berilgan sistemaning grafigi tekislikda y=px+q to’g’ri chiziqdan yuqoridagi va y=kx+b to’g’ri chiziqdan pastdagi tekislik nuqtalari to’plamidan iborat.

Eslatma. (4) tengsizlikda tengsizlik belgilari turlicha yoki bir xil bo’lishi mumkin. Bundan tashqari, undagi va to’g’ri chiziqlar parallel ham bo’lishi mumkin. Bu hollarni o’rganishni o’quvchiga havola qilamiz.

Ikkita a va b haqiqiy son ab bo’lganda katta munosabatda bo’ladi. a va b sonlar ab (ab, a=b) bo’lganda tengsizlik munosabatida bo’ladi.

Tengsizlik “<” yoki “>” belgilar yordamida yozilgan bo’lsa, qat’iy “<” yoki “>” belgilar yordamida yozilgan bo’lsa, noqat’iy tengsizlik deyiladi.

masalan 7<11, m²>3 qat’iy, ^ + 2,a² < 1 noqat’iy tengsizlik.

Teorema: a>b bo’lsa, a-b musbat, ab bo’ladi. A-b manfiy son bo’lgandagina a

Sonly tegsizliklarning xossalari:

1. 
   Agar a>b va bc bo’ladi.
   
2. 
   a>b bo’lsa, ba bo’ladi.
   
3. 
   a>b va c - ixtiyoriy son bo’lsa, a±c > b±c bo’ladi.
   
4. 
   a>b va n>0 bo’lsa, an>bn yoki a:n>b:n bo’ladi.
   

To’g’ri tengsizlikning ikkala qismi biror manfiy songa ko’paytirilsa yoki bo’linsa hamda tengsizlik belgisi qarama-qarshilisiga almashtirilsa, yana to’g’ri tengsizlik hosil bo’ladi.

1. 
   Ta’rif: Ikkita tengsizlikda bir xil “>” (“>”) yoki “<” (“<”) belgi bo’lsa ular bir xil ma’noli, agar tengsizliklardan birida > belgi, ikkinchisi< belgi bo’lsa, ular qarama-qarshi ma’noli tengsizliklar deb ataladi.
   

5. 
   a>b va n<0 bo’lsa, a-n
6. 
   a>b va c>d bo’lsa, a+c>b+d bo’ladi. Bir xil ma’noli to’g’ri tengsizliklarning chap qismini chap qismiga, o’ng qismini o’ng qismiga qo’shish mumkin.
   
7. 
   a>b va cb-d bo’ladi.
   

Qarama-qarshi ma’noli to’g’ri tengsizliklarning chap qismidan chap qismini, o’ng qismidan o’ng qismini ayirib, birinchi tengsizlikning belgisini qo’yish mumkin.

8. 
   a>b>0 va c>d>0 bo’lsaac>bd bo’ladi. Qismlari musbat bo’lgan bir xil ma’noli to’g’ri tengsizliklarning mos qismlarini ko’paytirish mumkin.
   
9. 
   A>b>0 va neN bo’lsa, aⁿ>bⁿ bo’ladi.
   

Qismlari musbat bo’lgan to’g’ri tengsizlikning har ikki qismini bir xil natural ko’rsatkichli daraja shaklida yozish mumkin.

10. 
    a>b>0 bo’lsa - < - bo’’ladi.
    

a b

11. 
    a>b>0 va neN bo’lsa, ⁿ a>ⁿ b bo’ladi.
    

Ta’rif: ab>c (ab>c) tengsizlik qo’sh tengsizlik deyiladi.

Qo’sh tengsizliklarning asosiy xossalari:

1. 
   Agar ab>a bo’ladi.
   
2. 
   Agar a
3. 
   Agar a0 bo’lsa, an
4. 
   Agar abn>cn, yoki a:n>b:n>c:n bo’ladi.
   
5. 
   Ta’rif: a₁₁₁ bilan a₂₂₂ yoki a₁₁₁ bilan a₂₂₂ yoki a₁>b₁>c₁ bilan a₂>b₂>c₂ tengsizliklar bir xil ma’noli, a₁₁₁ tengsizliklar bilan a₂₂₂ yoki a₁>b₁>c₁ bilan a₂>b₂>c₂ tengsizliklar esa qarama - qarshi manoli qo’sh tengsizliklar deyiladi
   
6. 
   Agar a₁₁₁ va a₂>b₂>c₂ bo’lsa, a₁-a₂₁-b₂₁-c₂ bo’ladi.
   

4<10<15

Masalan 1) + o5<9

’ 4<2S<24

7. 
   Agar 0₁₁₁ va 0₂₂₂ bo’lsa, a₁a₂₁b₂₁c₂ bo’ladi.
   

Masalan, 1<8<15,4 va 2<4<7 bo’lsa,1-2<8-4<15,4-7 yoki 2<32<107,8

bo’ldi.

8. 
   Agar 0nnn bo’ladi.
   
9. 
   Agar 0 - > - bo’ladi.
   

a b с

1. 
   Tengkuchli tengsizliklar va ularning xossalar
   

f(x) va
(p(x) (1) (v belgi > yoki < belgilardan birini bildiradi), f(x) > (p(x) (1’), f(x)<
1’’) munosabatda bo’lsa, bir o’zgaruvchili tengsizlik deyiladi. Masalan

4) 9+3^x>3^2x 5) 4log3x<3+log3²x 6) sin2x>^

1. 
   5x-3<2--
   

^J 4

2. 
   5x-2>7x²
   
3. 
   x³-2x
   

va bir o’zgaruvchili tengsizliklar bo’lib, 1) birinchi darajali (chiziqli), 2) ikkinchi darajali (kvadratik), 3) uchinchi darajali, 4) ko’rsatkichli, 5) logorifmik, 4) trigonometric tengsizlikdir.

Ta’rif : tengsizlikning aniqlanish sohasi (D(T)) deb tengsizlikning har ikki qismdagi ifodalar aniqlanish sohalarining kesishmasiga aytiladi.

x-3>2x tensizlikning aniqlanish sohasi (-ro;+ro) dan x — 3 x — 4 < 0 tengsizlikning aniqlanish sohasi [0;+ro) dan iborat.

Ta’rif: Tengsizlikning yechimi deb o’zgaruvchining shu tengsizlikni to’g’ri tensizlikka aylantiradigan qiymatga aytiladi.

Ta’rif: tengsizlikni yechish uning barcha yechimlari to’plamini topishdan iborat.

Masalan, x-1<0 tengsizlikning yechimi (-^;1) to’plamdan, log₂x>3

Л

tengsizlikning yechimi [8;+ro) toplamdan, x >-1 tengsizlikning yechimi barcha

Л

haqiqiy sonlar toplami R dan, 10+x <0 tengsizlikning yechimi esa bo’sh to’plamdan iborat.

Ta’rif: ikki tengsizlikdan birining barcha yechimlari ikkinchisi uchun ham yechim bo’lsa, ikkinchisinning barcha yechimlari esa birinchisi uchun ham yechim bo’lsa, bunday tengsizliklar deyiladi.

Masalan, 2x<8 va x-1<3 teng kuchli tengsizliklardir, chunki har ikki tengsizlik uchun 4 dan kichik barcha haqiqiy sonlar to’plami yechim bo’ladi. Teng kuchli tengsizliklar (2x<8) О (x-1<3) kabi yoziladi.

Yechimlari bo’sh to’plamdan iborat bo’lgan tengsizliklar ham teng kuchli deb ataladi.

Teng kuchli tengsizliklarga doir teoremalarni keltiramiz.

2. 
   teorema. Tengsizlikning ikkala qismiga ixtiyoriy son yoki tengsizlikning aniqlanish sohasida ma’noga ega bo’lgan ifoda qo’shilsa (yoki ikkala qismidan ayrilsa), berilgan tengsizlikka teng kuchli tengsizlikka teng kuchli tengsizlik hosil bo’ladi.
   

Masalan, 1) 2x+3<7 О 2x +3+4x¹< 7+4x² (tengsizlikning har ikki qismiga tengsizlikning har ikki qismiga tengsizlikning aniqlanish sohasi (-ro;+ro) da

Л

aniqlangan 4x ifoda qo’shilgan);

3 3 4 4

2. 
   ->2<=>- + — >2+— (tengsizlikning har ikki qismiga uning
   

4

aniqlanish sohasi (-ro;ro)u(0;+ro) da aniqlangan — ifoda qo’shilgan);

2 2

2. 
   x>3 va x + —■ > 3 + —— tengsizliklar teng kuchli emas, chunki
   

ос"" 3 ос"" 3

ko’paytirilib (yoki bo’linib), tegsizlik belgisini qarama-qarshisiga almashtirilsa, berilgan tengsizlikka teng kuchli tengsizlik hosil bo’ladi.

1. 
   natija. Tengsizlikning ikkala qismidagi ifodalarning ishorasini qarama-qarshisiga o’zgartirib tengsizlik belgisini ham qarama-qarshisiga almashtirish mumkin.
   
2. 
   natija. Tengsizlikning har ikkala qismini ishorasi ma’lum bo’lmagan ifodaga ko’paytirish mumkin emas.
   

2X—1

Masalan < 1 tengsizlikning har ikki qismini x+1 ga ko’paytirib, 2x-

1+1 ko’rinishida yozish mumkin emas, chunki x+1 ning ishorasi ma’lum emas, u xe(-1;+<») bo’lganda musbat x е(-да;-1) bo’lganda esa manfiydir.

3. 
   Teorema. Agar tengsizlikning ikkala qismi musbat songa yoki tengsizlikning aniqlanish sohasida faqat musbat qiymatlarni qabul qiluvchi ifodaga ko’paytirilsa (yoki bo’linsa), berilgan tengsizlikka teng kuchli tengsizlik hosil bo’ladi.