План Введение Уравнение непрерывности Диффузионный и дрейфовый токи Соотношение Эйнштейна Диффузия и дрейф неравновесных носителей заряда в случае монополярной

Разделив обе части (19) на D_p и введя обозначения

L_p = L_E = t_pm_pE , (20)

преобразуем (19) к виду

L_E/L_p²
Общим решением этого уравнения будет:

Dp = C₁e^a1x + C₂e^a2x,

где C₁ и С₂ — постоянные, определяемые из граничных условий;

 ,

а при х; T р 0; a₁, a₂ — корни характеристического уравнения:

L_E/L_p² - 1/ L_p² = 0
a_1,2 = (LE (L_E² + 4L_p²))/2 L_p²

Учитывая уменьшение концентрации неосновных неравновесных носителей заряда по мере удаления от освещенной области образца, окончательно получаем: при х l 0

,

где L₁ = 2 L_p² /( (L_E² + 4L_p²) - L_E) (21)

а при х m –l

Dp = C₂e^{x / L2} = Dp(0)e ^{x / L2} (22)

где

L₂ = 2 L_p² /( (L_E² + 4L_p²) + L_E)

Таким образом, по обе стороны от освещенной области образца концентрация избыточных неосновных носителей заряда снижается по экспоненциальному закону с постоянными спада L₁ и L₂, которые называют длиной затягивания.

Проведем анализ полученных выражений. Пусть внешнее электрическое поле отсутствует (E = 0). В отсутствие внешнего электрического поля имеет место только диффузия избыточных дырок.
Так как L_E = t_pm_pE = 0, то избыточная концентрация неосновных носителей заряда — дырок в результате рекомбинации будет изменяться с расстоянием по закону

Dр = Dр(0)е^{-х /Lр}. (23)

Из этого выражения следует, что экспоненциальный спад концентрации избыточных неосновных носителей заряда, обусловленный рекомбинацией, будет симметричным по обе стороны от освещенной части образца (рис. 5, а) и
определяется величиной L_p, называемой диффузионной длиной неосновных носителей заряда — в данном случае дырок. L_p — это то среднее расстояние, на которое смещаются неравновесные дырки при диффузии за время жизни. Следовательно, в отсутствие внешнего электрического поля избыточная концентрация дырок в результате рекомбинации будет изменяться с расстоянием по экспоненциальному закону (23). Это распределение справедливо и для неравновесных электронов, так как при решении задачи предполагалось выполнение электронейтральности, по которому Dn = Dp.
Поскольку имеет место только диффузия избыточных носителей заряда, то ток является диффузионным током, для которого будем иметь:

J_{p диф} = -eD_p J_{p диф} (0)e^-x/Lp

т. е. диффузионный ток избыточных носителей заряда изменяется с координатой по тому же закону, по которому изменяется избыточная концентрация дырок. Величину v_d, равную:

v_D = L_p/t_p = D_p/L_p, (24)

называют диффузионной скоростью. Численно она равна скорости, с которой неравновесные дырки за время жизни проходят путь, равный диффузионной длине.
Рассмотрим теперь случай, когда E 0. Если L_E n 2L_P, или eL_pEn2kT , то L₁ = L₂ = L_P, Следовательно, в слабом электрическом поле, когда E n E_с, где E_с = 2kT/eL_p — критическое поле, распределение избыточной концентрации неосновных носителей заряда определяется диффузией и описывается уравнением (23). При наличии сильного внешнего электрического поля, когда | L_E | > 2L_P, постоянные спада L₁ и L₂ отличаются от диффузионной длины L_p. В зависимости от направления электрического поля (E > 0 и E <0) они будут больше или меньше L_p. Например, при E > 0 в неосвещенной части для областей
х < —l и x > 0

L₁ = 2 L_p² /( (L_E² + 4L_p²) + L_E) < L_p < L₁ = 2 L_p² /( (L_E² + 4L_p²) - L_E)

Отсюда следует, что внешнее электрическое поле искажает симметрию в распределении избыточной концентрации носителей заряда.
Рассмотрим теперь случай таких больших полей E.E_c, для которых выполняется неравенство L²_E . 4L²_p .Это условие согласно (20) и (24) можно записать следующим образом:

L²_E / 4L²_p = (t_pm_pE) / 4L²_p = t²_pv² / 4L²_p = v² /4v²_D,

где v = m_pE — скорость дрейфа,
Величина L_E численно равная пути, проходимому неравновесным носителем заряда во время жизни со скоростью дрейфа, называется длиной дрейфа. Следовательно, напряженность поля E будет большой, если длина дрейфа намного превосходит диффузионную длину.
Определим длины затягивания L₁ и L₂ в случае, когда E > 0. Для области х > 0 из выражения (21) можно записать:

L₁ = 2 L_p² / L_E ( (1 + 4L_p²/ L_E²) - 1) 2 L_p² / (2L_E L_p²/ L_E²) = L_E

т. е. длина затягивания равна длине дрейфа
L₁ = L_E = t_pm_pE =t_pv

и распределение избыточной концентрации дырок определяется выражением

Dp1 = Dp(0)e ^{–x / L1} = Dp(0)e^{–x / tpmpE} (25)

т. е. так же, как и в случае только диффузии, избыточная концентрация дырок спадает с ростом х экспоненциально, но только теперь с постоянной спада L₁ = L_E. Поскольку постоянная спада L₁ > L_p то L₁ называется также «диффузионной длиной по пол ю».

Из сравнений (23) и (25) следует, что при L_E ² . 4L²_p в области полупроводника при х > 0 избыточная концентрация носителей заряда больше (правая часть рис. 5, б), чем в отсутствие внешнего электрического поля. Следовательно, при прохождении тока, вызванного сильным электрическим полем, т. е. когда скорость дрейфа намного больше диффузионной скорости (v . v_d), при E > 0 избыточные дырки в электронном полупроводнике затягиваются полем в область полупроводника х > 0 и полупроводник обогащается неосновными носителями заряда в большем количестве, чём при наличии только диффузии в отсутствие внешнего электрического поля (E =0). Это явление носит название инжекции неосновных носителей заряда.
Для дырочного полупроводника инжекция электронов будет наблюдаться при E < 0.
Рассмотрим теперь распределение избыточных дырок для области х < —l в случае E > 0. Теперь длина затягивания

L₂ = 2 L_p² / L_E ( (1 + 4L_p²/ L_E²) + 1) 2 L_p² / L_E(2+2L_p²/ L_E²) 2L_p²/ L_E

и на основании (22) получим:

Dр₂ = Dр (0)e ^{-x / L1} = Dр (0) e^{-LE / L2P}.

Очевидно, что с ростом напряженности поля L_E увеличивается, a L₂ уменьшается. Поскольку L₂ < L_Р, то L₂ называют «диффузионной длиной против поля» и для области х < — l во всех точках полупроводника, например, на расстоянии
2L_P Dр₂ < Dр . Это значит, что при E > 0 с ростом напряженности электрического поля объем электронного полупроводника для области х < — l обедняется неосновными носителями заряда (левая часть рис. 5, б). Это явление носит название эксклюзии неосновных носителей заряда.
Для дырочного полупроводника эксклюзия электронов будет иметь место при E <0.
При изменении направления внешнего электрического поля E < 0 в области полупроводника х > 0 будет иметь место уменьшение концентрации избыточных носителей заряда, а в области х <-l — их увеличение (рис. 5, в). Эти явления соответственно называются экстракцией и аккумуляцией неравновесных носителей заряда. В дырочном полупроводнике они будут наблюдаться при E > 0.