O`zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi zahiriddin muhammad bobur nomli andijon davlat universiteti

7-teorema. funksiya to`plamda berilgan bo`lib, quyidagi shartlarni bajarsin:
1)
2) hosila mavjud va chekli;
3) hosila nuqtaning o`ng va chap tomonlarida ishora saqlansin.
Agar hosila nuqtani o`tishda ishorasini o`zgartirsa, funksiya nuqtada ekstremumga erishadi.
Agar hosila nuqtani o`tishda ishorasini o`zgar-tirmasa, funksiya nuqtada ekstremumga erishmaydi.
Bu teorema yuqoridagi 6-teorema kabi isbotlanadi.
8-teorema.Faraz qilaylik funksiya to`plamda berilgan va bo`lib, quyidagi shartlarni bajarsin:
1) hosila mavjud;
2) hosila mavjud;
3)
U holda bo`lganda funksiya nuqtada ekstremumga erishib, bo`lganda nuqtada maksimumga, da minimumga erishadi.
Agar bo`lsa, funksiya nuqtada ekstremumga erishmaydi.
◄ funksiyaning nuqtadagi Teylor formulasi

niolamiz. Bu formula teoremaning shartida ushbu

ko`rinishga keladi. Bundan esa da

bo`lishi kelib chiqadi.
« » ning ta`rifiga ko`ra son uchun nuqtalarda

bo`ladi. Demak, uchun

Miqdorlar bir xil ishorali bo`ladi. Bundan esa da

Ning ishorasi ayirmaning ishorasi bilan bir xil bo`lishi kelib chiqadi.
Agar bo`lib, bo`lsa, unda , ya`ni bo`ladi. funksiya nuqtada minimumga erishadi.
Agar bo`lib, bo`lsa, unda , ya`ni bo`ladi. funksiya nuqtada maksimumga erishadi.
Agar bo`lsa, ayirma ishora saqlamaydi. Bu holda funksiya nuqtada ekstremumga erishmaydi. ►
Xususan, agar nuqta funksiyaning statsionar nuqtasi bo`lib, funksiya nuqtada chekli hosilaga ega bo`lsa, shu nuqtada funksiya bo`lganda maksimumga, minimumga ega bo`ladi.
2-misol.Ushbu

funksiya ekstremumga tekshirilsin.
◄ Bu funksiya aniqlangan bo`lib, u shu to`plamda uzluksiz. Uning hosilasini topamiz:
(1)
Ravshanki, funksiyaning hosilasi nuqtada nolga alanadi: ; nuqtada esa funksiyaning hosilasi mavjud emas.
Hosila ifodasi (1) dan ko`rnadiki, nuqtaning chap tomonidagi nuqtalarda o`ng tomonidagi nuqtalarda bo`ladi. Demak, berilgan funksiya nuqtada minimumga erishadi va bo`ladi.
YAna hosila ifodasi (1) dan ko`rinadiki, nuqtaning chap tomonidagi nuqtalarda , o`ng tomonidagi nuqtalarda bo`ladi.
Demak, funksiya nuqtada maksimumga erishadi va bo`ladi. ►