Pedagogika universiteti a. A. Normatov matematika tarixi

Funktsiya tushunchasi ikki xil ko’rinishga ega: munosabat ko’rinishga va ana-

litik ifodaga. Funktsiya tushunchasining dastlabki ko’rinishlari antik matematiklarn-

ing geometrik o’rinlari va turli-tuman tablitsalaridir. So’ngroq Diofantning simvolik 

apparatidir.  Keyinroq  esa  algebraik  va  trigonometrik  funktsiyalar,  logarifmik  va 

boshqa funktsiyalar . Funktsiyaning munosabatlar ko’rinishdagi g’oyasini funktsiya 

termini va simvoli orqali beriladi. Bu davr matematiklari konkret funktsiyalar ustida 

operatsiyalar  bajarganliklari  uchun  ham  funktsiyaga  bergan  ta’riflari  aynan  shu 

mazmunni aks ettirgan. 

“Funktsiya – bu analitik ifodadir” – 1718 yil I.Bernulli. Eyler “Analizga kirish” (2 

tomlik, 1718 yil) asarida “O’zgaruvchi miqdor funktsiyasi bu shu o’zgaruvchi miqdor 

va sondan qandaydir usul bilan tuzilgan analitik ifodadir”. Argumentning haqiqiy va 

mavhum qiymatalarini  e’tiborga olgan. Funktsiyani tuzish uchun u arifmetik amal-

lar, daraja, ildiz, integrallash amallari yordamida hosil qilgan. So’ngra funktsiyalarni 

xossalariga qarab  klassifikatsiyalaydi:  bir qiymatli, ko’p qiymatli, juft-toq, va xoka-

zo.  Bularni  qatoriga  elementar  trantsendent funktsiyalar 

coz

shz

z

e

z

,

,

ln

,

 larni kiri-

tadi  va  barcha  funktsiyalarni 

...

)

(

2

2

1

0

z

a

z

a

a

z

f

  darajali  qator  ko’rinishida  ta-

savvur qiladi. Qator yordamida ratsional, irratsional, kasr-ratsional, ko’rsatkichli va 

logarifmik funktsiyalar sinfini o’rganadi (funktsiya tablitsasi). 

Birinchi  marta  N>0  uchun  a

x

=N  bo’lsa,  u  holda 

N

х

a

log

  isbotlanadi  va 

n

n

z

i

z

n

z

e

i

z

e

1

1

lim

 isbotlanadi. 

Trigonometrik  funktsiyalar  qam  analitik  usulda  kiritiladi  (birlik  aylanasiz). 

Ќossalarni o’rganib 

v

i

v

e

iv

sin

cos

- Eyler formulasini chiqaradi. 

Qatorga yoyishdan tashqari u funktsiyani cheksiz ko’paytuvchilar ko’rinishida 

ham tasvirlaydi. 

Masalan:

2

2

2

2

2

2

9

1

4

1

1

sin

z

z

z

z

z

  

2

2

2

2

2

2

25

4

1

9

4

1

4

1

cos

z

z

z

z

 

Uzluksiz  kasrlarning  xossalaridan  funktsiyani  elementar  kasrlar  yig’indisi 

ko’rinishda ham tasvirlaydi. 

Xulosa  qilib  XVIII  asr  matematikasida  funktsiya  tushunchasi  Eyler  tasavvuri-

dagidek bo’lib, har qanday analitik ifodani qator ko’rinishida tasvirlash mumkin deb 

qaralgan (universal qator sifatida Teylor qatori hisoblangan). Bu esa shu davrga ke-

lib  to’plangan  ma’lumotlarga  to’sqinlik  qila  boshladi.  o’eometrik  ifodalangan  har 

qanday  chiziqni  funktsiya  sifatida  qarash  g’oyasi  Eylerda  paydo  bo’ladi.  Bu  haqda 

ko’plab olimlar bosh qotirishadi: Teylor, Dalamber, D.Bernulli va boshqalar. 

Funktsiya tushunchasi XIX asrda ham rivojlanib boradi. Qisqacha shular haqi-

da to’xtalib o’taylik. 

1807  yili  Furьe  issiqlikning  analitik  nazariyasiga  oid  ishlarida  (1822  yili  chop 

etilgan)  chekli  uchastkalarda  turli  tenglamalar  bilan  berilgan  bog’liqli  chiziqlar 

---

 

70 

1

0

)

sin

cos

(

2

)

(

n

n

n

nx

b

nx

a

a

x

f

  qator  bilan  tasvirlanishini  isbotlaydi.  Bu  erdagi 

nxdx

x

f

b

nxdx

x

f

a

n

n

sin

)

(

1

,

cos

)

(

1

 Furьe koeffitsientlari. 

Natijada  Eyler  tasavvuridagi  funktsiyalar,  ya’ni  qo’lning  erkin  harakati  bilan 

chizilgan bog’liqli chiziqlar, trigonometrik qatorlarning analitik apparati bilan ifoda-

lash mumkin bo’ladi. Bu funktsional munosabatlarga ta’rif berish imkonini beradi. 

Furьe “Issiqlikning analitik nazariyasi” asarida va Lakruda 1810 y “Qiymati (u) 

bir  yoki  bir  necha  boshqa  miqdorlarga  (x)  bog’liq  bo’lgan  miqdor,  oldingilarning 

funktsiyasi deb ataladi; bunda keyingi miqdorni hosil qilish uchun oldingi miqdorlar 

ustida  qanday  operatsiyalar  bajarishimizni  bilishimiz  shart  emas”,  mazmunidagi 

ta’riflar berishadi. 

1834 yilda Lobachevskiy “Umumiy tushunchalar, x-ning har bir qiymati uchun 

beriladigan  va  x  bilan  birga  o’zgaradigan  x-ning  funktsiyasini  son  deyishini  taklif 

etadi.  Funktsiyaning  qiymati  yoki  analitik  ifoda  bilan,  yoki  ma’lum  bir  shart  bilan 

yoki bog’lanish mavjud bo’lib o’zi noma’lim qolishi mumkin”. 

1837  yili  shunga  o’xshash  ta’rifni  Direxle  beradi.  Funktsiya  masalasi  hal 

bo’lgandek  edi,  lekin  tez  orada  1876  yili  P.  Dyubua  –  Reyman  shunday  uzluksiz 

funktsiya  tuzadiki,  uni  Furьe  qatoriga  yoyganda  ayrim  nuqtalari  uzoqlashuvchi 

bo’ladi. Bu funktsiyani tuzishda Dyubuaga Reyman funktsiyasini uzluksiz, chekli ho-

silaga,  chegaralanganligi,  bo’laklarda  monotonligi,  integralining  mavjudligi,  teng-

sizlikning  bajarilishi  shartlarini  jamlash  uslubidan  foydalandi.  Bu  uslubni  sistemali 

qo’llash  natijasida  [0;  2 ]  da  davriy  va  uzluksiz  bo’lgan  hamda  istalgan  nuqtasida 

yuqoridagi xususiyatlar jamlangan f(x) funktsiyani tuzishga muvaffaq bo’ladi. Shun-

ga mos Furьe qatori segmentning istalgan nuqtasida uzoqlashuvchi bo’ladi. Bu fakt 

funktsiya  tushunchasining  umumiy  talqiniga  zid  bo’ladi.  Bundan  so’ng  yana  izla-

nishlar boshlanadi. XIX asrning 70-yillari o’. Kantor to’plamlar nazariyasi yordamida 

egri  chiziqlarga  tushuncha  beradi.  1882  yil  K.Jordan  koordinatalari  x=x(t),  u=u(t) 

tenglamalar bilan berilgan [t,T] kesmada uzluksiz bo’lgan tekislik nuqtalarining bir-

lashmasidan iborat bo’lgan funktsiyani tuzadi. 

1890 yilda esa Peano qandaydir kvadratning ichki nuqtalarini to’ldiruvchi Jor-

dan  chiziqlari  mavjud  ekanligini  ko’rsatadi.  Masalan: x’(t) va y’(t) uzluksiz  hosilalar 

mavjud bo’lsa, u holda egri chiziq 

dt

t

y

t

x

l

a

b

I

I

)

(

)

(

2

2

 uzunlikka ega bo’lgan chiziq-

dan iborat. 

1885 yil Veyershtrass [a;b]  kesmada uzluksiz bo’lgan har qanday f(x) funktsiya 

shu  kesmada  tekis  yaqinlashuvchi  butun  algebraik  ko’phadlar 

1

)

(

n

n

x

P

  yig’indisi 

ko’rinishida analitik tasvirlash mumkinligini isbotlaydi. 

Ko’rinib  turibdiki  funktsiya  nazariyasi  rivojlangan  sari  u  faktlar  bilan  boyib 

bordi, yangi sohalar vujudga keldi. Shu bilan birga uning roli ham oshib boradi. Ana-

---

 

71 

lizga kirish rolidan matematikaning eng yuqori bosqichi funktsiyalar nazariyasi da-

rajasiga ko’tariladi. 

Endi XVIII asr matematiklarning ayrim ishlari bilan tanishaylik: