Pedagogika universiteti a. A. Normatov matematika tarixi

k

x

e

x

tg

x

  k-  uzunlik  birligiga  bog’liq  doimiy.  Agarda 

x

0 bo’lsa, u xolda  

(x)

0 

2

; agar x

 bo’lsa, u holda  (x)

0. Nihoyat umumiy perpendikulyarga 

ega bo’lgan to’g’ri chiziqlar ikkala tomonda uzoqlashadi. Uchburchak ichki burchak-

larining yig’indisi 2d dan kichik bo’lib, tomonlari kattalashgan sari, bu yig’indi kich-

rayib boradi. Lobachevskiy geometriyasida  o’xshash uchburchaklar mavjud emas. 

Uchburchaklar tengligi faqat uchta burchagi teng bo’`lganda.   

 

Barcha  uchburchaklarning  yuzalari  yuqori  chegarasi 

c

  (s-  o’chlov  birligiga 

bog’liq doimiy) bo’lgan to’plam tashkil etadi. 

 

Aylana  uzunligi  l= 

k

  (e

kr

–e

-kr

)  ga  teng  bo’lib,  radius  r  ga  qaraganda  tezroq 

o’sadi. 

Bundan  keyingi  rivojlanishida  to’g’ri  chiziqlar  dastasi  uchun  yaqinlashuvchi, 

uzoqlashuvchi va parallellik munosabatlarini kiritish kerak. 

  

 

 

 

 

 

Dastaga nisbatan esa tsikl (asosiy chiziqlar) tushunchasini kiritamiz. Bu to’g’ri 

chiziqlar dastasining ortogonal traektoriyalaridan iborat bo’lgan nuqtalarning geo-

metrik  o’rnidir.  Ularning  vaziyati  dastaning  biror  to’g’ri  chizig’ida  olingan  bosh-

lang’ich  nuqta  bilan  aniqlanadi.  Bu  tsikllar  3  xil  ko’rinishdagi  dasta  uchun  mos  ra-

vishda  aylana,  ekvidistanta  (gipertsikl),  oritsikl  (R

  da  aylananing  obrazi)  deb 

ataladi. 

Barcha munosabatlar uchun o’lchov birligi kiritilgan bo’lib, burchak va uzun-

liklar bir-biriga bog’liq. 

                                     O’lchov birligi qilib oritsikl yoyining   

  

0

                                   absalyut uzunligi OR olingan. Bu yoy  

---

 

79 

                      

R

               quyidagicha olinadi: tanglangan O nuqtadan  

boshlab (dastaning parallel to’g’ri chiziqlaridan 

birida),  oritsiklni  dasta  to’g’ri  chizig’i  bilan  ke-

sishgan nuqtasi R gacha bo’lgan yoy. Ќisoblash 

apparati giperbolik funktsiyalar orqali bajarila-

di.  

10-rasm                        Masalan: sinuslar teoremasi 

kc

sh

kb

sh

ka

sh

sin

sin

sin

. 

Shunday qilib Lobachevskiy geometriyasi Evklid geometriyasi kabi mantiqan 

ketma-ketlikda tuzilgan va faktlarga boy ekan. Lobachevskiy qabul qilgan usul za-

mondoshlari  tomonidan  tushunilmadi  va  uning  geometriyasi  qabul  qilinmasdan 

1856 yili vafot etadi. 

Lobachevskiy  geometriyasini  tushunish  uchun  ko’pdan-ko’p  interpretatsiya-

lar bo’ldi. Bulardan dastlabkisi o’zi tomonidan bo’ldi. 

Masalan, uchburchak ichki burchaklari yig’indisi 2d dan kichik bo’lishini, ya’ni 

farq 

d

2

 (  - burchaklar yig’indisi) 

2

r

S

 (r-egrilik radiusi). Bunday farq sezi-

lishi  uchun  uchburchak  nihoyatda  katta  bo’lishi  kerak.  Buni  tekshirishni  iloji 

bo’lmadi. 

1868 yili E.Belьtram “Noevklid geometriyani talqin qilish tajribasidan” maqo-

lasida birinchi bo’lib interpritatsiya beradi.  

U tekislikning ma’lum cheklangan qismi uchun Lobachevskiy geometriyasida 

qarama-qarshilik yo’q ekanligini isbotladi. 

1871 yili F.Kleyn “Noevklid geometriya haqida” asarida Lobachevskiy geome-

triyasini  sferaning  ichki  nuqtalariga  proektiv  akslantirish  bilan  masalani  to’liq  hal 

qildi. 

1882 yili A.Puankare yangi interpretatsiyasini beradi. Bunda Lobachevskiy te-

kisligi doiraning ichki nuqtalariga inversion akslantiriladi. 

Lobachevskiyning Evklid geometriyasidan boshqa geometriyalar ham mavjud 

degan g’oyasi XIX asrning 2-yarmiga kelib o’z ifodasini topdi va ko’plab geometriya-

larni vujudga keltiradi. 

Ikkinchi  fikri  –  geometriyaning  haqiqatligi  faqat  tajriba  orqali  tekshiriladi. 

Bunda fazoning tabiati noevklid bo’lishi mumkin. 

Uchinchi  fikri  –  aksiomalar  sistemasini  o’zgartirish  va  umumlashtirish  orqali 

yangi geometriyalar olish mumkin. 

Natijada  1866  yili  o’.  o’elьmgolьts  asosiy  tushuncha  sifatida    harakatni,  o’. 

Kantor (1871) va R. Dedekind (1872) – uzluksizlik aksiomasini, Pash (1882)  - tartib va 

tegishlilik aksiomalarini kiritadi. 

1899  yili  D.o’ilьbert  "o’eometriya  asoslari"  asarida  to’liq  va  etarlicha  qat’iy 

bo’lgan aksiomalar sistemasini bayon etadi. 

Natijada  XIX  asr  oxiriga  kelib  geometriyada  aksiomatik  metod  mustahkam 

o’rin oldi.  

---

 

80 

Ikki  og’iz  so’z  Lobachevskiy  geometriyasi  haqida.  1773  yili  adashib  I.Sakkeri 

isbotladim deb o’ylagan edi. 

1766 yili I.Lambert ko’pgina natijalar oldi, lekin dovdirab qoldi (1786 yili e’lon 

qiladi). 

F.Shvekart (1818) va F.Taurinus (1825) shu yo’ldan borishga harakat qildilar. 

Venger Ya.Bolьyai (1802-1860) – 1832 yilda o’z natijalarini e’lon qiladi, ammo 

o’auss taqriz bermaydi. o’auss o’lgandan keyin (1855) u ham shunday natijalar olga-

ni ma’lum bo’ladi. 

 

Tekshirish savollari: 

1.  XIX asrgacha bo’lgan geometriyaning holati qanday edi? 

2.  Noevklid geometriya qanday kashf qilingan? 

3.  Lobachevskiy geometriyasining vujudga kelishi. 

4.  Lobachevskiy xayoti va ijodi haqida nimalar bilasiz? 

5. o’eometriyani aksiomatik qurish nima?