Программа Кафедра «Информатика и методика обучения информатике и математике»

Аксиомы откладывания векторов от точки

Эта группа аксиом описывает операцию откладывания векторов , сопоставляющую каждой точке А и вектору в соответствие точку
Операция откладывания , определяется следующими аксиомами:
. Для любой точки и любых векторов выполняется ^{равенство:
. Для любой точке выполняется равенство:}
. Для любых двух точек существует единственный вектор ^{такой, что}
Аксиомами групп I—V исчерпывается аксиоматика Вейля и называется евклидовой геометрией.

6. Непротиворечивости системы аксиом Вейля

Построим модель системы аксиом I-V, называемую арифметической, т.к. ее векторы и точки являются упорядоченными наборами чисел, а значит, непротиворечивость системы аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства будет установлена при условии непротиворечивости теории действительных чисел.
Назовем точкой или вектором любой упорядоченный набор трех действительных чисел . При этом для обозначения точек будут использоваться круглые скобки:

а для обозначения векторов – фигурные:

Числа назовем координатами точки вектора. Сложение векторов по определению будем осуществлять покоординатно:

Умножение действительного числа λ на вектор понимается как обычное умножение числа λ на каждое из чисел
Так определенная операция умножения удовлетворяет всем аксиомам

Аксиомы , очевидно, также выполняются: векторы

линейно независимы и образуют базис пространства, т.е. любой вектор является их линейной комбинацией.

Теперь определим операцию скалярного произведения двух векторов. Пусть даны два произвольных вектора: . Скалярным произведением векторов называется величина
Так определенная операция удовлетворяется требованиям аксиом

Докажем выполнимость аксиом откладывания векторов и докажем их выполнимость в нашей интерпретации.

Определим отображение , полагая для любых точек ^и
Опираясь на аксиому которая утверждает для данной произвольной точки и данного вектора существование такой точки , что Искомая точка В определяется следующим упорядоченным набором чисел:

Эта аксиома выполняется.

^{Докажем справедливость аксиомы , в соответствии с которой} для любых трех точек А,В,С.
Пусть Следовательно,










^{Вектор определяется следующим набором чисел:}

Таким образом, все аксиомы выполнены. Система аксиом Вейля евклидовой геометрии непротиворечива, если непротиворечива арифметика действительных чисел.