O„zbekiston respublikasi oliy va o„rta maxsus ta‟lim vazirligi toshkent davlat iqtisodiyot universiteti
Download 3.55 Mb. Pdf ko'rish
|
Kompyuter grafikasi va dizayn
- Bu sahifa navigatsiya:
- V-splaynlarni hisoblash xususiyatlari
- Interpolyatsion V-splaynlar
V-splaynlar – bu (m+1) dan tashqari barcha kichik sohalarda nolga teng
bo‗lgan splayndir. Chiziqli (a), kvadratik (b) va kubik (v) splaylar quyidagicha aniqlash mumkin. V-splayn o‗zgarmas qiymatli bo‗lganda i- kichik sohada quyidagi ifodalar yordamida beriladi. . , 0 ; , 1 ) ( 1 0 , холда акс x x x x N i i i (4) va m-darajali bo‗lganda [x i ,x i+m+1 ] sohada ) ( ) ( ) ( 1 , 1 1 1 1 1 , , x N x x x x x N x x x x x N m i i m i m i m i i m i i m i (5) (4) va (5) tenglamalardan past darajali V-splaynlar uchun ifodani aniq ko‗rinishini berish uchun foydalanish mumkin. Chiziqli: 65 . , ) ( 2 1 1 2 2 1 1 1 , i i i i i i i i i i i x x x агар x x x x x x x агар x x x x x N (6) Kvadratik: ; ) )( ( ) ( ) ( 1 1 2 2 2 , i i i i i i i i x x x агар x x x x x x x N ; ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) ( 2 1 1 2 1 3 1 3 1 2 2 1 2 , i i i i i i i i i i i i i i i x x x агар x x x x x x x x x x x x x x x x x N ; ) )( ( ) ( ) ( 3 2 2 3 1 3 2 3 2 , i i i i i i i i x x x агар x x x x x x x N (7) Birlashtiruvchi nuqtalarning L uzunlikdagi segmentlarda tekis joylashtirilsa, keltirilgan ifodalar ancha soddalashadi. Bu holda qulaylik uchun x i = iL deb va me‘yorlangan o‗zgaruvchi kiritiladi. u=(x-x tc )/L=x/L-i. (8) Natijada V-splaynlar ifodasi quyidagi ko‗rinishga keladi. Tekis chiziqli: 2 1 2 1 0 ) ) (( 1 , u агар u u агар u L u i U i (9) Tekis kvadratik: ; 1 0 2 1 ) ) (( 2 2 , u агар u L u i U i ; 2 1 2 3 4 3 ) ) (( 2 2 , u агар u L u i U i (10) ; 3 2 ) 3 ( 2 1 ) ) (( 2 2 , u агар u L u i U i Agar birlashtiruvchi nuqtalar tekis taqsimlangan bo‗lsa, (5) tenglamadan bevosta foydalanib, kvadratik splayn formulasidan kubik splayn ifodasini olish mumkin. ; 1 0 6 1 ) ) (( 3 3 , u агар u L u i U i 66 ; 2 1 ) 2 ( ) 2 ( 2 1 3 2 ) ) (( 2 3 3 , 1 u агар u u L u i U ; 3 2 ) 2 ( ) 2 ( 2 1 3 2 ) ) (( 2 3 3 , 1 u агар u u L u i U ; 4 3 ) 4 ( 6 1 ) ) (( 2 3 , u агар u L u i U i (11) V-splaynlardan asos sifatida foydalanib, ixtiyoriy splayn ifodasini olamiz. 1 , ). ( ) ( k m i m i i x N a x p (12) Bu tenglamada (k+m) ta parametr: a m , a m+1 , … , a k-1 bor. P(x) splaynning har bir kichik sohadagi qiymati ko‗pi bilan (m+1) ta V-splayn yig‗indisi bilan aniqlanadi, ya‘ni lokallik xususiyatiga ega. (12) tenglamada ixtiyoriy koeffitsiyentini o‗zgartirish egri chiziq ko‗rinishini faqat (m+1) ta bo‗lakda o‗zgarishiga olib keladi. V-splaynlarni hisoblash xususiyatlari. (5) tenglama V-splaynning x nuqtadagi qiymatini aniqlashning sodda jarayonidir. Har bir [x i , x i+1 ] segment uchun m darajali noldan farqli (m+1) ta splayn mos keladi. Bu segmentda ) ( , x N m i ning qiymati ) ( 1 , x N m i gagina bog‗liq, chunki ) ( 1 , 1 x N m i bu segmentda nolga teng. ) ( , 1 x N m i (0 l m) esa ) ( , x N m l i ga ham, ) ( 1 , 1 x N m l i ga ham bog‗liq bo‗ladi. Bu munosabatlar 4-chizmada ko‗rsatilgan. (splaynning har bir hadi yuqori satrdagi bir yoki ikki hadning me‘yorlangan yig‗indisini beradi, yo‗nalish ko‗rsatkichi hisoblash yo‗nalishini, vertikal chiziqlar (5) tenglamadagi birinchi ko‗paytuvchiga ko‗paytirishni bildiradi). m – darajli V-splaynning qiymatini aniqlash uchun chizmadagi oldingi (m-1) bosqichni o‗tish va ularning har birida V-splaynning ) ( , x N j m j i va ) ( , x N j m l i bo‗yicha qiymatlarini aniqlash lozim. Bu yerda j V-splayn darajasidir. Interpolyatsion V-splaynlar Faraz qilaylik, (t 1 ,y 1 ), (t 2 ,y 2 ), … , (t n ,y n ) interpolyatsiya ko‗p hadi yoki splaynni qurish uchun berilgan nuqtalar bo‗lsin. Masalani yechishning turli yo‗llari ma‘lum. Ulardan biri har bir nuqtani splayn tuguni deb hisoblashdan iborat. Splayn (k+m) ta turg‗unlik darajasiga ega bo‗lishini hisobga olsak, kichikroq m larda (odatda, ko‗pincha shunday bo‗ladi) k = n – 1 deb t 1 , t 2 , … , t n larni esa bog‗lovchi nuqtalar 67 deb qarash mumkin. N holi uchun izlanayotgan egri chiziq berilgan nuqtalarni tutashtiruvchi to‗g‗ri chiziqlar to‗plami bilan to‗liq aniqlanadi. m = 3 turg‗unlik darajalari soni m+2 ta bo‗ladi. Natijada egri chiziq shu nuqtalardan o‗tishni ta‘minlovchi cheklanishlar kiritilgandan so‗ng ikkita turg‗unlik darajasi foydalanilmaydi. Amaliy masalalar echilganda chet nuqtalardan foydalanilmaydi va ularda urinmalar berilmaydi. Boshqacha yondoshishda birlashtiruvchi nuqtalar berilgan nuqtalar bilan galma-gal almashib keladi, ba‘zan k + m = n shart ham talab etilishi mumkin. Bu holni interpolyatsion splayn koeffitsiyentlarini aniqlash uchun V-splaynlar qo‗llanganda batafsilroq ko‗rib chiqaylik. Yuqorida aytilganidek, birlashtiruvchi nuqtalar soni k-1 ta bo‗lsin. U holda x i t i x i+1 uchun quyidagi tenglama o‗rinli. a i N i,m (t j ) + a i-1 N i-1,m (t j ) + … + a i-j N i-j,j (t j ) = y j , 1 j n. (13) Jami shunday (k + m) o‗zgaruvchida n ta tenglama bo‗ladi. Har bir tenglama (m + 1) hadga ega bo‗ladi, ya‘ni unga mos matritsa kamida m ta pastki va m ta yuqorigi diognallar bilan aniqlanuvchi qatlamlarga bo‗lingan. Har bir nuqta (10) yoki (11) tenglama bilan noldan farqli V-splaynlarning faqat m tasining qiymalari orqali beriladi. Kvadratik splayn uchun parametrlar ifodasi quyidagicha bo‗ladi: a i + a i-1 = 2y i , i = 1, 2, …, n, Kubik splaynlar uchun esa ifoda quyidagicha bo‗ladi: a i + 4a i-1 + a i-2 = 6y i , i = 1, 2, …, n (14) Bu tenglamalar tizimiga yana chetki nuqtalarga qo‗yilgan cheklanishlar ham qo‗shiladi. Aks holda echim trivial bo‗ladi. Agar izlanayotgan egri chiziq davriy deb faraz qilinsa, chetki nuqtalarga qo‗shimcha cheklanishlar qo‗shish o‗rniga o‗zgaruvchilar soni a 0 = a n hisobiga kamayadi. Umumiy hol biroz murakkabroq. O‗z- o‗zidan ravshanki, har bir segmentda berilgan nuqtalar soni (m+1) dan oshmasligi lozim. Aks holda tizimda ortiqchalik vujudga keladi. Agar berilgan va birlashtiruvchi nuqtalar aralashib ketsa, bu hol uchun faqatgina (m+1) ta noldan farqli dioganal bo‗lishi mumkin. Ular orasidagi (15) shart o‗rinli bo‗lishi muhimdir. Interpolyatsion ko‗p had tuzish masalasi faqat N jm (t j ) 0, j = 1,2, … ,n. (15) 68 bo‗lsagina yagona echimga ega bo‗ladi. Buni shunday tushuntirish mumkin. Har bir oraliqda birlashtiruvchi nuqtalar orasida faqatgina (m+1) ta noldan farqli V- splaynlar bor. (15) shart bajarilishi uchun bu oraliqda (m+1) tadan ortiq nuqta berilishi mumkin emas. Bu tizimda ortiqchalik vujudga kelmaslikni ta‘minlaydi. Yana N jm (t j ) V-splayn (x j , x j+m+1 ) kichik sohada noldan farqli bo‗lishi va shu sababli t j berilgan nuqtani o‗z ichiga olgan yagona kichik soha ekanligi ma‘lum. (12) tenglamadagi V-splaynlar soni (n = k + m) ga teng bo‗lganligi sababli qo‗shimcha cheklanish vujudga keladi. V-splaynlardan i-chisi faqat birinchi berilgan biror nuqtani o‗z ichiga oluvchi kichik sohadagina noldan farqli bo‗ladi. Xuddi shu gap oxirgi kichik soha uchun ham o‗rinlidir. Agar birinchi kichik soha berilgan ikki nuqtani o‗z ichiga olsa, ikkinchisi birorta ham nuqtani o‗z ichiga olmasligi mumkin. Aks holda ikkinchi kichik soha hech bo‗lmaganda berilgan bitta nuqtani o‗z ichiga oladi. Download 3.55 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling