P h y s I k u n d t e c h n I k d e r g e g e n w a r t abteilung fernmeldetechnik

Dieser  Übelstand  wird  nur  wenig  beseitigt  durch  das  „Erden,,  e in e r  
Elektrode  gemäß  Abb.  16.  Die  Streukapazität  beträgt  in  diesem 
Fall  c
s6
  und  ist  größer  als  im  Fall  der  Abb.  15
csb =   C
1
S  '-> csa  • 
(
2
.  16

K a p .  3. 
K a p a z itä te n   g eg en   „ E r d e “
13
1 2
-k -
c„
— •
?  c„
7 / 7 7
A b b .  17.  K o n d en sa to r  
m it  M a n tel  (A b sc h ir ­
m u n g ).
7 7 7 7 7 7 7 7 7 / 7
A bb.  18.  V o n   äu ß eren 
S tre u k a p a z itä te n   fr e i­
er  K o n d en sa to r.
n
U m gibt  man  den  Kondensator  m it  einem  Mantel  gemäß  Abb.  17,  so 
sind  die  inneren  Streukapazitäten  c
13
  und  c
23
  durch  äußere  Einflüsse 
nicht 
mehr 
veränderbar.
Die 
Streukapazität 
einer 
Elektrode  zum  Mantel  (z. B. 
c23)  wird  meist  kurzgeschlos­
sen,  was  bei  einer  Eichung 
des  Kondensators  genau  an­
gegeben  werden  muß.  Die 
Streukapazität  des  Mantels 
gegen Erde c
34
 kann  eine  Ge­
fahr  für  vollkommen  exakte 
Definition  und  Reproduzier­
barkeit  der  Kapazität  in 
der 
Schaltung  darstellen.
Kann in  der  Schaltung  diese 
‘Streukapazität kurzgeschlos­
sen  werden,  so  ergibt  sich 
der  vollkommen  streukapa­
zitätslose,  gekapselte und ge­
erdete  Kondensator  gemäß 
dem  Schema  der  Abb.  18.
Bei  der  Parallelschaltung 
von  Kondensatoren  entste­
hen  hinsichtlich  der  Besei­
tigung  der  Streukapazität 
keine  Schwierigkeiten,  wenn 
man  die  Mäntel  sämtlicher 
Kondensatoren  gemäß  dem 
Schema  der  Abb.  19  m itein­
ander  leitend verbindet.  Bei 
der 
Reihenschaltung 
von 
Kondensatoren  ist  die  Lö­
sung  des  Problems  ohne  besonderen  Aufwand nicht  möglich.  Es  muß, 
wie  Abb.  20  zeigt,  ein  gemeinsamer  Mantel  um  alle  Kondensatoren 
gelegt  werden.
7 7 7 7
A b b .  19. 
P a r a lle l­
s c h a ltu n g   v o n   K o n - 
d en sa to ren   m it M ä n ­
te ln .
7 m r
A b b .  20. 
R e ih e n ­
s ch a ltu n g   v o n   K o n ­
d en sa to ren   m it   g e ­
m ein sa m em   M a n tel.
K a p i t e l   3 
K apazitäten  gegen  „Erde“
Es  wurde  gezeigt,  daß  bei  der  Ermittlung  der  Betriebskapazität 
eines  Kondensators  die  Streukapazitäten  nach  „Erde“  berücksichtigt 
werden  müssen.  Um  größenordnungsmäßig  derartige  Kapazitäten  ab­
schätzen  zu  können,  werden  im  folgenden  die  Kapazitätswerte  geome­

14
K a p .  3.  K a p a z it ä te n   g e g en   „ E r d e “
trisch einfach geformter Körper gegen  „Erde“ formelmäßig angegeben.
Unter  „Erde“  wird  verstanden  entweder
1.  eine  den  Körper  a l l s e i t i g   umhüllende  leitende  Fläche  in  sehr 
großer  Entfernung  von ihm.  (Technisch  verwirklicht  z.  B.  durch  einen 
Abschirmkäfig  sehr  großer  Abmessungen.)
2.  eine  sehr  weit  ausgedehnte  leitende  Ebene  in  endlicher  Entfer­
nung  (z.  B.  Wasserspiegel,  M etallplatte).
K a p a z i t ä t   e in e r   K u g e l  g e g e n   E r d e   ( a l l s e i t i g e   H ü lle )
~ 
n. 
Die K ugel m it dem Radius R  (cm)
P 
_ 
/ 
\  
„ I T T  
✓
->
sei  aufgeladen  m it  der  Ladung  Q 
(Coulomb).  Im  A bstand  r  (cm)  von 
. . .   . .   .  
_ 
... 
.  „  
..... 
der  K ugelm itte  sei  die  Feldstärke
A b b .  21.  Z ur  D e fin it io n   der  K a p a z it ä t 
°
ein er K u g e l ge g en  E rd e (a llse itig e  H ü lle ). 
v£/
(Voltcni  *) und 
d l 6  
Vcrscnicbungs-
dichte  3)r  (Ampsec cm-2 )  (Abb.  21).
Gemäß  der  Formel
f £ > d %   =   Q
F
gHt: 
® r = A  
(3.  1)
4  j i r 2 
'
©r  =   2 - 4 —  ' 
(3 - 2 )
4 n r
2
 ee0
Der  Potentialunterschied  zwischen  dem  Punkt  P   und  der  „unendlich 
fernen  Erde“  ist
r = oo 
r — co
U' = I ® ' d ' =
J
s
- J
=  S s . 7  
<3- 3 >
r = r 
r = r
Für  die  Kugeloberfläche  m it  dem  Radius  r —  R   ergibt  sic h :
^  =  1 ^ - 5 -  
<3 ' “>
Somit  beträgt  die  K apazität:
C — 47i£E0R  
(F)  . 
(3 .5 )
E i n h e i t   d er  K a p a z i t ä t   im   e l e k t r o s t a t i s c h e n   M a ß s y s t e m  
Im   in  der  Technik  nicht  üblichen  elektrostatischen  Maßsystem 
hat  die  Kugel  m it  dem  Radius  R  =   1  cm  die  Einheit  der  K apazität 
von  C  =   1  cm.  Es  ergibt  sich  somit  für  den  Umrechnungsfaktor  vom 
elektrostatischen  Maßsystem  ins  technische  M aßsystem  die  B e­
ziehung
4 n  
££0
  10
12
 pF =   1  cm
1,11  pF  =   l c m .  
( 
)

K a p a z it ä te n   g e g e n   E r d e
15
K a p a z i t ä t   e in e r   K u g e l  g e g e n   E r d e   (seh r  w e it   a u s g e d e h n t e  
l e i t e n d e   E b e n e   in   e n d lic h e r   E n t fe r n u n g )
Die  Formel  (69)  erhält  für  diesen  Fall  einen  Korrekturfaktor  und 
geht  somit  in  die  Form  über:
C =  4:rc££
0
.ß ( l 
(F)
(3 .7 )
wobei  h  (cm)  der  Abstand  des  Kugelmittelpunktes  von  der  Ebene  ist 
und  die  Voraussetzung  gemacht  werden muß,  daß  R  <   h.
K a p a z i t ä t   e in e s   z y lin d r is c h e n  
S t a b e s   ( D r a h t e s )   g e g e n   E r d e  
( a l l s e i t i g e   H ü lle )
Der  Stab  (Abb. 22)  habe  die  Länge  h 
(cm) und den Radius R  (cm).  Im P u n k tP  
herrsche  eine  Feldstärke  (£  und  eine 
Verschiebungsdichte  2)  und  ein  Poten­
tial  v.  Diese  Größen  rühren  her  von 
der  Gesamtladung  auf  dem  Stab.  B e­
trachtet  man  auf  dem  Stab  das  zu  dem 
Längenelement  d z   gehörige  Ladungs­
element  dQ,  so  betrage  die  davon  her­
rührende  Teilverschiebungsdichte  dT), 
die  Teilfeldstärke 
und  das  Teilpo­
tential  dv.  Es  gilt:
d Q   =  ^ d z
1
  z "+hk
i
i
dz
1
1
1
1
i
:
h
!
- h
i
-  Z-h/2
i
i
dv
d S
d ®   = %
d z
h   4 n r 2 
d ®   =
(3- 
8
) 
(3.9)
d z
h  een 4 n r
2
A b b .  22.  Z ur  D e fin itio n   der  K a p a ­
z it ä t   ein es  z y lin d risch en   S ta b e s  g e ­
g e n   E rd e  (a llse itig e   H ü lle).
Q
dv
d & d r  =
Q 
d z
j   a 
w. 
^ een4nr '
Durch  Einführung  der  Koordinaten  x  und  z:
d z
d v  =  %
h  ee0 4 n \ ( z — z0f   +   x \  
Durch  Integration  über  den  ganzen  S ta b :
z  =   +  h/ 2
=  Q  _ J _ _   f _____ d
h  ee0 4 n j
  y(z — z<)
z =   — A/2
)2  +  
x l )
x°’ v° 
h een 4 n
Q
 
jn  h/ 2 — z0  +  ]/(h/2 —  z0)2  +   x%
— h/2 —
 z0 +  )/(Ä/2 +  z0)2 +  xg
(3.10)
(3.11)
(3.  12)
(3.13) 
(3.14}

16
K a p .  3. 
K a p a z it ä te n   g eg e n   „ E r d e “
Für  das  Potential  an  der  Leiteroberflache  ergibt  sich  z.  B.  durch
Einsatz  der  Koordinaten  des  Punktes  x0 =   R   und  z0 =   0:
V
r
Q 
1n  fe/2  +  Vfe2/4   +  
R 2 
hee04:n 
_ hj2  +  |/^ /4  +  i
?2
  ‘
(3.  15)
Um   die  Vernachlässigung  R  < ^ h   durchführen  zu  können,  muß  der 
Ausdruck  umgeformt  werden:
Qlh  , 
vR  -  —L.--  ln 
een 
4 
n
Ä /2.+  A /2 ] /l  +   ^
 
-fe/2 +  fe/2|/:
fe2/4 
i?2 
fe2/4
Unter  Berücksichtigung  der  B eziehung:
(1
  +   a;)"  f« 
1
  +   — * 
f ü r x < ^ l
i?2
gilt,  da 
tttt
  sehr  klein  ist:
°  
fe2/4
_  
Q 
,  / fe2')  _  
Q 
, 
feee
047
i  n \E 2/ 
hee02n  n
Somit  ergibt  sich  für  die  K apazität:
„ 
ee0 2 n h  
/Tr,x
0 
w r  
(F)-
(3.  16)
(3.  17)
(3.  18)
Z a h le n b e is p ie l:   Die  K apazität  eines  Stabes  m it  1 cm   Durch­
messer  und  200 cm  Länge  gegen  eine  sehr  weit  entfernte  allseitige 
H ülle  beträgt  demnach  für  den  lufterfüllten  R a u m :  C =   ca  25 pF.
■2Ü
K a p a z i t ä t   e in e s   z y l i n d r i s c h e n   S t a b e s , 
d er  s e n k r e c h t   ü b e r   E r d e   (ü b er  e in e r  
se h r   w e it   a u s g e d e h n t e n  l e i t e n d e n  E b e n e ) 
s t e h t
Der Radius des  Stabes sei R  (cm), die Länge h 
(cm),  der Abstand von der Erde a (cm)  (Abb. 23). 
Für  die  K apazität  ergibt  sic h :
C 
—
se0 2 n h
ln
f e i /   4 a  +  
fe
( f )   ■  (3 .1 9 )
\ R   f
  4 
a
 +   3 fe 
/
A b b . 23. Zur D e fin itio n  der
K a p a z itä t  e in e s  sen k rech - 
Der  Wurzelausdruck  stellt  also  einen  Korrek- 
turfaktor  dar  gegenüber  der  Formel  für  den 
te 
E b e n e . 
von  einer  allseitigen  Hülle  umgebenen  Stab.

Kapazitäten  gegen  Erde 
Für  den  Fall,  daß  4a  << h  ist,  gilt:
14 a +  h 
1
somit
C
H a + 3 h 
H
een 2 n h
ln
( h V
U l 3
(F ).
(3. 20) 
(3.21)
17
K a p a z i t ä t   e in e s   z y l i n d r i s c h e n   S t a b e s ,  d er  w a a g r e c h t   ü b er 
E r d e   (ü b er  e in e r   s e h r   w e it   a u s g e d e h n t e n   l e i t e n d e n  E b e n e )
l i e g t
A b b .  24.
Z ar  D e fin itio n   der K a p a z it ä t  ein es 
w aagerech ten   zy lin d risc h e n   S ta b e s 
gegen  ein e  w e ita u sg e d e h n te   E b en e.
ZR
Für  die  Kapazität  ergibt  sich  folgende  Formel,  wobei  gemäß 
Abb.  24  h (cm)  die  Länge  des  Stabes,  R   (cm)  der  Durchmesser  und 
a  (cm)  der  Abstand  vom  Erdboden  i s t :
C  =
een 2 n h
I)/
lfe2 +  (4a)2 —  h 
R   \  ] h2  +  (4 a f   +   h
(F).
(3. 22)
Der  Wurzelausdruck  stellt  gegenüber  der  Formel  (3.  18)  einen  Kor­
rekturfaktor  dar.
Für  den  Sonderfall  4 
ergibt  sich  für  den  Korrekturfaktor
angenähert:
h
]
^
+
[
T
j
+
h
 
1
 
ä
(
1
+
K
¥
)
)
+
a  
h
Som it  ist  die  angenäherte  Kapazität  in  diesem  Sonderfall:
2 ?t een h
(3.24)
C .
,  2a
l n iT
(F).
(3. 25)
S t r a i m e r ,   K o n d en sa to r

18
K a p .  4 .  K a p a z it ä te n   z w isc h e n   zw ei  E le k tr o d e n
K a p a z i t ä t   e in e r   e b e n e n   P l a t t e   g e g e n   E r d e   ( a l l s e i t i g e   H ü lle )
Durch ähnlichen Ansatz und Integration wie bei den Gl.  ( 3 .
8
.. .  3.18) 
ergibt sich für die K apazität einer kreisrunden Platte m it dem Radius R  
(cm)  und  der  Dicke  d (cm)  die  B eziehung:
C  =  ee0 8 R ( l   +   ^ y  
(3 .2 6 )
Wenn  R  
d  so  g ilt :
C = e e 0 8 R  
(F). 
(3.27)
Z a h le n b e is p ie l:   Die  K apazität  einer  sehr dünnen  kreisrunden
Platte  von  einem Radius  von  10 cm  gegen  eine  sehr  w eitentfem te
allseitige  Hülle  b eträgt:  C =   ca, 7 pF.
K a p i t e l   4
K apazitäten  zw ischen  zw ei  E lektroden
Beim   K u g e lk o n d e n s a t o r   (Abb.  25)  wer­
den  die  Elektroden  von  zwei  konzentrischen 
K ugelschalen  m it den R adien ri (cm) und ra (cm) 
gebildet.  Für  die  K apazität  C (F)  ergibt  sich 
der  Ansatz:
( F ) =
to r.
Ta
, U  — f  ®r dr
C =   f   =   4 n e s0
ü  
0  r a — !
(4.1)
wobei  Q  (Coulomb)  die  Ladung,  U  (Volt)  die 
Spannung  und  r  (cm)  der  laufende  Radius  ist. 
Es  ist  nämlich:
Q  —  47ir2ee0&T
Ta
Q
4 
n e e ,
[ r - ° d r =
 
«  
( 1 - 1 ) ,
J 
4nee0 \ r { 
ra)
wobei  Gcr  (Volt/cm   1)  die  elektrische  Feldstärke  ist.
Für  den  Z y lin d e r k o n d e n s a t o r   (Abb.  26)  ergibt  sich:
n  
Q
 
Z, 
1 
t  ,  
1

K a p .  4.  K a p a z itä te n   zw isch en   zw ei  E le k tro d e n
19
d i t
-u -
Für  den  P l a t t e n ­
k o n d e n s a t o r ,  des­
sen  Elektroden  von 
zwei  planparallelen 
Platten 
m it 
der 
Fläche  F   (cm2)  im 
Abstand  a  (cm)  ge­
bildet  werden  (Abb.
27),  gilt  unter  der 
Voraussetzung  eines 
homogenen  elektri­
schen F eld es:
Q = F  ££
0
Sa, =  Fee0 - j  
A bb  2 6 .  Z y lin d erk o n -
den sator.
- a -
-
2
,
tb
I a
r
I?
A b b .  27.  P la tte  a k o n d e n sa to r.
c  =
Fee0
(F ).
(4. 3)
Für  den  Sonderfall  des  K r e i s p l a t t e n ­
k o n d e n s a t o r s   m it  dem  Plattenra­
dius  R   (cm)  ergibt sich :
C:
R^ ^ ^ So  /TT
1
\ 
-ß
2
  y 
. 
/ 
j  t 
\
:- V
^ F > = £ 4 ^ (cm )- 
(4' 4)
Eine  Abart 
des 
Plattenkonden­
sators  ist  der  S c h u t z r i n g k o n d e n s a ­
to r   (Abb. 28).  Beim  gewöhnlichen P lat­
tenkondensator  bildet  sich  insbesondere
bei  großem  Plattenabstand  an  den  Rändern  ein   inhomogenes  Streu­
feld  aus.  Dieses  Streufeld  verursacht  mitunter  erhebliche  Abwei­
chung  der  errechneten  und  der  etwa  durch  die  Stromspannungs­
messung  ermittelten  Kapazitäten.  Beim  Kondensator  m it  Schutzring 
wird  gemäß  Schaltung  Abb. 28  nur  der  vollkommen  homogene  dielek­
trische  Verschiebungsstrom  erfaßt.  Die  durch  Spannungsmesser  U 
und  Strommesser  I   ermittelte  K apazität  stim m t  also  m it  der  er­
rechneten  überein.
Für  einen  Kondensator  m it  zwei  gegenüberstehenden  Kugeln  als 
Elektroden  —  K u g e lf u n k e n s t r e c k e   —  ergibt  sich  für  die  Kapazi­
tä t,  wenn  R   (cm)  der  Radius  und  A  (cm)  der  Mittelpunktsabstand 
der  Kugeln  ist :
R (A2 — R2)
C =   2 x e e 0R ( l   +   ^ - (
A 2 R — A R 2
(F),
(4. 5)
Die  Streukapazitäten  zu  leitenden  Körpern  der  Umgebung  sind  ver­
nachlässigt.
2*

2 0
K a p .  5.  D re h k o n d e n s a to re n
Für  einen  Kondensator  m it  zwei  relativ  langen  parallelen  Drähten 
als  Elektroden  —  D o p p e l l e i t u n g   —  ergibt  sich  für  die  K apazität, 
wenn 
r  
(cm)  der  Radius  und 
l  
(cm)  die  Länge  und 
a  
(cm)  der  M ittel­
punktsabstand  der  Drähte  ist:
C  =  
( F ) . 
(4. 
6
)
l n -
r
D ie  Streukapazitäten  zu  leitenden  Körpern  der  Umgebung  sind  in 
obiger  Formel  natürlich  nicht  berücksichtigt.
K a p i t e l   5 
D rehkondensatoren 
Allgemeines
Das  Grundschema  eines  Drehkondensators  zeigt  Abb.  29.  Für  den 
Eindrehwinkel  a  gilt  im  allgemeinen:
0   ^  
a
  ^  
n
  .
Die  vom  Eindrehwinkel  abhängige 
Teilkapazität 
sei 
Ca  =   i(a). 
Für 
a  — 
0
  wird  Ca — C0 — 
0
,  für  a  =   n  
wird  Ca =   Gn .  Zu  der  vom   Eindreh­
winkel 
abhängigen 
Teilkapazität 
komm t  noch  eine  zusätzliche  feste 
Teilkapazität  C,njn  hinzu,  so  daß  sich 
für  die  resultierende  K apazität  er­
gibt:
C =   Ca  +   Cmia =   C  («) 
(5 .1 )
insbesondere:
Cmax  =   Gmin  -)-  G„. 
(5.  2)
In welcher W eise nun die K apazität bzw.  die Frequenz oder die W ellen­
länge  eines  m it  dem  betreffenden  Drehkondensator  abzustimmenden 
Schwingungskreises  als  Funktion  des  Drehwinkels 
a  
zwischen  den 
Extremwerten  veränderbar  sind,  hängt  vom   Plattenschnitt  des  Dreh­
kondensators  ab.  Darunter  wird  verstanden  der  Radius  r  der  R otor­
platten  als  Funktion  des  Eindreh winkeis  a.  In  einigen  unwichtigen 
Sonderfallen  trägt  der  Stator  den  Plattenschnitt.
Es  gelten  die  Bezeichnungen:
A bb.  29.  G ru nd sch em a  e in e s  D reh k o n ­
d en sa to rs.
Für  a  =   0 
für  a  —  n
r =   r0  (cm), 
r =   r„  (cm).

A llgem eines
21
Die  Plattenzahl  des  Rotors  sei  nR,  die  des  Stators  ns-  Die  Gesamt­
zahl  der  Platten  i s t :
n  —  ns   +   nR  .