O„zbekiston respublikasi oliy va o„rta maxsus ta‟lim vazirligi toshkent davlat iqtisodiyot universiteti

i 

0 da (x
i 
+ 1, u
i 
- 1) diagonal nuqta haqiqiy aylana ichida joylashadi. 
Tushunarliki bunday hollarda yoki piksel (x
i
 + 1, u
i
) m
H 
yoki piksel (x
i
 + 1, u
i
 - 1) m
D 
larni tanlash kerak. Buning uchun birinchi navbatda 1 holatni qarab chiqamiz va 

---

79 
aylanadan diagonal va gorizontal yo‗nalishdagi piksellargacha bo‗lgan masofani 
kvadratlar farqini tekshiramiz: 

 = [(x
i
 + 1)
2
 + (y
y
)
2
 - R
2
] – [(x
i
 + 1)
2
 + (y
i 
- 1)
2
 - R
2
] 

 

 0 bo‗lganda aylanadan diognal pikselgacha bo‗lgan masofa (m
D
) dan katta. 
Teskarisi, agar 

 0 bo‗lganda gorizontalgacha bo‗lgan masofa (m
H
) katta.
Shunday qilib, 

 

 0 bo‗lganda m
H 
ni (x
i
 + 1, u
i
) da tanlaymiz. 

 

 0 bo‗lganda 
m
D 
ni (x
i
+ 1, u
i
- 1) da tanlaymiz. 

= 0 bo‗lganda aylanadan ikki pikselgacha 
bo‗lgan masofa bir xil gorizontal qadamni tanlaymiz. 

miqdorini baholash uchun 
zarur bo‗lgan hisoblar sonini, agar birinchi holatni e‘tiborga olsak, kamaytirish 
mumkin. 
(x
i
 + 1)
2
 + (y
i
)
2
 - R
2

 0 
(x
i
 + 1)
2
 + (y
i 
- 1)
2
 - R
2

 0 
Shunday qilib, diagonal piksel (x
i
+ 1, u
i
- 1) har doim aylana ichida yotadi, 
gorizontal piksel (x
i
+ 1, u
i
) esa aylana tashqarisida. Shunday qilib, 

ni quyidagi 
formula bo‗yicha hisoblash mumkin.

 = (x
i
 + 1)
2
 + (y
i
)
2
 - R
2 
 + (x
i
 + 1)
2
 + (y
i 
+ 1)
2
 - R
2
 
2y
i 
+ 1 qo‗shish va ayirish yordamida (y
i
)
2 
qatnashchilarni to‗la kvadratgacha 
to‗ldirish quyidagini beradi.

 = 2 [(x
i
 + 1)
2
 + (y
i 
- 1)
2
 - R
2 
] + 2y
i 
- 1 
Kvadrat qavslar ichida aniqlanishi bo‗yicha 

i 
va uning qo‗yiluvchilari turadi. 

 = 2 (

i
 +y
i
)- 1 
Ifodani sezilarli darajada qisqartiradi.
Ikkinchi holatni ko‗rib chiqamiz va bu yerda (x
i
+ 1, u
i
) gorizontal piksel 
tanlanishi zarurligini e‘tiborga olamiz. Shunday qilib u monoton kamayuvchi 
funksiya. 

 komponentini tekshirish ko‗rsatadiki 
(x
i
 + 1)
2
 + (y
i
)
2
 - R
2

 0 
(x
i
 + 1)
2
 + (y
i
- 1)
2
 - R
2

 0 

---

80 
Ikkinchi holatda gorizontal (x
i
+ 1, u
i
) va diagonal (x
i
+ 1, u
i
- 1) piksellar 
aylana ichida yotadi. Shunday qilib 

 

0 va xuddi 1 holat kabi shu kriteriyadan 
foydalanilganda (x
i
 + 1, u
i
) piksel tanlanadi.
Agar 

i 

0 bo‗lsa, u holda (x
i
+ 1, u
i
- 1) diagonal nuqta aylana tashqarisida 
joylashadi. Bu holatlardan ko‗rinadiki, yoki piksel (x
i
 + 1, u
i
 - 1) m
D 
yoki (x
i
,y
i 
- 1) m
V 
piksellar tanlanishi shart. Aylanadan diagonal m
D 
va vertikal m
V 
piksellargacha 
masofani kvadratlari orasidagi farqni tekshirish orqali kriteriya tanlovini olish 
mumkin. 

1
 = [(x
i
 + 1)
2
 + (y
i 
- 1)
2
 - R
2
] – [(x
i
)
2
 + (y
i 
- 1)
2
 - R
2
] 

 
1

 0 bo‗lganda aylanadan vertikal pikselgacha (x
i
,y
i 
- 1) bo‗lgan masofa katta 
va (x
i
+ 1, u
i
- 1) m
D 
piksellarga diagonal qadamni tanlash kerak bo‗ladi. Teskari 
holatda 

1 

0 aylanadan diagonal pikselgacha bo‗lgan masofa katta va (x
i
,y
i 
- 1) 
pikselga vertikal harakatni tanlash kerak. Shunday qilib,

1 

 0 bo‗lganda (x
i
 + 1, u
i
 - 1) da m
D 
ni tanlaymiz. 

1 

 0 bo‗lganda (x
i
,y
i
- 1) da m
V 
ni tanlaymiz. 

1
= 0 bo‗lgan holatda masofalar teng va diagonal qadam tanlangan. 

1 
komponentlarini tekshirish ko‗rsatdiki 
(x
i
 + 1)
2
 + (y
i
- 1)
2
 - R
2

 0 
(x
i
)
2
 + (y
i
- 1)
2
 - R
2

 0 
Shunday qilib, 3 holatda diagonal piksel (x
i
+ 1, u
i
- 1) aylanadan tashqarida 
joylashadi, vertikal piksel (x
i
,y
i 
- 1) aylana ichida yotadi. Bu 

1 
ni quyidagi 
ko‗rinishda yozish imkonini beradi.

1
 = (x
i
 + 1)
2
 + (y
i
- 1)
2
 - R
2 
+ (x
i
)
2
 + (y
i
- 1)
2
 - R
2
2x
i 
+ 1 ni qo‗shish va ayirish yordamida (x
i
)
2 
qatnashchilarini to‗la 
kvadratgacha to‗ldirish quyidagini 

1
 = 2 [(x
i
 + 1)
2
 + (y
i
- 1)
2
 - R
2 
] + 2x
i
- 1 

i 
aniqlovchidan foydalanish ifodani quyidagi ko‗rinishga keltiradi. 

1
 = 2 (

i
 - 1) - 1 

---

81 
4 holatga qarab (x
i
,y
i 
- 1) vertikal pikselni tanlash lozim ekanligini e‘tiborga 
olamiz, shunday ekan x funksiya o‗sganda u funksiya monoton kamayuvchi funksiya 
hisoblanadi. 
4 holat uchun 

1 
komponentlarini tekshirish quyidagini ko‗rsatadi 
(x
i
 + 1)
2
 + (y
i 
- 1)
2
 - R
2

 0 
(x
i
)
2
 + (y
i 
- 1)
2
 - R
2

 0 
kelib chiqadiki ikala piksel ham aylanadan tashqarida joylashgan.
Shunday qilib, 

1 

0 va 3 holat uchun qayta ishlangan kriteriyadan 
foydalanilganda m
V 
va to‗g‗ri tanlov amalga oshiriladi.
Diagonal piksel (x
i
+ 1, u
i
- 1) aylanada yotganda uchraydigan 5 holatni 
tekshirish qoldi.

 komponentlarini tekshirish shuni ko‗rsatdiki 
(x
i
 + 1)
2
 + (y
i
)
2
 - R
2

 0 
(x
i
+ 1)
2
 + (i
i
- 1)
2
 - R
2
 = 0 
Shunday qilib, 

1 

0 va (x
i
+ 1, u
i
- 1) diagonal piksel tanlanadi. Logik usul 
bilan 

 komponentini baholaymiz.
(x
i
 + 1)
2
 + (y
i
- 1)
2
 - R
2
 = 0 
(x
i
)
2
 + (y
i
- 1)
2
 - R
2

 0 
va 

1

 0 ga (x
i
 + 1, u
i
 - 1) diagonal qadamni to‗g‗ri tanlash sharti hisoblanadi. 
Shunday qilib 

i
 = 0 holat, 

i 

 0 yoki 

i 

 0 holatlar kabi bita kriteriyaga bo‗ysunadi.
Olingan natijalardan xulosa chiqaramiz: 

i

 0 

1

 0 bo‗lganda (x
i
 + 1, u
i
)

 m
N 
pikselni tanlaymiz. 

1

 0 bo‗lganda (x
i
+ 1, y
i
- 1)

 m
D 
pikselni tanlaymiz. 

i

 0 

1

 0 bo‗lganda (x
i
 + 1, u
i
- 1)

 m
D 
pikselni tanlaymiz. 

1

 0 bo‗lganda (x
i
, y
i
- 1)

 m
V 
pikselni tanlaymiz. 

i

 0 bo‗lganda (x
i
 + 1, u
i
- 1)

 m
o 
pikselni tanlaymiz. 

---

82 
Birinchi navbatda (x
i
+ 1, u
i
) piksel uchun m
N 
gorizontal qadamni qarab 
chiqamiz. Buni pikselni (i + 1) yangi holatni deb belgilaymiz. Shunda yangi piksel 
koordinatasi va 

i 
qiymati quyidagiga teng: 
x
i + 1
 = x
i+ 1 
u
i + 1
 = u
i
 

i + 1
 = (x
i+ 1 
+ 1)
2
 + (u
i+ 1 
- 1)
2
- R
2
= (x
i+ 1
)
2
 + 2x
i+ 1 
+ 1 + u
i
- 1)
2
- R
2
=
 
= (x
i
 + 1)
2
 + (u
i
 - 1)
2
 - R
2
 + 2x
i+ 1 
- 1= 

i
 + 2x
i+ 1 
- 1. 
(x
i
 + 1, u
i 
- 1) pikselga m
D 
qadam uchun 

I 
qiymati va yangi piksel koordinatasi 
quyidagicha: 
x
i + 1
 = x
i
 + 1
 
u
i + 1
 = u
i
 - 1 

i + 1
 = 

i 
+ 2x
i + 1 
- 2u
i+ 1 
+ 2 
Xuddi shunday (x
i
, y
i 
- 1) ga m
V 
qadam uchun ham 
x
i + 1
 = x
i 
u
i + 1
 = u
i
 - 1 

i + 1
 = 

i
- 2u
i+ 1 
+ 1. 
Brezemxem algoritmini aylana uchun psevokodda qo‗llash pastda keltirilgan