Программа Кафедра «Информатика и методика обучения информатике и математике»

Аксиомы размерности

Прежде чем перейти к формулировке аксиом размерности вспомним ряд понятий из курса алгебры.
Пусть дана система векторов и дана система чисел ^{. Определение. Вектор называется линейной} комбинацией системы векторов , а числа – ее коэффициентами. Меняя коэффициенты, мы получим всевозможные линейные комбинации. Среди всех линейных комбинаций векторов существует
тривиальная:

Эта комбинация тривиальная, так как она равна нулевому вектору.

Остальные линейные комбинации являются нетривиальными.







Определение. Система векторов называется линейно независимой, если среди всех ее линейных комбинаций только тривиальная равна нулевому вектору. Если среди линейных комбинаций системы векторов есть хотя бы одна нетривиальная, равная нулевому вектору, то система векторов называется линейно зависимой. Чтобы выяснить линейную зависимость системы векторов необходимо составить и исследовать уравнение
где – неизвестные.
Если, решив это уравнение, получим, что уравнение имеет только нулевое решение при , то система векторов линейно независима. В противном случае, система векторов является линейно зависимой (если не все равны 0).
Рассмотрим третью группу аксиом Г.Вейля, которая содержит две аксиомы.
. Существуют три линейно независимых вектора :










. Любые четыре вектора , линейно зависимы:

Аксиомы I—III позволяют ввести понятие трехмерного векторного пространства.
Определение. Векторное пространство V называется трехмерным векторным пространством над полем R, если выполняются аксиомы 1-2 размерности.
Чтобы получить аксиоматику мерного векторного пространства над полем R, аксиомы и необходимо заменить на следующие:
. Существует n линейно независимых векторов .
^{. Всякая система, содержащая вектор, линейно зависима.}

4.