P h y s I k u n d t e c h n I k d e r g e g e n w a r t abteilung fernmeldetechnik

§ d z =   /  I <
7
® +   ££
0
-^ -jcZ g.
(
1
.
12
)
Der  Vektor  der  elektrischen  Feldstärke  (E  und  der 
Vektor  der  m agnetischen  Feldstärke  §   stehen  auf- 
A b b . 
8
. 
V erk n ü p fu n g  
einander  senkrecht,  wie  Abb. 
8
  zeigt.
In  kartesischen  Koordinaten  ergibt  sich  für  die
d es  e le k tr isch en   F e l-
tSohen^ehf
.^116
  R otation  folgende  Definitionsgleichung:
rotlp =
t 
i 
*
JL  —   JL
8 x  8 y   8z 
•Qx    §z
\ 8 y  
8 z )  
\ d z  
8 x ) ’'~t~ \ d x  
8 y )
(1.13)
Für den Sonderfall des ebenen Feldes vereinfacht sich die G leichung: 
rot  §   =   i f ?  _   - f i . 
(1.14)
^  
dx 
o y  
x 
7
In   Zylinderkoordinaten  ergibt  sic h :
-  5 ■- {V -k - # ) « +  ( f  -  # )  - +  & * > - & )  * • (1- !•>
In  sphärischen  Koordinaten  hat  man  zu  setzen:
rot ® 
( i ( sin
 
~ 
l§)r 
+ 
T W  [ ^ - U
rsin&
 
•
 
§-))
b
+  
—
£$r 
8&
a .
(1.16)
r  \8r
Es  bedeuten: 
a =   elektrische  Leitfähigkeit  (Q -
1
cm-1)
S
q
 =   absolute  Dielektrizitätskonstante
=   i ^ V T ö S  =   ° ’°  
8859
  • 
10_12
  (F   '  cm_1) 
(L  17)
e =  relative  Dielektrizitätskonstante  (Materialkonstante  bezogen 
auf  Vakuum),  z.  B.  für  Vakuum  s  =   1,  für  Glas  und  Keramik 
£ =   4  . . .   7,  für  Wasser  e =   80,  für  Luft  £ =   ca 
1 
S j  =   Dichte  des  Leitungsstromes  (Ampcm-2 )
S® =   Dichte  des  Verschiebungsstromes  (Ampcm-2 ) 
d s  =   W egelement  in  Richtung  des  Integrationsweges  (cm) 
d 5   =   Flächenelement  (cm2).
¡Q =   magnetische  Feldstärke  (Ampcm-1 ).

V erschiebungsdichto
Aus  der  M a x w e llsch en   Gleichung  entnimmt  man,  daß  dem  Aus­
druck  S $   die  Bedeutung  einer  Stromdichte  zukommt,  man  nennt 
ihn  daher  Verschiebungsstromdichte  und  den  räumlichen  Vektor
2
)  =   ee0(£  (Ampseccm
-2
 =   Coulombcm-2 ) 
(
1
.  18)
Verschiebungsdichte.  Die  Dimension  von  X)  ist  die  einer  elektrischen 
Ladung  pro  Flächeneinheit.
Im   Falle  des  vollkommenen  Dielektrikums  (a =   0)  hat  man  es 
nur  m it einer Verschiebungsstromdichte  zu  tun  (<5t- =   0)  und das auch 
nur  bei  einem  zeitlich  sich  verändernden  elektrischen  Feld  ß  =   (£ (t).
Polarisation
Der  Vektor  der  Verschiebungsdichte  kann  auch  als  Summe  zweier 
Vektoren  angesehen  werden:
®  =   $ ,  +   $ .  
(1.19)
X)„  ist  der  Vektor  der  Verschiebungsdichte  bei  einer  Feldstärke  ß 
im  Vakuum
=   £ „ G . 
(
1
.
20
)
Mit  dem  Polarisationsvektor  kommt  die  Steigerung  der  Verschie­
bungsdichte  (Polarisation)  im  Dielektrikum  (relative  Dielektrizitäts­
konstante  —  e)  gegenüber  dem  Vakuum  (relative  Dielektrizitätskon­
stante  £ = 1 )   bei  gleicher  Feldstärke  zum  Ausdruck:
f = S £
0
ß ,  
(
1
.
21
)
wobei  s  die  dielektrische  Suszeptibilität  genannt  wird:
b  =   ^ 5 .  
(
1
.
22
)
A n   d e n   G ren zfläch en   v o n   D ie le k trik e n  
5
An  den  Grenzflächen  von  Dielektriken
An  den  Grenzflächen  von  Dielektriken  mit  verschiedenen  Dielek­
trizitätskonstanten  erfahren  die  Vektoren  der  Verschiebungsdichte  X) 
und  der  Feldstärke  ß   eine  unstetige  Richtungsänderung.  Die  Feld­
linien  werden  gebrochen.
Mit  den  Bezeichnungen  der  Abb.  9  u.  10  gelten  die  Beziehungen: 
Zerlegung  in  Normal-  und  Tangential komponenten:
=   ©An +  
=   £
1®1
 =   «i  ( « * i +   G t2) 
(1.  23)
£>2  =   £ V 2  +   $ > T 2   —   £ 2 ® 2   =   S 2  ( ® W l   +   ® T l )   . 
( 1 -   2 4 )
Die  Additionen  sind  geometrisch  auszuführen.

K a p .  1. 
G ru n d g le ic h u n g e n   f ü r   d a s   e le k trisc h e   F e ld
A
D
N1 
V
3
  ^
\
3
A b b . 9.  B rech u n g   der F e ld stä r k e  
a n   der  G ren zflä ch e  zw eie r   D i ­
ele k tr ik e n .
A b b .  10.  B re c h u n g   der  V e rsc h ie ­
b u n g sd ic h te  
a n  
der  G renzfläche 
z w eie r   D ie le k tr ik e n .
Es  ergibt  sich  som it: 
oder,  was  dasselbe  ist: 
Ferner  gilt: 
oder,  was  dasselbe  ist:
D ag =   D ag 
Cag/®AG =   e
2
/ £l  •
g Tl =   g y
2
D j  i / D j  2 —  el l e2  •
Für  den  Brechungswinkel  der  Feldlinien  gilt:
tg   «!
N ,
tg 
«2
I ®Tl 
1
«2
1
 
I
(1.  25) 
(
1
.  26)
(1.27)
(1.28)
(1.29)
Energie  des  elektrischen  Feldes
Für  die  Energiedichte  pro  Volumeneinheit  gilt:
w t
-  I 
(W attseccm -3)
(1.  30)
wobei  w t ,  D t =   ££0©<  Funktionen  der  Zeit  sind.  Für  den  Fall,  daß 
die  Dielektrizitätskonstante  unabhängig  von  der  Feldstärke  (St  und 
der  Zeit  ist,  gilt:
®t
(1 .3 1 )
wt
wt  -
0
1
  $t
2
2  ££,
f  =  4-<
6
®*.
(1.  32)

Poissonsche  und  Laplacesche  Gleichungen 
7
Die  Energie  in  einem  Volumen  V  (cm3)  ist:
Wt =   ^ j ® t % d v  (W attsec). 
(1.  33)
v
Poissonsche  und  Laplacesche  Gleichungen
Der  Zusammenhang  zwischen  der  Verschiebungsdichte  (Cou- 
lombcm-2)  und  der  Ladung  Q  (Coulomb)  ist  gegeben  durch  die  Glei­
chung:
div ®  =~  | y   =   q (Coulombcm-3 ) . 
(1.  34)
Für  die  Divergenz  ergeben  sich  die  Definitionsgleichungen  wie  folgt: 
Im  kartesischen  Koordinatensystem:
d iv ®  =   « » i   +  
8
® i' +  ? ® i .  
(1.35)
o x 
1
 
o y 
1
 
o z
Beim  ebenen  Sonderfall:
In  Zylinderkoordinaten:
In   sphärischen  Koordinaten:
— 
1
  8  /  —  \ 
1
 
(  8 
n 
/I  QQ\
=   ? r r ('■ ® ')   +  
t i b t
A ™  (8l“ #   ®»)  +   T u )   ■ 
( l - 381 
Nach  dem  Integralsatz  von  G auß  gilt:
j ' d i v ^ d V = j X ) d Q   =   Q ,  
(1.39)
3
daraus  ersieht  man:
Das  Flächenintegral  der  Verschiebungsdichte  ( =   Verschiebungs­
fluß)  über eine geschlossene Hüllfläche  5  ist gleich der eingeschlossenen 
Ladung  Q.  Die  Integration  (Gl.  1.  39)  wird  auf  der  Außenseite  der 
Hüllfläche  durchgeführt.  Integriert  man  auf  der  Innenseite  der  H üll­
fläche,  so  ergibt  sich:
f % d % = - Q .  
(1.40)
3
Man  erkennt  also:  In  dem  von  der  Hüllfläche  nach  außen  hin  ab­
gegrenzten  Raum  muß  sich  eine  gleichgroße  Gegenladung  —  Q  be­
finden.

Gl.  (1.  34)  kann  auch  in  der  Form  der  P o is s o n s c h e n   P otential­
gleichung  geschrieben  werden:
div grad v  =  
v = ----- — , 
(
1
.  41)
e e 0
wobei für  den  Operator  V
2
t> sich  die  folgenden  Definitionsgleichungen 
ergeben:
In   kartesischen  Koordinaten:
V  —  Jp +  SS +  SF- 
i1-42)
8  
K a p .  1. 
G ru n d g le ic h u n g e n   f ü r   d a s   e le k tris c h e   F e ld
Beim  ebenen  Sonderfall:
V
’ =  £ ?  +   £ •  
(1-43)
In  zylindrischen  Koordinaten:
v
-72
 
82f   i  1  8v  .  1 82v  ,  82v 
- 
..
V
  v ~ e ^   +   T  8~r  +  
+   W
  ■ 
( L 4 4 >
In  sphärischen  Koordinaten:
1 
8  
(   2  8 v \
  t 
1 /   8   /   • 
A   d v \
 
I 
1 
8 ” 2\  
/ I
^ v r * d r \
 S r j   +   r 2 s m ^ ^ ( Sm 
0 # )   +  
sin 0  0««J  ' 
^  ' 
^
Für  das  ladungsfreie  (quellenfreie)  Feld  (q —  0)  gilt  die  L a p la c e s c h e  
Gleichung:
div X)  =  
0
  .
V 2v = 0 .  
(1.46)
Insbesondere  ergibt  sich  für  den  ebenen  Sonderfall  die  fundamentale 
Potentialgleichung:
82 v  ,  82v 
_
8 ^   +  d j 2  =  ° -  
(
1
*  47)
Überlagerung  von  Potentialfeldern  punktförmiger  Ladungen
Die von n  Punktladungen her rührenden Potentiale v i superponieren 
sich  zu  einem  Potential  v  gemäß  der  B eziehung:
v =   £ v i . 
(1 .4 8 )

K a p .  2.  A llgem eine  K a p a z itä ts g le ic h u n g e n  
9
K a p i t e l   2 
A llgem eine  K apazitätsgleichungen 
Kapazität,  Farad
Auf  der  Oberfläche  eines  isolierten  Leiters  befinde  sich  die  La­
dung  +   q.  Die  dazu gehörige  Gegcnladung  —  q befinde  sich  auf einem 
zweiten  ebenfalls  isolierten  Leiter.  In  der  Umgebung  herrscht  ein 
elektrisches  Feld  m it  der  Feldstärke  G.  Zwischen  den  beiden  Leitern 
—  Elektrode  1  und  Elektrode 2  genannt  —  besteht  gemäß  der  Glei­
chung
/'
Gds  —  vx  —  v2 —  U
12
(
2
.
1
)
eine  Spannung  U12.  Man  spricht  von  der  Kapazität  C  eines  solchen 
Systems  und  definiert  diese  durch  die  Gleichung:
q = C U 12. 
(2 .2 )
Da  q  in  Ampsec,  U12  in  Volt  einzusetzen  ist,  ergibt  sich  für  die  K a­
pazität  C  die  Dimension  se c £ l
_1
 =   Farad  (F).  In   der  Praxis  stellt 
die  Einheit  Farad  eine  zu  große  Einheit  dar.  Es  sind  gebräuchlicher 
die  Einheiten  Mikrofarad  (gF),  Nanofarad  (nF)  und  Mikromikrofarad 
=   Pikofarad  (ggF =   pF).  Den  Zusammenhang  zwischen  den  ein­
zelnen  Einheiten  gibt  folgende  Gleichung  an:
1  F  =   10
6
  gF  =   10
9
 nF =   10
12
 pF  . 
(2.  3)
Nach  dem  in  der  Technik  nicht  üblichen  elektrostatischen  Maßsystem 
wird  die  K apazität  in  cm  angegeben.  Die  Umrechnungsformeln  sind, 
wie  später  gezeigt  wird  (S.  14)  folgende:
1  F   =   9  •  10
11
 cm
1  pF  =   0,9 cm 
(2.  4)
1
  cm  =   1,1  pF  .
Parallel-  und  Reihenschaltung von Kapazitäten
Q  bezeichne  die  Ladung,
Cv  die  K apazität  der  einzel­
nen  Kondensatoren,  wobei 
der  Index
V
v =  
1
  .  .  .  n
ist.  TJ ist  die  Klemmenspan­
nung,  wie  in  Abb.  11  und 
Abb.  12  eingezeichnet.
C , 
C,
c „
I I -
11
 
C 2
c
I I
I I
-------------   ü
  —
A b b .  11. 
R eih en - 
S c h a ltu n g   v o n  K a ­
p a z itä te n .
A bb.  12.  P a r a lle l-S c h a ltu n g  
v o n   K a p a z itä te n .

10 
K a p .  2.  A llg em ein e  K a p a z itä ts g le ic h u n g e n
P a r a l l e l g e s c h a l t e t e   Kapazitäten  addieren sich  gemäß  folgender 
G leichungen:
Q i = C 1U 
Q2 — 
c
2
u
Qn  =   Cn U
v =  n  
v =  n
Q  =   2 Q  =   2 C VTJ =   C U
r = l  
v = l
(2.  5)
c  =   z c .
v =  l
(
2
. 
6
)
Bei  der  R e ih e n s c h a l t u n g   von  K apazitäten  erhält  jeder  K onden­
sator  die  gleiche  Ladung,  da  wegen  der  Grundgleichung
div  £   =  
0
der  dielektrische  Verschiebungsfluß  durch  die  ganze  Kondensator­
kette  hindurch  konstant  sein  muß.
Q
 i   ■—  
Q v
  -—  
Q n
  ■—  
Q  
U  =   2 Q V- 1 / C V =  Q 2   1¡C,  =  Q
v = l  
V =
 1
v =  n
1 / C = 2 1 / C V.
V = 1
c
(2.  7) 
(
2
. 
8
)
C
Schaltet  man  eine 
feste  K apazität  Cx 
in  Reihe  m it  einer 
veränderlichen  C2, 
so  ergibt  sich  für 
die 
resultierende 
K apazität 
G 
als 
Funktion  von  C9
0.1
10
i r
10
C Ł
der  in  Abb.  13  an­
gegebene 
Verlauf, 
wobei  beide  verän­
derliche  Kapazitä- 
A bb.  13.  R e su ltie re n d e   K a p a z itä t  b ei  der  R e ih e n sch a ltu n g , 
ten  ins  Verhältnis
gesetzt 
sind 
zur
festen   K apazität  Cx.  Für  die  beiden  Grenzfälle  und  den  F all  der 
G leichheit  der  Kapazitäten  gilt:
01 <  c
2
.................. c  =   c
2
C
1
 =   c
2
.................. c = \ c x =   \ c
2
02» < ? 1 .................. c =   c ±.

B e tr ie b s k a p a z itä t
11
Teilkapazitäten
Auf  beliebig  geformten  Leitern  m it  den  Ordnungszahlen  1,  2  . . .  ft 
befinden  sieb  die  Ladungen  Qx,  Q2  .  .  .  Q  .  .  .Qn.  Die  Oberflächen  der 
Leiter  sind  für  das  sie  umgebende  aus  allen  Ladungen  resultierende 
Feld Äquipotentialflächen m it  den Potentialen vx,  v 2  .  .  .  v  .  .  . v n.  Die 
Ladungen  Qx .  .  . Qn  seien  unter  sich  Ladungen  und  Gegenladungen, 
also  gilt:
z q
= ° -
(2.9)
»' = 
1
(
2
. 
10
) 
V - d ) -
(
2
.  11
)
Die  Ladungen  und  Potentiale  sind  miteinander  verknüpft  durch  die 
n  Teilkapazitätsgleichungen  (M a x w ell)
i l   =   c 12 
(V1  —   v i )  +   C13  (« 1   —   VS)  +   .  .  .  +   c l n   (*>1  —   Vn )
q2 =   c-a 
(v2 —  vx) +   c
23
  (v2  — v3)  +   .  .  .  +  c2n  (v2 — v n)
q v  =   Cv x  
(V v  Vx) 
- f -   Cv 2   ( Vv  V2) 
-j-   •  ■  •  "T"  ^ v n  
(^ v   Vfi)
qn 
=   cnl   (Vn —  Vj) +   c„2 (v„  —  V2)  +   .  .  .  +  Cn(n_ D   (Vn  —
Die  Zahl  der  Teilkapazitäten  z  beträgt  bei  n  Leitern:
z —  n/2  •  (n — 
1
)  .
Da  zwischen  zwei  Leitern  (v)  und  (v  —  1)  nur  eine  Teilkapazität  be­
steht,  i s t :
— 1)  = =   C(r —  l ) v  
Z. 
B, 
cX2 =  
C2X  .
Im   allgemeinen  sind  die  Teilkapazitäten 
auf  Grund  der  räumlichen  Anordnung  der 
zugehörigen  Leiter  so  von  einander  ab­
hängig,  daß  sich  bei  Veränderung  einer 
Teilkapazität  auch  säm tliche  anderen  än­
dern.  Man  betrachte  z.  B.  das  in  Abb.  14 
dargestellte 
Teilkapazitätensystem. 
Drei 
ebene  Platten  sollen  auf  der  Tafelebene 
senkrecht  stehen.  Es  sind  die  eingezeichne­
ten   drei  Teilkapazitäten  c12,  c
13
  und  c
32
 vor­
handen.  Taucht  man  nun  die  P latte  3  in 
Pfeilrichtung in   den Raum   zwischen Platte 1 
und  P latte 2  ein,  so  werden  die  Teilkapazi­
täten   c
13
  und  e
32
 größer,  die Teilkapazität  c
12 
wird  indes  kleiner.
A bb.  14. V erä n d eru n g  der T eil- 
k a p a z itä te n .
Betriebskapazität
Betriebskapazität  ist  die  unter  den  Betriebsbedingungen  zwischen 
zwei Leitern eines Mehrleitersystems gemessene Kapazität.  Wird z.  B. 
bei  dem  Drei-Plattensystem   der  Abb.  14  die  Kapazität  zwischen  den

12  
K a p .  2.  A llg e m e in e   K a p a z itä ts g le ic h u n g e n
spannungsführenden  Leitern  1  und  2  gemessen,  so  ergibt  sich  für  den 
Fall,  daß  die  Platte  3  isoliert  ist,  die  B etriebskapazität:
+ 
(2-12)
°13  " r   c 32
für  den  F all,  daß  die  Platte  3  das  Potential  von  2  hat,  diese  Betriebs­
kapazität :
Cu =  
c12
 +   C13  • 
13)
Teilkapazitäten  und  Betriebskapazität  beim  technischen  Kondensator
Beim technischen Kondensator hat  man es  meist m it einem  System  
von  drei  bzw.  zwei  Leitern  zu  tun.  Gemäß  dem  grundsätzlichen 
Schema  der  Abb.  15  sind  diese  drei  Leiter:  die  beiden  Elektroden  1
1
C., 
c„
2 
1
2
C , » T  
T
c »  
c „ T
A bb .  15.  K o n d en sa to r   m it 
A b b .  16.  K o n d e n sa to r   m it
z w e i  S tr e u k a p a z itä te n . 
e in er  S tr e u k a p a z itä t.
und  2  und  die  „Erde“  (3),  worunter  auf  gleichem  Potential  befindliche 
größere  Leitergebilde  in  der  Umgebung  der  Elektroden  zu  verstehen 
sind.  Demgemäß  ergeben  sich  drei  Teilkapazitäten: 
c
12
  zwischen  Elektrode  (1) und  (2),
c
13
  zwischen  Elektrode  (1) und  Erde  (3),
c
23
  zwischen  Elektrode  (2) und  Erde  (3).
c
13
  und  c
23
  werden  Streukapazitäten  genannt.  Diese  Streukapazitäten 
sind meist  sehr  veränderlich,  da während  des  Betriebes  sich  die  Leiter­
gebilde  in  der  Umgebung  der  Elektroden  z.  B.  der  Körper  des  Beob­
achters  bewegen.  Ein  derartig  offen  gebauter  Kondensator  ändert 
also  sehr  leicht  seine  Betriebskapazität
C = c 12+ c s a , 
(2.14)
wobei  für  csa,  die  resultierende  Streukapazität,  gilt:
c -
=
A
f
t
-
-
 
< 2 - 1 5 >
°13  i 
u 23