O`zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi zahiriddin muhammad bobur nomli andijon davlat universiteti

7.2–misol. funksiyani ekstremumga tekshiring.
◄ Bu funksiya uchun bo’lib, u nuqtada nolga aylanadi. Demak, statsionar nuqta. Berilgan funksiyaning yuqori tartibli hosilalarini topib, ularning nuqtadagi qiymatlarini
hisoblaymiz:

Juft tartibli hosila nuqtada noldan farqli bo’lib, u musbat bolgani uchun berilgan funksiya nuqtada minimumga ega bo’ladi. Shu nuqtada funksiya qiymatini hisoblaymiz: ►
Yuqorida keltirilgan qoidadan, xususan, bo’lganda quyidagi natija kelib chiqadi.
2-natija. Agar nuqta funksiyaning statsionar nuqtasi bo’lib, bo’lganda, funksiya nuqtada maksimumga, bo’lganda funksiya nuqtada minimumga ega bo’ladi.
4º.Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari. Biz avvalgi bandlarda funksiyaning ekstremumlarini o’rgandik va funksiya biror oraliqda bir necha maksimum va minimumlarga ega bo’lishi mumkinligini aytib o’tdik.
Endi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish masalasini qaraymiz.
funksiya segmentda aniqlangan va uzluksiz bo’lsin. Veyershtrassning ikkinchi teoremasiga ko’ra (5-bobdagi 8-teoremaga qarang) funksiyaning da eng katta hamda eng kichik qiymatlari mavjud bo’ladi va bu qiymatlarga segmentning nuqtalrida erishiladi. Funksiyaning eng katta qiymati quyidagicha topiladi:
1) funksiyaning intervaldagi maksimum qiymatlari topiladi. Funksiyaning hamma maksimum qiymatlaridan iborat to’plam bo’lsin.
2) Funksiyaning segmentning chegaralaridagi, ya’ni nuqtalardagi va qiymatlari hisoblanadi. So’ngra to’plamning barcha elementlari bilan va lar taqqosalanadi. Bu qiymatlar ichida eng kattasi funksiyaning segmentdagi eng katta qiymati bo’ladi.
Shunga o’xshash funksiyaning eng kichik qiymati topiladi:
1) funksiyaning intervaldagi barcha minimum qiymatlari topilib, ulardan to’plam tuziladi.
2) segmentning chegaralari nuqtalarda funksiya- ning , qiymatlari hisoblanadi.
to’plamning barcha elementlari hamda , qiymatlari ichida eng kichigi funksiyaning segmentdagi eng kichik qiymati bo’ladi.
7.3-misol. Ushbu funksiyaning segmentdagi eng katta va eng kichik qiymatlari topilsin.
◄ Funksiya hosilasini nolga tenglab,

tenglamani qaraymiz. Uni yechib lar statsionar nuqta ekanini topamiz. Berilgan funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasini hisoblaymiz:

Bu hosilaning statsionar nuqtalardagi qiymatlarini topamiz:

Bundan funksiya nuqtada minimumga, va nuqtalarda esa maksimumga erishishi kelib chiqadi.
Funksiyaning statsionar nuqtalardagi qiymatlari

bo’lib, uning segmentning chegaralaridagi qiymatlari

bo’ladi. Bu qiymatlarni taqqoslab, funksiyaning segmentdagi eng katta qiymati ga, eng kichik qiymati esa ga teng bo’lishini topamiz.►