O'zbekiston respublikasi oliy va o'rta maxsus talim vazirligi samarqand davlat universiteti haydarov Akram matematik fizika va analizning zamonaviy usullari va nokorrekt masalalari

u₂ £ С^2+Л(Т U Г₀ U Г) .
Xuddi shunga o'xshash x_n = —H giper tekislikga nisbatan toq davom ettirib, и £ С^2+Я(П U Г U Г_я) ekanligini isbotlash mumkin.
Lemma 1. Isbot bo'ldi.
Lemma 2. Agar q £ С^Я(П) bo'lib, (4), (6) shartlar bajarilsa, u holda (1), (3) masalaning С^2+Я(П) sinfga tegishli yechimi mavjud, hamda bu yechim Г U Г_H da u = g shartni qanoatlantiradi.
Lemmaning isboti x_n ga nisbatan juft davom ettirib, xuddi lemma 1 ga o'xshab isbotlanadi.
Lemma 3. Agar и funksiya (1) - (3) masaladagi g va h funksiyalar (4), (5) yoki (4), (6) shartlarni qanoatlantirsa, u holda П. da и > 0, u_Xn > 0 bo'ladi.
Isbot. и funksiyaning musbatligi maksimum qiymati prinsipiga ko'ra kelib chiqadi. (4), (5) holni qarab, u_Xn ni д orqali belgilaylik. (1) tenglamani va Г da (2) chegaraviy shartni x_n bo'yicha differenriallab,
П da Ad + qd = 0 , Г da д = g_Xn masalani hosil qilamiz.
(l)tenglamadan (aⁿⁿ = 1 bo'lganda)
Г₀ U Г_я da д_Хп = u_XnXn = А'и + qu = A'g + qg munosabatlarni (2) shartga ko'ra hosil qilamiz. Shunday qilib, Г_я da d_Xn = 0 Г₀ da d_Xn > 0 shartlar (4) , (5) ga asosan kelib chiqadi. Maksimum qiymat prinsipidan (4) ga asosan д = u_x >0 shart П da bajariladi.
Endi (4), (6) shart bajarilsa Г₀ da д = 0 chegaraviy shart hosil bo'ladi va xuddi (4), (5) shartlarga o'xshash isbotlanadi.
(uj, qj) juftlik (1) - (5) masalaning q = qj, g = gj ,h = hj (j = 1,2) bo'lgandagi yechimi bo'lsin.
Teorema 1. (1)- (5) masalaning g = gj bo'lganda yoki (1) - (6) masalaning g = gj , h = hj Г₀ da g_t > s₀ shartni qanoatlantiruvchi yechimlari bo'lsa, u holda quyidagi tengsizlik o'rinli
\щ + \q₂-_qim < C№\g₂-_gi\²⁺\n) + \h₂ - /ц|^1+я(Г₀),
tengsizlik o'rinli, bunda
M = \q₂\\D) + \_4l\\D) + \д\^2+л(дП) + |/ц|^1+;1(Го) Isbot. и = u₂ — щ , q = q_± — q₂ bo'lsin. (1) - (3) tengliklarning j = 2 tengliklaridan j = 1 bo'lgandagi tengliklarini ayiramiz:
Au + q₂u = u_±q , П da q_xn = 0, (7)
3D. da и — g₂ — g_± va Г₀ da u_Xn = h₂ — h_± , (8)
Lemma 3 dan П da щ > 0, u_1Xn > 0. Agar p = щ deb olsak shauder baholashlaridan |и₁|^2+я(П) norma C(M) dan oshmaydi. Teorema 1 ning Г da p = g_t > £₀ bo'lgani uchun D X (—£, 0) da p > £_t bo'ladi. Bunda ^£i — ^£i(^£o> Ю- Shunday qilib, shauder baholashlarining shartlari A + q₂ operator uchun bajariladi. Shuning uchun
\Щ-Щ\^2+Л(Т) + \_Ч2-_Ч1\^Л(0)<
< C(M) (\g₂ - д_±\^2+л(дП) + \h₂ - /ц|^1+А(Г₀)) (9)
tengsizlik hosil bo'lib, teoremani isboti kelib chiqadi
Teorema 2. (1) - (3) teskari masalaning yechimi turg'unlik xususiyatiga
ega.
Isbot. Buning uchun (1) - (3) masalaning yechimi uning berilganlariga uzluksiz ravishda bog'liq ekanligini ko'rsatishimiz kerak. Bu masalada berilganlar
ЗП da и = g Г₀ da u_Xn = h
bo'lganligi uchun g_lt h_t bo'lgandagi yechimni (щ, q_t) , g₂ , h₂ bo'lgandagi yechim (u₂, q₂) dan iborat bo'lib,
\3i ~ g₂\^2+A(dD.) <£ |h₂- К\^1+Л(г₀) < £ tengsizliklar o'rinli bo'lsin. Teorema 1 ga ko'ra
\Щ -uJ^Cn) + \q_± - q₂\\D) < 2£
tengsizlik xosil qilamiz. Bu tengsizlikdan
|u₂ -uj^+^cn) + Iq₁ - q₂\^X(D) 0, agar £ 0
bo'lsa. Demak, masala yechimi uning berilganlariga uzluksiz bog'liq ekan. Teorema isbot bo'ldi.
Ma'ruzani o'zlashtirish uchun savollar

1. 
   Teskari masala turg'unligini isbotlashda shauder baholashlarining qanday xossalaridan foydalaniladi?
   
2. 
   Ma'ruzadagi lemma 1 nima haqida?
   
3. 
   Ma'ruzadagi lemma 2 nima haqida?
   
4. 
   Ma'ruzadagi lemma 3 nima haqida?
   
5. 
   Lemma 1 da funksiyalarni davom ettirish nima uchun kerak bo'ldi?
   

Mustaqil topshiriqlar
1. Mustaqil o'zlashtirish uchun savollar

1. 
   Yarim fazoda Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasini yeching: Au(x, у, z) = 0 tenglamaning
   

u{x,y, 0) = g{x,y) = x + 2y, u_z(x,y, 0) = h(x,y) = 2x-y² shartda yechimini toping.

2. 
   Yarim fazoda Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasini yeching: Au(x, у, z) = 0 tenglamaning
   

u(pc, y, 0) = g(x, y) = xe^y, h(x, y) = 0.

3. 
   Yarim fazoda Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasini yeching: Au(x, у, z) = 0 tenglamaning
   

u{x, y, 0) = g(x, y)=xy + x², u_z(x, y, 0) = h(x, у) = e^x + y.

4. 
   Yarim fazoda Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasini yeching: Au(x, y, z) = 0 tenglamaning
   

u(x, y, 0) = g (x, y) = x sin у, u_z (x, y, 0) = h(x, y) = cos у

5. 
   Yarim fazoda Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasini yeching. Au(x, у, z) = 0 tenglamaning
   

u(x, y, 0) = g(x,y) = x³ + 2, u_z(x,y, 0) = 2x² - у shartda yechimini toping.

6. 
   Yarim fazoda Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasini yeching. Au(x, у, z) = 0 tenglamaning