Программа Кафедра «Информатика и методика обучения информатике и математике»

Аксиоматика фигуры

В геометрии рассматриваются фигуры, составленные не только из отрезков. Поэтому при построении геометрии на аксиомах встает вопрос: как понимать, что такое фигура?
Определение. Фигурой называется то, что обладает свойствами, указанными далее в аксиомах.
Основные объекты аксиоматики фигуры:

1. 
   точки;
   
2. 
   фигуры.
   

Основное отношение: точка принадлежит фигуре (обозначается Рассмотрим аксиомы фигуры, которых всего три.
. Фигура определяется принадлежащими ей точками, т.е. если имеются фигуры и такие, что каждая точка, принадлежащая одной из них принадлежит также другой, и обратно, то , – одна и та же фигура.
. Точка есть фигура; она принадлежит себе, и никакие другие точки ей не принадлежат.
. Для всякого условия, налагаемого на точки и проверяемого (в принципе) для каждой точки – выполняется оно для нее или нет – существует фигура, содержащая все точки с данным условием и никакие другие.
Условия, о которых говорится в последней аксиоме фигур, должны выражаться через основные понятия принятой аксиоматики. Если сформулировать аксиому геометрического места в элементарной геометрии, то она будет «звучать» следующим образом: «При данной геометрической аксиоматике для всякого элементарного условия, налагаемого на точки, существует фигура, содержащая все точки с данным условием и никакие другие».
Возвращаясь к аксиомам фигуры, отметим, что в аксиоме , заметим, что в условиях перечисляются те свойства, которым должны удовлетворять все
точки фигуры. Несомненно, точки сами по себе не обладают никакими свойствами. То или иное «свойство» точки определяется ее отношением к другим точками или фигурам. Свойством точки является, например, ее принадлежность к уже определенной фигуре или к такой, которая служит основным объектом. Проверка условия, определяющего фигуру, может включать в себя конечное число построения отрезков, равных данным или уже построенным.
Окружность, эллипс, гипербола и парабола, определяемые как множество всех точек, обладающих известными свойствами, являются фигурами. Например, кругом называется объединение всевозможных равных отрезков, которые имеют общий конец – центр круга О. Круг задается указанием центра О и радиуса – отрезка, которому должны быть равны отрезки, образующие круг.
Условие, налагаемое на точки, называется элементарным, если оно выражено в понятиях аксиоматики так, что его проверка для каждой точки проходит в конечное число шагов; при каждом шаге либо устанавливается одно из основных отношений, либо производится «построение» из тех, какие допущены аксиомами.
Элементарной называется геометрия, предмет которой составляют фигуры, определяемые элементарными условиями.