Pedagogika universiteti a. A. Normatov matematika tarixi

o’eometriyaning rivojlanishi 

---

 

74 

XVII asr davomida geometriyaning rivojlanishi XVIII asrga kelib uni sifat jihat-

dan rivojlanishining yangi bosqichiga olib chiqdi. o’eometriya tarkibida uning yangi 

sohalari: analitik geometriya, differentsial geometriya, chizma geometriya, proektiv 

geometriya, geometriya asoslari vujudga keldi. Bular uchun umumiy harakter Evklid 

geometriyasining doirasida va uning sistemasi asosida ravojlanishdir. 

a) Analitik geometriya. 

o’eometrik figuralar va almashtirishlar algebraik tenglamalar orqali beriluvchi 

fan bo’lib, algebraik metodlar va koordinatalar metodlaridan foydalaniladi. 

XVII asrning 30 yillarida e’lon qilingan Dekart va Fermaning asarlari hali etarli-

cha turtki bo’lib xizmat qila olmaydi. Ќali aytaylik Apolloniy darajasida edi (ko’pi bi-

lan ikkinchi tartibli egri chiziqlar qaralgan). 1704 yilda I.Nьyutonning “Uchinchi tar-

tibli  egri  chiziqlarni  o’`rganish”  asari  bu  sohani  rivojlanishi  uchun  haqiqiy  turtki 

bo’ldi. Sababi Nьyuton egri chiziqlarni Dekart kabi turlar bo’yicha emas, balki chi-

ziqlar  tenglamalarining  darajalari  bo’yicha  sinflarga  ajratdi.  Bu  hol  egri  chiziqni 

to’g’ri chiziq bilan  kesishish nuqtalariga geometrik talqin berishni qulaylashtirdi. U 

konus  kesimlarga  oid  isbotlangan  teoremalarni  va  tushunchalarni  uchinchi  tartibli 

egri chiziqlarga o’tkazadi. Natijada u 72 ko’rinishda egri chiziqlarni aniqlaydi va nom 

beradi. 

Agar 

A

d

cx

bx

ax

2

3

  desak,  u  holda  aytilgan  tenglamalar  quyidagi  to’rt 

ko’rinishda bo’ladi: 

.

,

,

,

2

2

A

y

A

y

A

xy

A

ly

xy

  

Ammo bunday sinflarga ajratish sodda ham, universal ham bo’lmaydi, natija-

lar esa etarlicha to’liq va isbotlari berilmagan edi. 

Shunga qaramasdan Nьyutonning yutuqlari sezilarli edi. Jumladan: koordina-

talar  metodini  qo’llashi  va uni rivojlantirishi (teng huquqli koordinata o’qlarini kiri-

tish),  choraklarda  o’rganish  ularni  ifodalovchi  tenglamalarning  xossalarini 

o’rganishga almashtirdi. 

Shundan so’ng analitik geometriya jadal rivojlandi. 

1717 – Stirling “Uchinchi tartibli Nьyuton egri chiziqlari” asarida Nьyuton teo-

remalarini isbotladi va bir qanchasini umumlashtirdi. 

Keyingi  ishlardan  Makloren  (1720),  Nikolь  (1731),  Klero  (1731),  Mopertyui 

(1731), Brekenridj (1733), Shteyner, Salьmon, Silьvestr, Shalь va boshqalarni ishlarini 

aytish mumkin. 

Ayniqsa  Klero  ishlaridan  so’ng  analitik  geometriyani  hozirgi  zamon 

ko’rinishiga  keltirish  uchun  qulay  zamin  yaratiladi.  Bu  ishni  1748  yili  Eyler  bajardi. 

Uning  “Analizga  kirish”  asarining  2  tomi  shu  muammoga  bag’ishlangan (muvaffa-

qiyatli  hal  qildi).  Bundan  keyingi  rivojida  o’.Monj  (1771),  Lagranj  (1773),  Menьe 

(1785),  Lakrua  (1798),  Mebius  (1827)  va  boshqalar  hissa  qo’shdilar.  XIX  asr  oxirida 

vektor kiradi. 

Shunday  qilib  XVIII  asr  analitik  geometriyaning  fan  sifatida  shakllanishining 

va o’quv predmeti ko’rinishiga kelishi bilan yakunlanadi. 

b) Differentsial geometriya. 

---

 

75 

       А

1

             С

1

               В

1

 

 

 

 

 

 

 

 

       А               С                    В 

Bu fan analitik geometriya natijalaridan foydalanib, matematik analiz metod-

larini  keng  qo’llash  natijasida  (differentsial  hisobi)  geometrik  ob’ektlar  bo’lmish  – 

egri chiziqlar va sirtlarni o’rganadi. 

1731  yili  Klero  “Ikki  yoqlama  egrilikdagi  egri  chiziqlarni  tekshirish”  kitobidan 

so’ng bu soha jadal rivojlana boshladi. 

1760 yili Eyler maqolasi “Sirtlarning egriligini tekshirishlar haqida ” 1767 e’lon 

qilingandan so’ng Monj, Lagranj, Lambert, Menьe, Karno, Furьe, Amper, Puasson, 

Dyuper,  Sen-Venan,  Frene,  Sere,  o’auss,  Minding, Liuvillь va boshqalarning ishlari 

bilan qozirgi zamon ko’`rinishiga keladi. 

v) o’eometriya asoslari. 

Boshlang’ich tushunchalarning tanlanishi, aksiomalar sistemasining tahlili va 

ularning olinishini asoslash, tekshirish geometriya asoslarining ishidir. 

XVIII asr geometriya asoslari bu asosan Evklid geometriyasining aoslaridir. Il-

miy  tekshirishlarning  asosi  “Boshlang’ichlar”  asarining  tanqidiy  tahlilidir.  Ayniqsa 

parallellarga oid 5-postulat qattiq tanqidga uchradi. 

Bu  postulatni  teorema  sifatida  isbotlashga  urinishlar  noevklid  geometriyan-

ing teoremalariga olib kela boshladi. 

Jumladan  italiyalik  rohib  I.Sakkeri 

parallellar  muammosini quyidagicha  qaradi: 

AV  kesma  uchlaridan  AA

1

  va  VV

1

  perpendi-

kulyarlar chiqaramiz, 

AA

1

=VV

1

 

,

2

В

А

  A

1

  va  V

1

  nuqtalarni 

hamda  to’rtburchak  asoslarining  o’rtalari  S 

va S

1

 nuqtalarni to’g’ri chiziqlar bilan tutash-

tiramiz va SS

1

 bo’yicha bukamiz: 

1

1

1

1

1

1

B

A

В

А

СС

АВ

СС

            8-rasm 

Endi faraz qilaylik bu teng burchaklar quyidagicha bo’lsin: 

1)  o’tmas bo’lsin – bu tezda qarama-qarshilikka olib keldi; 

2)  to’g’ri bo’lsin – Evklid aksiomasi bo’ladi; 

3)  o’`tkir  bo’lsin  –  bunga  Sakkeri  fikricha  qarama-qarshilik  bo’lib,  parallellik 

aksiomasi isbot bo’lar edi. Lekin mantiqiy davom ettirish qiziq natijalariga olib bor-

moqda, qarama-qarshilik esa yo’q edi. 

Bunga o’xshash urinishlar juda ko’p bo’lgan. 1763 yili Klyugelь bunday urinish-

larni jamlab tahlil qiladi va Evklid bu aksiomani juda to’g’ri joyiga qo’ygan deb xulo-

sa qiladi. 

Bu  sohadagi  so’nggi  ishlardan  biri  1776  yili  Lambert  e’lon  qilgan  maqoladir: 

“Parallel  chiziqlar  nazariyasi”.  U  Sakkeri  -  Klyugelь  ishlaridan  foydalanib, 

to’rtburchakni modifikatsiya qiladi, ya’ni  

1

1

1

1

1

,

,

АА

В

А

АВ

ВВ

АВ

АА

 va masalani V

1

 burchakning kattaligini aniqlashga olib 

boradi. 

---

 

76 

U ham to’g’ri burchakda – Evklid geometriyasiga, o’tmas burchakda – qarama 

qarshilikka uchraydi. 

Bu  kabi  ko’plab  ishlar  natijasida  “Boshlang’ichlar”  o’quv  darsligi  sifatida  ya-

roqliligi  shubha  ostiga  olindi.  Natijada  Angliyada,  o’ermaniyada  engillashtirilgan 

bayoni  berildi.  Frantsiyada  esa  Dalamber,  Bezu,  Lejandr,  Lakrualar  tomonidan 

boshlang’ich va o’rta maktablar uchun maxsus darsliklar yozdilar. Bu darsliklar u yo-

ki bu darajada Evklid sxemasidan tashqariga chiqdilar. Aynan shu darsliklar bizning 

hozirgi tipdagi geometriya darsliklarimizning namunalaridir:  

1)  o’lchov va harakat kiritildi (Evklidda yo’q); 

2)  arifmetika metodlari kiritildi, nisbat va proportsiyalarga 

arifmetik mazmun kiritildi natijada 5-kitobga zarurat qolmadi; 

3) 

algebraik  belgilar  va  algebra  elementlarining  kiritilishi  natijasida  2-

kitobga zarurat qolmadi; 

4)  radikallarni qo’llanilishi natijasida 10-kitobga zarurat qolmadi. 

Natijada Evklidning "Boshlang’ich"lari keng o’quvchilar ommasi uchun tushu-

narli va amaliy ehtiyojlar uchun qulay bo’lgan elementar geometriya kursiga aylan-

di. 

Tekshirish savollari: 

1.  XVIII asr matematikasini rivojlanishida FA va davriy nashrlarning roli qan-

day?. 

2.  Rossiyada matematikani rivojlanishida Eylerning roli qanday?. 

3.  Matematikani boshqa sohalarini vujudga kelishida kimlar boshlovchilik qi-

lishgan? 

4.  Funktsiya tushunchasi qanday shakllangan va rivojlangan? 

5.  XVIII asr matematikasining asosiy xarakterli yo’nalishlari qanday?