План основные понятия и характеристики научных методов в обучении

Научные методы обучения
Роль и место научных методов в обучении математике.
Важнейшей задачей школьного математического образования является задача формирования и развития у учащихся мышления, в частности, математического.
Использование индукции как метода рассуждений для получения новых знаний в процессе обучения математики называют индуктивным методом обучения.
Знакомя учащихся с высотой треугольника, учитель чертит на доске треугольники разных видов и в каждом из них ученики проводят по три высоты; из рассмотрения этих чертежей учащиеся приходят к выводу, что три высоты в остроугольном и прямоугольном треугольниках пересекаются в одной точке (она лежит внутри треугольника или совпадает с вершиной). А в тупоугольном треугольнике проходят через одну точку прямые, которым принадлежат высоты. Здесь индукция выступает в роли метода обучения.
Использование полной индукции при обучении математике можно считать обоснованным. Примером может случить теорема об измерении вписанного угла, теорема косинусов. В треугольнике проведена высота . Какая из трех точек и лежит между двумя другими, если углы и треугольника острые:
Точка не может лежать между и , если бы она лежала между ними, то угол был бы равен сумме углов и по теореме о внешнем угле треугольника, а значит острый угол (по условию) был бы больше прямого. Точно так же точка не может лежать между точками и . Значит, точка лежит между точками и .
В практике иногда встречаются ошибочные применения индукции, когда учащимся не предъявляется необходимое разнообразие частных посылок. Приведем пример. Учитель хотел привести учеников к открытию индуктивным путем правила умножения десятичных дробей, но из-за недостатка времени предложил только один пример, в котором во множимом и множителе вместе было три десятичных знака. Используя индукцию на базе одной частной посылки, можно привести учащихся к неправильному открытию. Разумеется, возможно, что кто-нибудь из учащихся догадался, как правильно сформулировать общее правило, но наша цель — создание такой педагогической ситуации, в которой все или по крайней мере большинство учащихся догадаются, как это сделать, а для этого нужно правильно подобрать последовательность частных посылок.
Примерами использования метода индукции в обучении математике могут служить: установление признаков делимости на 10, 5, 3 и 2 в VI классе (индукция используется при выводе признаков: признаки делимости устанавливаются, исходя из наблюдения за таблицей умножения), изучение законов арифметических действий в школе (переместительный, сочетательный и т.д.).
На отдельных этапах обучения, в частности в V классах, обучение математике ведется преимущественно индуктивными методами. Здесь индуктивные заключения достаточно убедительны психологически и в большинстве остаются пока (на этом этапе обучения) недоказанными. Можно обнаружить лишь изолированные «дедуктивные островки», состоящие в применении несложных дедуктивных рассуждений в качестве доказательств отдельных предложений.
В дальнейшем обучении индукция уступает первенство дедукции. Однако она не исключается, меняется лишь ее роль. Если в V классах она служит основным методом обучения, в дальнейшем она становится вспомогательным. С помощью индукции мы открываем то, что подлежит доказательству дедуктивным путем.
Дедукция как метод обучения математике включает:

1. 
   обучение дедуктивным доказательствам;
   
2. 
   обучение расширению дедуктивной системы включением в нее новых предложений, т.е. преобразованию совокупности предложений, полученных опытным путем, или с помощью индукции, аналогии или других эвристических методов, в систему предложений, упорядоченных отношением следования, расширяющую уже изученный фрагмент теории.
   

В начальных классах дети постепенно приучаются к использованию простейших дедуктивных умозаключений, а в старших классах нередко применяются различные индуктивные методы. В средних классах происходит постепенный переход от преимущественно индуктивного к преимущественно дедуктивному уровню мышления. Так, если в 5 – 6 классах доминирует еще первый уровень, то в систематических курсах 7 – 8 классов, особенно в геометрии, преобладает уже второй логический уровень дедукции. Можно сказать, что примерно в 7 классе в обучении математическим предметам достигается равновесие в соотношении между двумя уровнями обучения (и мышления) школьников и намечается переход от первого уровня ко второму. Еще в начале XX века опытные педагоги указывали, что только к 14-летнему возрасту школьники достигают той логической зрелости, которая позволяет понимать необходимость и сущность дедуктивных доказательств и оправдывает систематическое применение этого метода. Сейчас с дедуктивным методом учащиеся знакомятся примерно в 12 лет. Методисты считают, что трудности значительно уменьшились хотя бы потому, что в предыдущих классах теоретический уровень обучения и уровень математической подготовки школьников значительно повысился .
Дедуктивный метод применяется в обучении математике не только в доказательствах, с ним мы встречаемся также при использовании теории, определений, различных математических предложений, общих методов при решении задач. Именно в этой форме дедукция начинает широко применяться уже с первых лет обучения.
Примерами использования дедукции в обучении математике могут служить изучение свойства прямоугольника (мы устанавливаем, что он есть параллелограмм, поэтому обладает всеми свойствами параллелограмма), применение признаков подобия треугольника к рассмотрению конкретных задач.
Наибольшие трудность испытывают учащиеся при решении стереометрических задач, ибо для их решения, кроме прочных знаний по планиметрии и стереометрии, необходимо уметь рационально выбирать теоретические знания, уметь применять большое разнообразие приемов поиска решения и соединять в процессе решения одной задачи различные математические методы. Эффективным методом обучения учащихся решению стереометрических задач является метод аналогии, так как именно аналогия чаще всего лежит в начале поиска решения многих задач стереометрии. Отметим, что, в отличии от дедуктивных и индуктивных (полная индукция) умозаключений, выводы, полученные с помощью аналогии, являются лишь гипотетическими, а поэтому их дальнейшее использование возможно только после строго доказательства.
Приведем пример, когда вывод, сделанный на основе аналогии, не подтверждается.
Площадь треугольника, по формуле Герона, равна: где – полупериметр, – стороны треугольника.
Легко предположить неверное обобщение этой формулы для четырехугольника: где – полупериметр, – стороны четырехугольника.
Однако аналогия может дать путь и для получения формулы площади четырехугольника:где – полупериметр, – стороны четырехугольника.
Как видно, из этой формулы легко получить формулу Герона, если предположить, что треугольник – это четырехугольник, у которого длина одной из сторон стремится к нулю.
Следует заметить, что два четырехугольника, имеющие соответственно равные стороны, могут иметь разные площади. Например, площадь ромба будет меньше площади квадрата, построенного на стороне ромба. Поэтому для последней формулы необходимо уточнение. Она верна только для вписанных четырехугольников.
Приведем еще пример аналогии. В планиметрии известен факт: «В любой треугольник можно вписать единственную окружность, центр которой находится на пересечении геометрических мест точек, равноудаленных от сторон треугольника». Находя аналогию между простейшим многоугольников – треугольником и простейшим многогранником – тетраэдром, можно построить следующее умозаключение по аналогии: «В любой тетраэдр можно вписать единственную сферу, центр которой находится на пересечении геометрических мест точек, равноудаленных от граней тетраэдра».
Метод аналогии в обучении можно применять в таких темах, как бесконечные ряды и интегралы в различных отношениях аналогичны конечным суммам, пределами которых они являются; линейные однородные уравнения до некоторой степени аналогичны алгебраическим уравнениям; сложение чисел аналогично умножению чисел в той степени, в какой сложение и умножение подчиняются одним и тем же правилам; вычитания чисел аналогично в известном смысле делению чисел.
Анализ и синтез являются важнейшими методами обучения школьников. Часто умение мыслить связывают с умением анализировать. Это вполне правомерно, так как вывод следствий, выражающих новые свойства изучаемого объекта, очень часто требует анализа того, что уже известно о нем. В таком понимании, наиболее важном для обучения, анализ является средством поиска решения, доказательства, хотя в большинстве случаев сам по себе решением, доказательством еще не является. Синтез, опираясь на данные, полученные в ходе анализа, дает решение задачи или доказательство теоремы.
Анализ лежит в основе весьма общего подхода к решению задач (имеется в виду нестандартных задач, для которых нет соответствующего алгоритма), известного под названием сведения (редукции) задачи к совокупности подзадач. Идея такого подхода состоит именно в свойственном для анализа «размышлении в обратном направлении» от задачи, которую предстоит решить, к подзадачам, затем от этих подзадач к подзадачам и т.д., пока исходная задача не будет сведена к набору элементарных задач.
Примером применения анализа и синтеза могут служить арифметический и алгебраический методы решения текстовой задачи. Арифметический метод иллюстрирует синтез, алгебраический – анализ.
Приведем пример: