Pedagogika universiteti a. A. Normatov matematika tarixi

2-§. Differentsial va integral hisobi 

Reja: 

1.  Differentsial va integral hisobining dastlabki kurtaklari: B.Kavelьeri, 

P.Ferma, B.Paskalь, Dj. Vallis, I.Borrou. 

2.  Nьyuton va Leybnitsning differentsial va integral hisobi. 

3.  Nьyuton hayoti va ijodi, izdoshlari. 

4.  Leybnits hayoti va ijodi, izdoshlari. 

 

Dastlab  integratsion  metodlar  bilan  tanishaylik.  Bu  sohadagi  dastlabki  ishlar 

1615  yili  Keplerga  taaluqli.  Metodning  mazmuni  –  aktual  cheksiz  kichik  miqdorlar 

bilan bevosita amallar bajarishdan iborat. 

Butun umri davomida Kopernikning geliotsentrik sistemasini o’rganish, rivoj-

lantirish va targ’ib qilishga bag’ishlangan, 1609 – 19 yillar orasida planetalar haraka-

tiga oid bo’lgan:  

1) planetalar ellips bo’ylab harakat qiladi;  

2) quyosh ularning fokuslaridan birida joylashgan;  

3) planetalarning radius-vektorlari bir xil vaqt oralig’ida teng sektorial yuzalar-

ni hosil qiladi; 

4)  planetalarning  quyosh  atrofida  aylnish  vaqtining  kvadrati  ular  orasidagi 

o’rtacha masofalarning kubiga nisbati kabidir.  

---

 

60 

6-rasm 

Bu masalalarni hal etish cheksiz kichik miqdorlardan foydalana bilishni taqozo 

etardi  (sektorialь  yuzalarni  hisoblash,  o’rtacha  masofalar  ...  ).  Bu  metodni  u  1615 

yilda e’lon qilgan “Vino bochkalarining stereometriyasi”  asarida bayon etadi, ya’ni 

har  qanday  figura  yoki  jism  cheksiz  kichik  bo’laklar  yig’indisidan  tashkil  topgan. 

Masalan, doira cheksiz ko’p cheksiz kichik sektorlardan tashkil topgan bo’lib, bularni 

har  birini  teng  yonli  uchburchak  sifatida  qarash  mumkin.  Bunda  hamma  uchbur-

chaklar bir xil balandlikka (radius), ularning asoslarining yig’indisi aylana uzunligiga 

teng deydi. 

Bu metodni u uncha bo’lmagan geometrik  figuralar va jismlarga tadbiq etadi, 

jami 92 ta. Arximeddan qabul qilingan bu usulni                         Kepler namunali misol-

larda ko’rsatishi, bu  usulni kelajagi porloq ekanligini ko’rsatadi. Bu metodni ilmiylik 

darajasiga ko’tarish va doimiy                           algoritmni ishlab chiqish shu zamon 

olimlarini o’ziga jalb qildi. 

Bulardan  etarlicha  mashxur  bo’lgani  Kavalьeri  printsipi  deb  nomlanuvchi 

bo’linmaslar  geometriyasidir.  Bonaventura  Kavalьeri  (1598-1674)  o’.o’alileyning 

shogirdi, Bolonьya universitetining professori. Bu fikrni u 1621 yilda aytgan bo’lib, 

1629 yilda kafedra professorligiga o’tayotganda sistemali ravishda bayon etadi. Bu 

bo’linmaslar  metodini  takomillashtirish  natijasida  1635  yilda  “Uzluksizlarni 

bo’linmaslar  yordamida  yangi  usulda  bayon  etilgan  geometriya”  kitobini  va  1647 

yilda “Olti geometrik tajriba” nomli kitoblarini yozdi.  

Endi metodning mohiyati bilan tanishaylik.  

Dastlab bo’linmaslar metodi tekis figuralar va jismlarning o’lchamlarini aniq-

lash uchun kashf etilgan. Figuralar regula deb ataluvchi yo’naltiruvchi to’g’ri chiziq-

qa  parallel  o’tkazilgan  to’g’ri  chiziq  kesmalaridan  iborat  deb  qabul  qilinadi.  Bu  ta-

savvur qilingan kesmalar cheksiz ko’p. Ular juftlar deb ataluvchi ikki urinma orasida 

joylashgan va bu urinmalar regulaga parallel olingan. Regula sifatida bu urinmalarn-

ing birini olish mumkin. 

o’eometrik jismlar ham shu ko’rinishda regula sifatida olingan biror tekislikka 

parallel  o’tgan  tekisliklar  bo’linmaslar  deb  olinadi.  Bular  ham  cheksiz  ko’p  bo’lib, 

regulaga  parallel  bo’lgan  urinma  tekisliklar  orasida  joylashgan.  Odatda  bularning 

biri regula sifatida olinadi. 

Endi metodning mazmuni bilan tanishaylik. 

Tekis  figuralar  va  jismlarning  bir-biriga  nisbati  ularning  barcha 

bo’linmaslarining  nisbati  kabidir,  agarda  bo’linmaslar  bir-biriga  bir  xil  nisbatda 

---

 

61 

bo’lsa, u holda mos figuralarning yuzalarining (hajmlarining) nisbati o’sha nisbatga 

teng, ya’ni: 

const

a

k

y

k

y

,

dx

)

x

(

f

dx

)

x

(

f

k

y

k

y

S

S

2

1

a

a

2

b

a

1

1

k

2

1

k

1

2

1

  

ixtiyoriy k uchun. U holda S

1

:S

2

=k 

Bu  teoremani  Kavalьeri  bo’linmaslarning  darajalarini  nisbatiga  ham  tadbiq 

etib, 

а

0

n

9

...,

,

2

,

1

n

,

dx

х

 aniq integralni hisoblash masalalariga olib keldi.  

o’.o’alileyning  ikkinchi  shogirdi  E.Torrichelli  (1608-1647)  egri  chiziqli 

bo’linmaslarni kiritdi. Metodning mohiyati va mazmuni Kavalьeriniki kabi. 

XVII asrning birinchi yarmiga kelib aniq integral geometrik figuralarni yuzasini 

va  hajmini  hisoblash  uchun  asosiy  qurol  bo’lib  qoldi.  Faqat  nazariyadagi 

to’liqmasliklarni bartaraf etish qolgan edi.  

Bu borada Paskalь, Ferma, Vallis va Borrou ishlari diqqatga sazovordir. Shular 

bilan qisqacha tanishib chiqaylik. 

Paskalь  ishlari  Kovalьeri  printsipiga  yaqin  bo’lib,  u  barcha  bo’linmaslarning 

yig’indisini elementar yuzachalarning yig’indisi ko’rinishida tushundi. Bu yuzachalar 

quyidagicha  chegaralangan:  abtsissa  o’qi  kesmasi  va  egri  chiziq  bilan  hamda  bir-

biriga  cheksiz  yaqin  va  bir  xil  masofada  bo’lgan  ordinatalar  bilan  chegaralangan, 

ya’ni 

ydx

. 

Ferma  esa  Paskalьdan  ilgari  ketdi.  U  bo’lishni  ixtiyoriy  qilib  oldi.  Natijada 

a

0

n

dx

x

 da n-kasr va manfiy hol uchun hisoblash imkoni bo’ldi. 

Jumladan 

х

0

q

p

.

0

q

,

0

p

,

dx

х

 

Demak,  qaralayotgan  yuza  [O,  X]  abstsissa,  egri  chiziqning  ikki  eng  chekka 

ordinatasi va x

p

=u

q

 egri chiziqlar bilan chegaralangan. Integrallash intervali koordi-

natalarida x, 

1

a

...

,

x

a

,

ax

2

 bo’lgan kesmalarga bo’linadi. 

Keyingi  operatsiya 

x,  u, 

x

y

,

x

y

  larni  xisoblashga  va  keyin  “polo-

sa”ning  enini  cheksiz  kichraytirishga  o’tish  bilan  geometrik  progressiyaning 

yig’indisini xisoblashga keltiradi. 

x

y

y

x