2-teorema. funksiya da berilgan bo`lib, unda hosilaga ega bo`lsin.
funksiyaning da qavariq (qat`iyqavariq) bo`lishi uchun ning da kamayuvchi (qat`iy kamayuvchi) bo`lishi zarur va etarli.
Aytaylik, funksiya da berilgan bo`lib, u shu intervalda hosilaga ega bo`lsin. Bundan tashqari intervalning har qanday qismida aynan nolga teng bo`lmasin.
3-teorema. funksiya intervaldabotiq (qavariq) bo`lishi uchun da
bo`lishi zarur va etarli.
◄ Zarurligi. fuksiya intervalda botiq (qavariq) bolsin. U holda yuqorida keltirilgan teoremalarga ko’ra funksiyaning hosilasi intervalda o’suvchi (kamayuvchi) bo’ladi. Funksiyaning monoton bo’lishi haqidagi teoremaga ko’ra bo’lishini topamiz.
Yetarliligi.Endi intervalda funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi uchun ushbu tengsizlik o’rinli bo’lsin. U holda yana funksiyaning monotonligi haqidagi teoremaga ko’ra hosila intervalda o’suvchi (kamayuvchi) bo’ladi. Bundan yuqoridagi teoremaga asosan fuksiyaning intervalda botiq (qavariq) bolishi kelib chiqadi.►
2-misol.Ushbu
Funksiya qavariq bo`ladi.
◄Bu funksiya uchun
bo`ladi. 2-teoremaga ko`raberilgan funksiya da qat`iy qavariq bo`ladi. ►
20. Funksiyaning egilish nuqtalari.Farazqilaylik, funksiya to`plamda berilgan bo`lib, bo`lsin.
5-ta`rif. Agar funksiya da botiq (qavariq), da qavariq (botiq) bo`lsa, nuqta funksiyaning egilishnuqtasi deyiladi.
Aytaylik, funksiya da hosilaga ega bo`lsin. Agar da ,
da ,
bo`lsa, funksiya nuqtada ekstremumga erishadi va demak, bo`ladi. Demak, funksiya egilish nuqtasi-da bo`ladi.
3-misol.Ushbu
Funksiyaning qavariqligi hamda botiqligi aniqlansin.
◄ Berilgan funksiya da aniqlangan bo’lib, nuqtada hosilaga ega bo’lmasdan, qolgan barcha nuqtalarda hosilaga ega.
Agar bo’lsa,
bo’lsa,
bo’ladi. Demak, fuksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi nuqtada nolga teng, nuqtada esa mavjud emas.
Ravshanki,
da
da
da
bo’ladi.
Demak, berilgan funksiya oraliqda botiq, oraliqda qavariq, oraliqda botiq bo’ladi.
4-misol.Ushbu
funksiya nuqtada egiladi.
◄Bu funksiya uchun
bo`lib,
da
da
bo`ladi.►
Do'stlaringiz bilan baham: |
