O„zbekiston respublikasi oliy va o„rta maxsus ta‟lim vazirligi toshkent davlat iqtisodiyot universiteti

 
 
 
 
 
 
 
 
1 – rasm. Bez‘e egri chiziqlari 
4.3. Splaynlar yordamida nuqtalar bo„yicha egri chiziqlarni chizish 
 
4.3.1. Ko„phadlaryordamida interpolyatsiyalash 
To‗g‗ri va egri chiziqli kesmalar (yopiq va ochiq chiziqlar) ko‗plab qo‗sh 
qiymatli va bo‗laklash, skelet olish, kontur olish va hokazolar vositasida olingan ko‗p 
qiymatli tasvirlarning asosiy tarkibni tashkil etadi. Tasvirga ishlov berish, tahlil etish 
va tanish bo‗yicha ba‘zi amaliyot masalalarini echishda egri chiziqli sohadagi 
nuqtalar ketma-ketligi sifatida berish etarli bo‗lsa, ba‘zilari uchun esa ularning 
matematik ifodasini berish zarur. Keyingi usulda tasvirni berish anchagina ixchamroq 
bo‗ladi. Diskret egri chiziq matematik usulda ikki xil quriladi, berilgan nuqtalardan 
o‗tuvchi egri chiziqni qurish interpolyatsiya, nuqtalar yaqinidan o‗tuvchisini qurish 

---

61 
approksimatsiya masalasiga olib keladi. Odatda ikkisi ham berilgan nuqtalarga ko‗ra 
egri chiziq qurish yoki egri chiziqlarni tavsiflash deb ataladi. 
Interpolyatsiya masalalarini echish matematik nuqtai-nazardan engilroq, lekin 
ko‗pgina masalalarni echish jarayonida approksimatsiyalash maqsadga muvofiqroq 
bo‗ladi, chunki ishlov berilayotgan axborot xalaqitlar ta‘sirida buzilgan bo‗ladi. Bu 
usullardan birini tanlash vaqtida ishlatiladigan nuqtalar to‗plamini interaktiv (EHM 
va dastur bilan bevosita muloqot usuli) usulda aniqlash va u nuqtalar yaqinidan 
o‗tuvchi to‗g‗ri chiziqni qurish ularni kelishtiruvchi echim bo‗lib xizmat qiladi. 
Ko‗pincha egri chiziqlarni qurishda matematik ifoda (funksiya) qiladi tanlash hal 
qiluvchi ahamiyat kasb etadi. Bu haqda fikr yuritilganda eng birinchi hayolga 
keladigan narsa ko‗p hadlar bo‗lsa ham odatda ko‗p masalalarini echishda ularni 
qo‗llash yaxshi natija bermaydi. Egri chiziqlarni qurishda keng tarqalgan usullar bu 
turli bo‗lakli – polinomial funksiyalardan foydalanuvchi usullardan. Approksimatsiya 
masalalarini echishda yaqinlashish sifatini baholash mezonlarini tanlashga alohida 
e‘tibor berish lozim. Nuqtadan egri chiziqgacha bo‗lgan masofa yaxshigina mezon 
hisoblanadi, lekin ko‗pincha murakkab hisob-kitobni talab etadi. Asosiy maqsad, 
istak va voqiylik orasidagi eng ma‘qul yo‗lni tanlashdir.
 
(x
1
,y
1
), (x
2
,y
2
), …, (x
n
,y
n
) – tekislikda berilgan, i≠j da x
i
≠x
j 
bo‗lgan nuqtalar 
ketma-ketligi. Bunday nuqtalar uchun bevosita (n-1) darajali interpolyatsiya ko‗phadi 
ifodasini yozish mumkin: 
;
)
)...(
(
)
)....(
(
...
)
)...(
)(
(
)
)...(
)(
(
)
)...(
(
)
)....(
(
)
(
1
1
1
2
2
3
2
1
2
3
2
2
1
2
1
2
1





















n
n
n
n
n
n
n
n
n
u
x
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x
y
x
P
yoki 




n
j
j
i
n
x
x
П
y
x
P
1
1
)
(
)
(
Bu ifodadan y
1
qiymat x = x
1
da 1, qolgan holatlarda 0 ga teng kasrga 
ko‗paytirilishi kelib chiqadi. n = 2 bo‗lgan xususiy holda o‗ng ifoda berilgan ikki 
nuqtadan o‗tuvchi to‗g‗ri chiziq tenglamasiga o‗xshab qoladi. Interpolyatsiyalash 
usulining asosiy kamchiligi unda ikki nuqtani birlashtiruvchi chiziq sezilarli ravishda 

---

62 
chetlashadi. Misol sifatida (0,0), (1,3), (2,0), (3,0), (4,0) nuqtalarda o‗tadigan chiziq 
ko‗phadi 
P(x) = -1/2x (x-2) (x-3) (x-4) (10.1-chizma) ni ko‗rib chiqaylik.
U (0,67; 3,46), (2,46; -0,47) va (3,5; 0,66) nuqtalar yaqinida joylashgan uchta 
ekstremumga ega. 
Bu holning sababi ko‗phad x ning darajali qiymatlari yig‗indisidan iborat. 
Ularning butun soha bo‗yicha qiymatlari kichik, ixtiyoriy bo‗lmagan kichik sohadagi 
qiymatga qarab aniqlanadi. Ko‗p had koeffitsiyentlarini berilgan nuqtalar 
koordinatlarini qoniqtiradigan qilib tanlanadi, ammo boshqa nuqtalardagi ko‗p had 
qiymatini boshqarib bo‗lmaydi. Har bir sonning qiymati anchagina katta bo‗lishini 
hisobga olsak, katta tebranishlar bo‗lishi o‗z-o‗zidan ravshan. Shu sababli bo‗lakli 
ko‗p hadlar yordamida interpolyatsiyalash maqsadga muvofiqroq. Bu holda oraliq 
nuqtalar kiritiladi. Bir misol ko‗raylik. Aytib o‗tilgan oraliq nuqta uchun bo‗lakli-
kvadrat ko‗p had ishlatiladi. (1.5, 1.35) oraliq nuqta kiritsak echim qo‗yidagicha 
bo‗ladi : 
P
a
(x) = 6x(0,6-0,7x), 0 

x 

1,5; 
P
b
(x) = 5,4(x-2)
2
,
1,5 

x 

2; 
P
c
(x) = 0,
2 

x 

4. 
Bu misollardan ko‗rinib turibdiki, ko‗p hadlarni kichik oraliqlarda ishlatish 
maqsadga muvofiq, ya‘ni ular bundan samaraliroq vositalar uchun asos bo‗lib xizmat 
qiladi. Shu bilan birga har vaqt ham bo‗lakli ko‗phadlar oddiysiga nisbatan yaxshi 
natija beravermaydi. Agar aniqlash sohasi noto‗g‗ri aniqlansa bo‗lakli ko‗phadlarning 
ustunligi yo‗qqa chiqadi. 
Ba‘zan nuqtalar to‗plamidan tashqari ularning har biri uchun egri chiziqning 
urinmalari ham beriladi. Bu holda interpolyatsiya ko‗p hadi ifodasi anchagina 
murakkablashadi. Ikkita nuqta va ulardagi urinmalar (x
1
, u
1
, u
1
) va (x
2
, u
2
, n
2
) 
berilgan holni ko‗rib chiqamiz: 

---

63 
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
2
2
2
1
2
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
x
x
x
y
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x
y
y
y
x
x
x
x
x
x
x
x
y
y
y
x
p

































Umumiy holda bunday interpolyatsiyalash ifodasi sifatida uchinchi darajali 
ko‗p had keladi. U faqat u′
1 
va u′
2 
shu ikki (x
1,
u
1
) va (x
2,
u
2
) nuqtalarni birlashtiruvchi 
to‗g‗ri chiziq burchak koeffitsiyentiga teng bo‗lgandagina chiziqli, faqat u′
1 
va u′
2 
ning o‗rtacha qiymati shu koeffitsiyentga teng bo‗lgan holdagina ikkinchi darajali 
bo‗ladi.