O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi zahiriddin muhammad bobur nomli

Tenglamalarni natijaga o‘tish yo’li bilan yechish
Agar r(x) = h(x) tenglama ildizlari orasida f{x)=g(x) tenglamaning barcha ildizlari saqlansa, r(x) = h(x) tenglama f(x) = g(x) tenglamaning natijasi deyiladi. Tenglamalarni natijaga o‘tib yechishda ildizlar yo‘qolmaydi, balki chet ildizlar paydo bo‘lishi mumkin. Demak, tenglamani yechish jarayonida natijaga o‘tishdan foydalanilgan bulsa, albatta topilgan ildizlar berilgan tenglamaning ildizi bo‘lishi yoki yo’qligini tekshirish zarurdir. Bunda tekshirish boskichi tenglamalarni natijaga utib yechishning asosiy, majburiy boskichlaridan biri bulib xisoblanadi va agar u amalga oshirilmagan bo’lsa tenglamani yechish tula bajarilmagan hisoblanadi va ko’p xollarda noto’g’ri javobga olib keladi.
Quyidagi xossalar va formulalarni qo‘llaganda: a)tenglamani maxrajdan qutkarishda;
b)tenglamani darajaga ko‘targanda;
v)tenglamani potensirlaganda;
berilgan tenglamadan natijaviy tenglamaga o’tish mumkin.
O‘qituvchi tenglamalarni natijaga o‘tish yo‘li bilan yechishda ko‘p xollarda yo‘l qo‘yiladigan xatolikga o‘quvchilar e’tiborini qaratishi lozim bo‘ladi: Ma’lumki, tenglamalarni natijaga o‘tish yo‘li bilan yechishda berilgan tenglama qadamba — qadam natijaviy tenglama bilan almashtirilib, sodda tenglama ko‘rinishiga keltirilib, ildizlari topiladi. So‘ngra topilgan ildizlar tenglamaning aniqlanish soxasiga tegishli ekanligi tekshirilib, aniqlanish soxasiga tegishli bo‘lmagan ildizlar tashlab yuborilib, qolganlari, ya’ni aniqlanish soxasiga tegishli bo‘lganlari javobda yoziladi. Xatolik xuddi mana shundadir, chunki bu xolda topilgan ildizlarni tenglamaning aniqlanish soxasiga tegishli ekanligini tekshirish bilan chegaralanib bo‘lmaydi. Yechimlar tenglamaning aniqlanish soxasiga tegishli bo‘lishi, lekin berilgan tenglamaning ildizlari bo‘lmasligi mumkin. O’qituvchi shuningdek o’quvchilar e’tiborini tenglamaning ikkala qismidan juft darajali ildiz chiqarish ildizlarni yo‘qolishiga olib kelishi mumkinligiga (chunki bu holda berilgan tenglamaning aniqlanish sohasi torayishi mumkin) qaratishi muhimdir.
Misol: tenglamani tenglama bilan almashtirilsa, berilgan tenglamaning aniqlanish sohasi torayishi xisobiga ildiz yo‘qotiladi. Haqiqatdan ham tenlamani aniqlash sohasi va to‘plamdan iborat bo‘lib, bu tenglama o‘zining aniqlanish sohasida ² – x – 6 = 9 tenglamaga teng kuchli bo‘lib, ikkita x₁ = 3 va x₂ ildizlarga ega bo‘ladi.
tenglamaning aniqlanish sohasi esa to‘plamdan iborat bo‘lib, aniqlanish sohasida ² – x – 6 = 9 tenglamaga teng kuchli bo‘ladi. Oxirgi tenglama ikkita x₁ = 3 va x₂ ildizlarga ega bo‘ladi. lekin bu x₁ va x₂ ildizlardan sohaga faqat x₁ = 3 ildiz tegishli bo‘ladi.
Shuning uchun ham bunday shakl almashtirishlarni bajarish mumkin emas, chunki yo‘qotilgan ildizlarni tiklab bo‘lmaydi. Bu holda tenglamani yechish natijasida biz uning barcha ildizlarini topa olmaymiz va demak aslida biz tenglamani umuman yechmagan bo‘lamiz.
Tenglamaning ikkala qismini funksiyaga ko‘paytirish, shuningdek funksiyaga qisqartirish chet ildizlarni paydo bo‘lishiga ham, ildizlarni yo‘qolishiga ham olib kelishi mumkin.
Masalan: (x²+5x) tenglamani ikkala qismini ga qisqartirish natijasida x² + 5x = 6 tenglamani xosil qilamiz.
Bu tenglama ikkita x₁ =1 va x₂ = –6 ildizlarga ega bo‘ladi. Bunday «echish» natijasida x₂ = –6 chet ildiz paydo bo‘ladi (chunki berilgan tenglamaning aniqlanish sohasi barcha lardan iborat), x₃ = 0 ildizi esa yo‘qotiladi.
Bu ko‘rinishdagi tenglamalarni yechishda uning barcha hadlarini bir qismga o‘tkazib, so‘ngra umumiy ko‘paytiruvchini qavsdan tashqariga chiqarib, hosil bo‘lgan tenglamalar birlashmasi yechilib, yechimlar birlashmasi berilgan tenglamaning yechimi bo‘ladi.
Yuqoridagi (x²+5x) tenglamani quydagicha yechish mumkin. Aniqlanish sohasi barcha to‘plamdan iborat. berilgan tenglamani quydagicha yozib olamiz
(x²+5x) yoki (x²+5x - 6)
Ohirgi tenglama x² + 5x – 6 = 0 va tenglamani birlashmasiga teng kuchlidir. Birlashmaning birinchi tenglamasini yechib, ikkita x₁ =1 va x₂ = –6 ildizlarni hosil qilamiz. Bu ildizlardan sohaga faqat x₁ ildiz tegishli bo‘ladi. Demak, x₁ =1 ildiz berilgan tenglamaning ildizi bo‘ladi.
Birlashmaning ikkinchi tenglamasidan x = 0 ildizni topamiz. Bu ildiz ham sohaga tegishli bo‘lgani uchun berilgan tenglamaning ham ildizi bo‘ladi.

Xulosa:
"Algebra" darsliklarida "Tenglama" va "Tenglamaning ildizi" tushunchalarini kiritishga turlicha yondashishlarni ko‘rish mumkin.Masalan tenglama tushunchasi Yu.N.Makachichev va boshqalarning darsligida "Tarkibida o‘zgaruvchi bor tenglik tenglama deyiladi" deb kiritilsa, xozirgi amaldagi Sh.A.Alimov va boshqalarning “Algebra” darsligida "Xarf bilan belgilangan noma’lum son qatnashgan tenglik tenglama deyiladi" deb ta’riflanadi. Tenglama tushunchasini kiritishga bunday yondoshish tenglamaning ildizi tushunchasini kiritishda xam turlicha yondashishni taqozo etadi: Yu.N.Makachichev va boshqalarning darsligida "Tenglamaning ildizi deb, o‘zgaruvchining tenglamani to‘g‘ri tenglikka aylantiruvchi qiymatiga aytiladi" deb ta’riflansa amaldagi Sh.A.Alimov va boshqalarning “Algebra” darsligida esa «Tenglamaning ildizi deb noma’lumning shu tenglamani to‘g‘ri tenglikka aylantiradigan qiymatiga aytiladi» deb ta’rif beriladi. Lekin ikkala xolda xam tenglamani yechish bir xil ta’riflanadi. "Tenglamani yechish bu uning barcha ildizlarini topish yoki ildizi yo‘qligini ko‘rsatish demakdir".Ko‘rinib turibdiki tenglama tushunchasini ta’riflashda quyidagi ikkita "o‘zgaruvchi" va "noma’lum" terminlaridan biri qo‘llanilmokda. Bu terminlar o‘rtasidagi farq shundan iboratki, “o‘zgaruvchi” xech birini aloxida ko‘rsatmay bir nechta qiymatlarni qabul qila olsa, “noma’lum” esa konkret sonining xarfiy ifodasidan iborat bo‘ladi.Tenglama tushunchasini kiritishga bunday turlicha yondashuv,tenglamalarning aniq konkret sinfini turlicha nomlanishiga ham olib keladi.Masalan, ax=b ko‘rinishda tenglama Yu.N.Makachichev va boshqalarning darsligida bir o‘zgaruvchili “chiziqli tenglama” deb nomlansa, amaldagi Sh.A.Alimov va boshqalarning “Algebra”darsligida esa “bir noma’lumli birinchi darajali tenglama” deb nomlanadi.Tenglamalar va ularni yechishni o‘rganishning sistemali bosqichida (7-sinfdan boshlab) o‘quv materialining muximligi va kengligini xisobga olgan xolda u umumiy o‘rta ta’lim algebra kursining asosiy mazmundor — uslubiy yo‘nalishini tashkil etadi va boshqa mazmundor —uslubiy: ayniy almashtirishlar, son tushunchasini kengaytirish, fuknsional yo‘nalishlar bilan uzviy bog‘liq xolda o‘rganiladi.Tenglamalar va ularni yechishning mazmundor — uslubiy yo‘nalishining:
a)ayniy almashtirishlar bilan boglikligi shundan iborat buladiki.
ixtiyoriy tenglamalarni yechishda uning ikkala qismida ayniy almashtirishlar
bajarilib, birin — ketin berilgan tenglamaning natijasi bo‘luvchi, yoki teng kuchli bo‘luvchi nisbatan soddaroq tenglamaga o‘tishda amalga oshiriladi;
b)son tushunchasini kengaytirish bilan bog‘liqligi esa maktab algebra
kursida o‘rganiladigan barcha sonli to‘plamlar (xaqiqiy sonlar to‘plamidan
tashqari) tenglama (tengsizliklar) yechish natijasida paydo bo‘lishligida amalga oshiriladi;
v)funksional yo’nalish bilan bogliqligi:
— tenglamaning ikkala qismi xam unga kiruvchi funksiyalar sifatida qaralishida,(ya’ni f(x) = g(x) sifatida qaralishida):
— tenglamaning aniqlanish soxasi tushunchasini kiritilishida: .
tenglamalarni yechishda grafik usullardan sistematik ravishda foydalanishda:
tenglamani yechishda, zarur xollarda funksiyalar xossalarin qo’llashda namoyon bo‘ladi.