O`zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi zahiriddin muhammad bobur nomli andijon davlat universiteti

7.1–misol. funksiyaning ekstremumi topilsin.
◄Berilgan funksiyaning hosilasini topamiz:

Ravshanki, hosila nuqtalarda nolga aylanadi, nuqtada esa chekli hosila mavjud emas. Demak, funksiyaga ekstremum beradigan nuqtalarni
, nuqtalar orasidan izlash kerak.
Avval nuqtani olaylik. Bu nuqtaning atrofini olib, hosila uchun ifodani e’tiborga olsak,
uchun ,
uchun
bolishini topamiz. Demak, hosila nuqtani o’tishda o’z ishorasini “+ ” dan “ – ” ga o’zgartiradi. Ravshanki, berilgan funksiya nuqtada uzluksiz. Demak, berilgan funksiya nuqtada maksimumga ega va uning maksimum qiymati
Endi nuqtani qaraylik. Bu nuqtaning atrofini olib, dan foydalansak,
uchun
uchun
bo’lishini topamiz. Demak, hosila nuqtani o’tishda o’z ishora- sini “ – ” dan “+” ga o’zgartiradi. Berilgan funksiya nuqtada uzluksiz, demak, u nuqtada minimumga ega va uning minimum qiymati . Nihoyat nuqtada berilga funksiya minimumga ega bo’lishi yuqoridagidek ko’rsatiladi.►
3⁰. Funksiya ekstremumini topishda uning yuqori tartibli hosila-laridan foydalanish.
funksiya nuqtada hosilalarga ega bo’lib, biror son uchun

bo’lsin.
a). Agar – juft son, ya’ni bo’lib,

bo’lsa, funksiya nuqtada maksimumga,

bo’lsa, funksiya nuqtada minimumga ega bo’ladi.
◄ Haqiqatan ham, funksiya uchun ushbu

Teylor formulasidan yuqoridagi shartlarni e’tiborga olib topamiz:

bunda da . Keyingi tenglikni quyidagicha yozib olamiz:

va da bo’lgani sababli, ning ga yetarli yaqin qiymatlarida ( lar uchun) ning ishorasi ning ishorasi kabi bo’ladi.
Ravshanki, bo’lganda bo’lib, da ayirmaning ishorasi ning ishorasi bilan bir xil bo’ladi. Demak, bo’lganda uchun ya’ni bo’lib, funksiya nuqtada maksimumga ega bo’ladi. bo’lganda esa uchun ya’ni bo’lib, funksiya nuqtada minimumga ega bo’ladi.►
b). Agar – toq son, ya’ni bo’lsa, funksiya nuqtada ekstremumga ega bo’lmaydi.
◄ Haqiqatan
uchun
uchun
tengsizliklar o’rinli bo’lib, nuqtaning atrofida ning ishorasi saqlanmaydi. Bu holda dan ko’rinadiki, ning ishorasi har qanday bo’lganda ham ayirmaning ishorasi o’zgaradi. Bu esa nuqtada ekstremum yo’qligini anglatadi.►